1、等差数列的综合应用A级基础巩固一、选择题1已知等差数列an的前n项和为Sn,若a418a5,则S8等于(A)A72B54C36D18解析a418a5,a4a518.S84(a1a8)4(a4a5)41872.2设Sn是等差数列an的前n项和,若,则等于(A)ABCD解析据等差数列前n项和性质可知:S3,S6S3,S9S6,S12S9仍成等差数列设S3k,则S63k,S6S32k,S9S63k,S12S94k,S9S63k6k,S12S94k10k,.3已知an为等差数列,a1a3a5105,a2a4a699,Sn是等差数列an的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是(B)A21B20C19D18
2、解析由题设求得:a335,a433,d2,a139,an412n,a201,a211,所以当n20时Sn最大故选B4已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(B)A2B3C4D5解析设等差数列公差为d,S奇a1a3a5a7a915,S偶a2a4a6a8a1030,S偶S奇5d15,d3.5已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和若S84S4,则a10(B)ABC10D12解析本题主要考查等差数列的通项及求和公式由题可知:等差数列an的公差d1,因为等差数列Sna1n,且S84S4,代入计算可得a1;等差数列的通项公式为ana1(n1)d,则a10(1
3、01)1.故本题正确答案为B6首项为18,公差为3的等差数列,当前n项和Sn取最大值时,n等于(D)A5或6B6C7D6或7解析an18(n1)(3)213n,令解得6n7,故n等于6或7.二、填空题7(2019西安高二检测)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为 2 000 米解析假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,则树苗需放在第10或第11号树坑旁,此时两侧的同学所走的路程分别组
4、成以20为首项,20为公差的等差数列,故所有同学往返的总路程为S920201020202 000.8(2017全国卷理,15)等差数列an的前n项和Sn,a33,S410,则.解析设等差数列an的公差为d,则由得Snn11,2()2(1)2(1).三、解答题9已知数列an的前n项和Sn5n3,求数列的通项公式an.解析数列的前n项和Sn5n3,当n1时,a1S1532,当n2时,anSnSn1(5n3)(5n13)45n1,a1S12不满足上式数列的通项公式an.10设等差数列an的前n项和为Sn,已知a312,S120,S130.(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,S12中哪一个
5、值最大,并说明理由解析(1)设an的首项为a1,公差为d,由已知有,将a1122d代入两个不等式,消去a1得d3.(2)解法一:由.因为da1d0,可知a1a2a60a7,所以S1,S2,S12中最大的是S6.另法:S126(a6a7)0,S1313a70,a7a70.所以S6最大解法二:Snna1dn(122d)n(n1)dn2n,二次函数yx2x的对称轴方程为x,由于d3,有60,S4S8,则当Sn取得最大值时,n的值为(B)A5B6C7D8解析解法一:a10,S4S8,d0,且a1d,and(n1)dndd,由,得,50,S4S8,d0,a70,前六项之和S6取最大值2设等差数列an的公
6、差为d,若数列2a1an为递减数列,则(C)Ad0Ca1d0解析本题考查等差数列、指数函数的性质数列2a1an递减,a1an递减a1ana1an1a1(anan1)a1d0.本题的关键是利用指数函数单调性判定a1an递减3一个等差数列共有10项,其偶数项之和是15,奇数项之和是12.5,则它的首项与公差分别是(A)A,B,1C,2D1,解析S偶S奇5d1512.52.5,d0.5.由10a10.51512.527.5,a10.5,故选A4已知数列an为等差数列,若0的最大值n为(B)A11B19C20D21解析Sn有最大值,a10,d0,1,a110,a10a110,S2010(a10a11)
7、0,故选B二、填空题5设数列an的通项为an3n10(nN),则|a1|a2|a10| 89 .解析|a1|a2|a10|(a1a2a3)(a4a5a6a7a8a9a10)(147)(25811141720)89.6在直角坐标平面上有一系列点P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对一切正整数n,点Pn位于函数y3x的图像上,且Pn的横坐标构成以为首项,1为公差的等差数列xn,则Pn的坐标为 (n,3n).解析xn(n1)(1)n,yn3xn3n,Pn点的坐标为(n,3n)三、解答题7数列an的前n项和Snn27n8.(1)求an的通项公式;(2)求|an|的前n项和Tn.
8、解析(1)当n1时,a1S114;当n2时,anSnSn12n8,故an.(2)由an2n8可知:当n4时,an0,当n5时,an0.当n4时,TnSnn27n8,当n5时,TnS4(SnS4)Sn2S4n27n82(20)n27n32,Tn.8一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和解析解法一:由“片段和”性质知,S10,S20S10,S30S20,S100S90,S110S100,成等差数列设其公差为d.该数列前10项的和为:S10(S20S10)(S30S20)(S100S90)S10010.10S10d10.将S10100代入其中得d22.S110S10011S10d11100(22)110.解法二:S10100,S10010,S100S10a11a12a10090,a11a1002.又a1a110a11a1002,S110110.解法三:设数列an的公差为d,由于Snna1d,则a1(n1)数列是等差数列,公差为.(10010),且(110100),将已知数值代入上式,消去d,可得S110110.解法四:设等差数列an的前n项和Snan2bn.S10100,S10010,Snn2n.S1101102110110.