1、牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由并集的定义直接求解.【详解】，.故选：C2. 设，则（ ）A. B. C. 5D. 【答案】B【解析】【详解】根据平面向量数量积坐标运算求解即可.【点睛】因为，所以.故选：B3. 下列每组双曲线中渐近线都为是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】依次求出各双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】因为双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，且双曲线的焦点在轴
2、上，其渐近线方程为，所以选项A正确；因为双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，所以选项B错误；因为双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，所以选项C错误；因为双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，但双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，所以选项D错误.故选：A.4. 抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）A. 8B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的，根据的关系可得答案.【详解】因为抛物线的准线为，所以由题意可知双曲线的左焦点为，因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.故选：
3、B5. 给出三个等式：，下列函数中不满足任何一个等式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对于A，利用对数的运算法则检验即可；对于B，利用指数的运算法则检验即可；对于C，利用三角函数诱导公式检验即可；对于D，举反例逐一判断三个等式即可.【详解】对于A，因为，所以，故A不满足题意；对于B，因为，所以，故B不满足题意；对于C，因为，所以，故C不满足题意；对于D，因为，所以令，则，故；令，则，故；令，则，故；综上：不满足任何一个等式，故D满足题意.故选：D.6. 已知和是两个互相垂直的单位向量，则是和夹角为的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C 充要条件D. 既不充
4、分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据向量公式表示出和夹角的余弦值，再讨论夹角为时的取值，最后根据充分条件和必要条件定义选出答案.【详解】，当时，即和夹角为,故是和夹角为的充分不必要条件故选：A7. 圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】设出点坐标，并利用点在圆上得出，根据点到直线距离公式表达出距离，利用辅助角公式化简，进而得出的最小值.【详解】解：由题意，在圆中，圆心，半径，点到直线的距离为设，解得：在中，其中，当时，d最小，.故选：C.8. 在平行四边形中，是边的中点，与交于点若，则（ ）A. B. C.
5、D. 【答案】D【解析】【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.【详解】.设，则,又，且三点共线，则共线，即，使得，即，又不共线，则有，解得，所以，.故选：D.9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据,在上,可得出,再根联立,得到的值,根据缩小的取值范围,进而代入求值即可.【详解】解:由题知,均在上, ,故有:,两等式联立有,解得,综上选项B正确.故选:B10. 已知曲线，则下列说法正确的有几个（ ）（1）关于原点对称；（2）只有两条对称轴；（3）曲线上点到原点最大距离是1；（4）曲线所围成图形的
6、总面积小于；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】对于（1）（2），代入即可判断曲线的对称情况；对于（3），利用基本不等式与两点距离公式的几何意义即可判断；对于（4），利用（3）中的结论容易判断.【详解】对于（1），不妨设点在曲线上，则也在该曲线上，所以曲线关于原点对称，故（1）正确；对于（2），易知也都在该曲线上，所以曲线关于轴、轴、对称，故（2）错误；对于（3），因为，所以，即，所以曲线上点到原点最大距离是1，故（3）正确；对于（4），由（3）得，曲线所围成的图形落在圆内，且显然是圆内的部分图形，而圆的面积为，所以曲线所围成图形的总面积小于，故（4）正确；综上：（1）（
7、3）（4）正确，（2）错误，故说法正确的有3个.故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. ，若，则_【答案】1【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式进行求解.【详解】由题意，得，则.故答案为：1.12. 如图，正六边形的边长为1，_【答案】-1【解析】【分析】由正六边形性质，结合向量线性运算及数量积运算即可【详解】由正六边形性质，.故答案为：-1.13. 若是奇函数，则有序实数对可以是_（写出你认为正确的一组数即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先根据正弦函数和差角公式将原式化简整理，然后根据奇函数的定义得到参数，应该满足的条件，按等式关系选取
8、答案即可.【详解】已知，若是奇函数，则即可，可以取，.故答案为：（答案不唯一）14. 若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，观察图象即可得到答案.【详解】如图所示，画出函数的图象.结合图象可知，故答案为：.15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点则下面说法正确的是_点到原点的最大距离是4；若是等腰三角形，则其周长为10；点的轨迹是一个圆；的最大值是【答案】【解析】【分析】利用求轨迹方程的方法求出点的轨迹，再根据点和圆的位置关系确定点到原点的最大距离，再根据几何关系确定的周长，利用余弦定理结合基本不等式得到即可求出的最大值.【详解】
