1、北京十四高三数学统练数学（理科）一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分1已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】，故选2复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】，复数在复平面内对应的点的坐标为故选3下列函数图象中，满足的只可能是（ ）ABCD【答案】D【解析】由所给的不等式可知函数不可能是单调的，排除，；又因为的图象关于对称，左减右增，有，故排除；图象在上递减且递减较快，在递增，递增较慢，可能满足故选4已知直线的参数方程为（为参数），则直线的普通方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】联立两式消去得：，即故选5在数列中，“，”是“是公比为的等比数列”的（
2、）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若“是公比为的等比数列”，则“当时，”成立当，时，满足，但此时，不是等比数列，所以“，”是“是公比为的等比数列”的必要不充分条件故选6小明有枚完全相同的硬币，每个硬币都分成正反两面，他想把枚硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（ ）A种B种C种D种【答案】B【解析】有种，朝上面分别是正、正、正、正；反、正、正、正；反、反、正、正；反、反、反、正；反、反、反、反故选7某购物网站在年月开展“全场折”促销活动，在日当天购物还可以在享受“每张订单金额（折后）满元时可减免元”某人在日当天欲购入
3、原价元（单价）的商品共件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为（ ）ABCD【答案】C【解析】要使折后价格满元，则原价应满元，但是每张单子必须是的整数倍，所以每个单子的数量为，所以最多减免次，所以为使花钱总数最少，最少数需要下张订单故选8已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点记曲线关于曲线的关联点的个数为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】依题意，设，则线段的中点，因为在上，在上，所以有：，消去得：作出函数与的图象，如下图所示：两函数在上只有一个交点，即仅存在一个点满足条件，所以故选二、填空题：本大题6小题，每小题5分，共30分9一个空间几
4、何体的三视图如图所示，该几何体的体积为_【答案】【解析】由三视图可知该几何体是侧棱长为的直三棱柱，底面是边长为，底边上的高为的等腰三角形，所以该三棱柱的体积为10函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于_【答案】【解析】函数的图象如图所示：由定积分的几何意义可知：函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为：11双曲线的离心率为，求它的渐近线方程_【答案】【解析】，解得焦点在轴，渐近线方程，即12在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），与相交于，两点，则_【答案】【解析】直线的极坐标方程为，即，根据，可得：曲线的参数方程为（为参数），消
5、去参数，可得：联立方程组：，解得或即，由两点间的距离公式得13如图，已知中，则_【答案】【解析】由三角形面积公式可知：，（其中为边上的高），两式相比可得：14已知向量序列：，满足如下条件：，且（）若，则_，中第_项最小【答案】，【解析】依题意，则：解得当时取最小值，即第项最小三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（本小题满分分）已知函数，过两点，的直线的斜率记为（）求的值（）写出函数的解析式，求在上的取值范围【答案】【解析】（），在上的取值范围是16（本小题满分分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司的快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙
6、两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（天）的快递件数记录结果中随机抽取天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件元；乙公司规定每天件以内（含件）的部分每件元，超出件的部分每件元（）根据表中数据写出甲公司员工在这天投递的快递件数的平均数和众数（）为了解乙公司员工的每天所得劳务费的情况，从这天中随机抽取天，他所得的劳务费记为（单位：元），求的分布列和数学期望（）根据表中数据估算两公司的每位员工该月所得的劳务费【答案】【解析】（）甲公司员工投递快递件数的平均数为：众数为（）设为乙公司员工投递件数，则：当时，元，当时，元，的可能值为，的分布列为：（元）（）
7、甲公司被抽取员工该月收入：元乙公司被抽取员工该月收入：元17（本小题满分快分）如图1，在中，为中点，于，延长交于，将沿折起，使平面平面如图所示（）求证：平面（）求二面角的余弦值（）在线段上是否存在点使得平面？若存在，请指明点的位置；若不存在，请说明理由【答案】【解析】（）证明：平面平面，交线为，且平面，平面（）由（）可知：平面，根据题意知，又，如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，则，平面，平面的法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，二面角的余弦值为（）设，其中，其中，由可得：，解得故在线段上存在点，使平面，且18（本小题满分分）已知曲线（）若曲线
8、在点处的切线为，求实数和的值（）对任意实数，曲线总在直线的上方，求实数的取值范围【答案】【解析】（）因为曲线在点处的切线为，所以且，解得，（）若对于任意实数，曲线总在直线的上方，则对于任意，都有，即恒成立，令，若，则，所以实数的取值范围是若，令得，当时，单调递减，当时，单调递增，所以实数的取值范围是，综上所述，实数的取值范围是19（本小题满分分）已知椭圆（）的离心率为（）若原点到直线的距离为，求椭圆的方程（）经过椭圆的上焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于，两点（）当，求的值（）对于椭圆上任一点，若，求实数，满足的关系式【答案】【解析】（）因为，所以，由得：，椭圆方程为（）（）由，可得，椭圆方程可化
9、为：，易知右焦点，据题意有，由可得：，设，故（）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量的基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对，使得成立设，由可得：，又点在椭圆上，所以由可知：，所以又，在椭圆上，故有，将代入可得：20（本小题满分分）在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：，与：，其中，若同时满足：两点列的起点和终点分别相同；线段，其中，则称与互为正交点列（）求:，的正交点列（）判断:，是否存在正交点列？并说明理由（），是否都存在无正交点列的有序整点列？并证明你的结论【答案】【解析】设点，的正交点列是，由正交点到定义可知，设，则由正交点列的定义可知，即：，解得，所以点列，的正交点列是，（）有题可得，设点列是点列的正交点列，则可设：因为，相同，所以有：，因为，显然不成立，所以有序整点列，不存在正交点列（），都存在正交点列无正交点列，证明如下：，设，其中，是一对互质整数，则有【注意有（1）（2）】当为偶数时，取，【注意有文字】由于是整点列，所以有，等式（）中左边是的倍数，右边等于，等式不成立，所以该点列无正交点列当为奇数时，取，【注意有文字】由于是整点列，所以有，等式（）中左边是的倍数，右边等于，等式不成立，所以该点列无正交点列综上所述，都存在正交点列的有序整数点列
