1、第四讲 数学归纳法证明不等式(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取A.2 B.3C.5 D.6答案C2.用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式A.12 B.12C.12 D.1n2(nN，n5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是A.假设nk时命题成立B.假设nk(kN)时命题成立C.假设nk(k5)时命题成立D.假设nk(k5)时命题成立答案C4.用数学归纳法证明“对于任意x0和正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需验证的使命题成立的最小正
2、整数值n0应为A.n01 B.n02C.n01，2 D.以上答案均不正确答案A5.利用数学归纳法证明(n2，nN)的过程中，由nk递推到nk1时，不等式的左边A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了一项，并减少了D.增加了两项和，并减少了答案D6.用数学归纳法证明不等式1成立时，起始值n0至少应取A.7 B.8 C.9 D.10解析1，n16，n7，故n08.答案B7.用数学归纳法证明cos cos 3cos(2n1)(kZ，k，nN)，在验证n1时，左边计算所得的项是A.B.cos C.cos cos 3D.cos cos 23cos 答案B8.设0，已知a12cos ，an1，则猜想anA
3、.2cos B.2cosC.2cos D.2sin 答案B9.对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设nk(kN，k1)时不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，nk1时，不等式成立.上述不等式成立A.过程全部正确B.n1时验证不正确C.归纳假设不正确D.从nk到nk1的推理不正确答案D10.用数学归纳法证明n(n1)(2n1)能被6整除时，由归纳假设推证nk1时命题成立，需将nk1时的原式表示成A.k(k1)(2k1)6(k1)B.6k(k1)(2k1)C.k(k1)(2k1)6(k1)2D.以上都不对答案C11.用数学归纳法证明“(n
4、1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)”时，从nk到nk1时左边应增添的式子是A.2k1 B.C. D.答案B12.下列代数式，nN，可能被13整除的是A.n35n B.34n152n1C.62n11 D.42n13n2答案D二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知数列an的前n项和为Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为_.解析S11，S2，S3，S4，猜想Sn.答案Sn14.用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk到nk1”，左边需增添的代数式是_.解析当nk时，左边共有2k1个连续自然数相加，即1
5、2(2k1)，则当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即12(2k1)(2k2)(2k3)，所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3).答案(2k2)(2k3)15.若2n2n1(nN*，且nn0)恒成立，则n0的最小值为_.答案316.夏天吃西瓜，把西瓜横切一刀，竖切一刀，吃完后就剩下4块皮，以此类推，如果西瓜被横切n刀，竖切n刀(横切n刀切面互相平行，竖切n刀切面互相平行)，剩下的西瓜皮数记为f(n)，则f(3)_，f(n)_(答案用n表示).解析归纳猜想，寻找递推关系，显然f(1)4，f(2)91，f(3)20，f(4)259，f(n)(n1)2(n1)22(n21).答案202
6、(n21)三、解答题(共70分)17.(10分)对于nN*，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2).证明设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立；(2)设当nk(k1)时，等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，则当nk1时，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3).所以由(1)(2)可知当nN*时，等式都成立.18.(12分)用数学归纳法证明：三个连续正整数
7、的立方和能被9整除.证明原命题可表述为n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除.(1)当n1时，n3(n1)3(n2)336，命题显然成立.(2)假设nk(k1)时，k3(k1)3(k2)3能被9整除，那么当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k927k3(k1)3(k2)39(k23k3).因为k3(k1)3(k2)3与9都能被9整除，所以k3(k1)3(k2)39(k23k3)也能被9整除.也就是说(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除.由(1)(2)可知当nN*时，原命题成立.19.(12分)用数学归纳法证明不等式：1(nN*且n1).证明当
8、n2时，左边1，n2时成立.假设当nk(k2)时成立，即1.那么当nk1时，左边11(2k1)11，nk1时也成立.根据可得不等式对所有的n1都成立.20.(12分)已知ABC的三边长为有理数.求证：(1)cos A是有理数；(2)对任意正整数n，cos nA是有理数.证明(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cos A是有理数.(2)用数学归纳法证明cos nA和sin Asin nA都是有理数.当n1时，由(1)知cos A是有理数，从而有sin Asin A1cos2A也是有理数.假设当nk(k1，kN)时，cos kA和sin Asin kA都是有理数.当nk1时，由cos (k
9、1)Acos Acos kAsin Asin kA，sin Asin (k1)Asin A(sin Acos kAcos Asin kA)(sin Asin A)sin kA(sin Asin kA)cos A，及和归纳假设，知cos (k1)A与sin Asin (k1)A都是有理数.即当nk1时，结论成立.综合可知，对任意正整数n，cos nA是有理数.21.(12分)已知数列bn是等差数列，b11，b1b2b10145.(1)求数列bn的通项公式bn；(2)设数列an的通项anloga，(其中a0，且a1)，记Sn为数列an的前n项和，试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论.解
10、析(1)设数列bn的公差为d，由题意得所以bn3n2.(2)由bn3n2知Snloga(11)logalogaloga，而logabn1loga.于是，比较Sn与logabn1的大小，即比较(11)与的大小.取n1，有(11).取n2，有(11).由此猜想：(11).(*)下面用数学归纳法证明：当n1时，已验证(*)成立.假设nk(k1，kN*)时，(*)成立，即(11)，则当nk1时，(11).因为()30，所以(3k2).从而(11)，即当nk1时(*)也成立.由与知，(*)对任意正整数n都成立.所以，当a1时，Snlogabn1，当0a1时，Snlogabn1.22.(12分)已知集合X
11、1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn.令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明.解析(1)f(6)13.(2)当n6时f(n)(tN*)下面用数学归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立；假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：1)若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；2)若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；3)若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；4)若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；5)若k16t4，则k6t3，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；6)若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立.综上所述，结论对满足n6的正整数n均成立.