9、设由中点坐标公式得,所以,因为在圆上,所以,即,即,所以点的轨迹是一个圆,方程为,是以为圆心,为半径的圆,所以点到原点的最大距离是,故错误；因为，所以,若为等腰三角形，若,则,此时三点共线，不满足题意，若,则,满足题意，所以的周长等于，故正确；由以上过程可知的轨迹是一个圆,方程为,所以正确；设，当时，不是最大角，不为时，中， ,当且仅当,即时取得等号，所以，故正确.故答案为：.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）若在上的值域为，求值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，
10、化简函数为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；（2）求出的范围，结合正弦函数的性质可求值【小问1详解】解：已知增区间为：所以，函数的单调增区间为.【小问2详解】解：已知，即，因为，值域为，.17. 设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有（1）求角的大小；（2）从下列条件、条件、条件中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积条件：边上的高为；条件：，；条件：，【答案】（1） （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）注意到已知等式右边为，可得.（2）若选择，结合（1）只能求得b.若选择，结合（1）和正弦定理，可求得.若选择，结合（1）和正，余弦定理，可求得b，c.【小问1详
11、解】由题，因.则，因A为三角形内角，所以A.【小问2详解】若选择，设边上的高为，则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定.若选择，由正弦定理及（1），有.因，又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定.若选择，由正弦定理，及，则又由余弦定理及（1），有，得，.此时唯一确定，.综上选择时，唯一确定，此时的面积为18. 椭圆（1）点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；（2）和分别为椭圆的右顶点和上顶点为椭圆上第三象限点直线与轴交于点，直线与轴交于点求【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）设，计算得到，根据二次函数的性质得到最值.（2）过点作轴于，过点作轴于
12、，设，利用相似计算得到答案.【小问1详解】设，则，当时，当时，.【小问2详解】如图所示：过点作轴于，过点作轴于，设，19. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为（1）求椭圆的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆交于A，B两点过点作直线的垂线，垂足为判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由【答案】（1）； （2）直线经过定点，理由见详解.【解析】【分析】（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积；（2）由直线与椭圆交于A，B两点，则说明斜率存在，所以分，进行讨论找出直线过得点.【小问1详解】由题意，椭圆经过点，可得，解得，即
13、椭圆，因为，即，所以椭圆的离心率为，又由左顶点为，右焦点为，所以，所以的面积为【小问2详解】由直线与椭圆交于A，B两点所以当时，直线为与椭圆交于A，B两点由 解得：令，此时所以 所以直线即，令 所以直线是经过定点同理若，则令 所以直线是经过定点当时，由直线与椭圆交于A，B两点设联立方程组，整理得，则，所以设点，所以的方程为，令，可得，所以直线经过定点，综上可得，直线经过定点.20. 已知是函数的一个极值点（1）求值；（2）判断的单调性；（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?直接写出的取值范围【答案】（1） （2）函数在上单调递增，在上单调递减. （3）存在，【解析】【分析】（1）求导得
14、到导函数，根据计算得到答案.（2）求导得到，根据导数的正负得到单调区间.（3）先证明，计算得到，且，得到答案.【小问1详解】，则，解得.，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.故是函数的极大值点，满足.【小问2详解】，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.【小问3详解】，当，易知，故.故，满足条件.当时，设，故，故，即，当时，设，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；故，故.，即可以无限接近.综上所述：.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.21. 已知有限数列A：，（且
15、）各项均为整数，且满足对任意，3，N成立记（1）若，求能取到的最大值；（2）若，求证：；（3）若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得【答案】（1）33 （2）证明见详解 （3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）根据（1）中结论，结合数的奇偶性分析证明；（3）令，根据题意利用反证法证明.【小问1详解】，则或，设，即，当时，则，故，若能取到最大值，则，此时，若，则能取到的最大值为.【小问2详解】若，则由（1）可得：，记满足中的i依次为，则，均为整数，则为偶数，为奇数，为奇数，故.小问3详解】记，则有限数列B：，满足对任意，3，N成立，则，则对，均有，即数列不是常数列，设数列的最大项为，最小项，则，反证：假设对，设满足中的i依次为，则必存在，使得或，当时，则，这与相矛盾，当时，则，这与相矛盾，故假设不成立，即数列B中存在使得，故数列A中存在使得.【点睛】思路点睛：数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知不等式条件，解决数列问题，此类问题一般利用不等式性质研究数列问题；已知数列条件，解决不等式问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
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