1、顺义区2021届高三第一次统练数学试卷考生须知1. 本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分，考试时间120分钟2. 在答题卡上准确填写学校名称、姓名、班级和教育ID号3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡，在试卷上作答无效4. 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答5. 考试结束后，请将答题卡上交第一部分（选择题 共40分）一、 选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）设集合，则 A. B. C. D. （2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则A. B. C. D. （3）在的展开式中，常数项为A. B. C
2、. D. （4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D. （5）我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯A32盏 B64盏 C128盏 D.196盏（6）设双曲线的方程为，若的一条渐近线的斜率为，则的离心率为A. B. C. D. （7）已知，且，则下列不等式中不恒成立的是A. B. C. D. （8）已知两条直线m，n和平面，且，则“”是“”的A.充分必要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充分
3、也不必要条件（9）在中，则A B C D.（10）已知函数若存在，使得，则实数的取值范围是A B C D.第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题共5小题，每小题5分，共25分 （11） （12）设抛物线的焦点为，则=_；若点在抛物线上，且，则点的坐标为_（13）已知函数，能说明既是偶函数又在区间上单调递减的一组整数的值依次是_（14）已知单位向量满足，则与夹角的大小为_；（）的最小值为_（15）已知椭圆的左、右焦点分别为，直线 与椭圆相交于点，给出下列三个命题： 存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形； 存在唯一一个m，使得为等腰直角三角形； 存在，使的周长最大其中，所有真命题的序号为_三
4、、 解答题共6小题，共85分解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程（16）（本小题满分13分）在三棱柱中，平面，是的中点（）求证：；（）求二面角的余弦值（17）（本小题满分14分）函数，的部分图象如图所示（）求函数的解析式；（）求函数在区间上的最小值（18）（本小题满分14分）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如下表：运动鞋款式ABCDE回访顾客（人数）700350300250400满意度0.30.50.70.50.6注：1.满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；2.对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度假设
5、顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率（）从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；（）从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为X，求X的分布列和数学期望；（）用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小（结论不要求证明）（19）（本小题满分14分）已知椭圆经过点和（）求椭圆C的方程；（）若直线与椭圆C交于，两点，且坐标原点到直线的距离为求证：以为直径的圆经过点（20）（本小题满分15分）已知函数.（）若,求
6、曲线的斜率等于3的切线方程；（）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.（21）（本小题满分15分）已知是无穷数列给出两个性质：对于中任意两项，在中都存在一项，使得；对于中任意项，在中都存在两项，使得.()若，判断数列是否满足性质，说明理由；()若，判断数列是否同时满足性质和性质，说明理由；()若是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：为等差数列.顺义区2021届高三第一次统练数学试卷参考答案一. 选择题（共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项）题号 12345678910答案BDAACACCDB二.填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11
7、. ； 12. ，(前3分，后2分)； 13. （答案不唯一）； 14. ，(前3分，后2分)； 15. 三解答题（本大题共6小题，共85分,其它答案参考给分）16（本小题共13分）解：（）因为平面，所以.-2分又，平面，平面，所以平面.-4分因为平面，所以.-5分（）在三棱柱中，因为由平面，所以平面.所以，两两垂直.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，-6分 所以，. 设平面的法向量为， 因为， 所以 . 即.令，则，.所以平面的一个法向量为.-9分因为平面，所以平面的一个法向量为.-10分所以.-13分所以二面角的余弦值为.17.（本小题满分14分）解：（）由题设图象知，周期，因为，所以-
8、2分而由题意知，所以-4分 因为函数的图象过点，所以所以所以又因为，所以.故函数的解析式为.-7分（）-9分=-11分因为，所以.所以当时，即时，取到最小值，且最小值为.-14分18.（本小题共14分）解：（）由题意知，是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为-2分故此顾客是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是.-4分（）X的取值为0，1，2.-5分设事件为“从A款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，事件为“从E款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，且事件相互独立.根据题意，估计为，估计为.则 -6分 -7分 -8分所以的分布列为：X012
9、0.280.540.18-10分的期望是：.-12分（）.-14分19.（本小题满分14分）解：（）因为椭圆经过点，所以.-1分又因为椭圆经过点，所以，解得.-3分所以椭圆的方程为-4分（）由，可得.-6分由题意，设，所以，.-8分因为原点到直线的距离为，所以.即. -9分因为-10分 -11分 -13分所以.即.因此以为直径的圆过原点.-14分20.（本小题满分15分）解：（）当时，-2分设切点为，则，解得或（舍）-3分所以.切点为-4分所以所求切线方程为.即.-5分（）因为，-6分由及定义域，令，得.-7分当，即时，在上，所以在上单调递增.此时在上不可能存在两个零点；-9分当，即时，在上，
10、所以在上单调递减.此时在上不可能存在两个零点；-11分当，即时，要使在区间上恰有两个零点，则，即，此时.综上，实数的取值范围是.-15分21.（本小题满分15分）解：（）数列不满足性质，理由如下：-2分取数列中的，所以.由，解得，显然不是整数.所以在数列中不存在，使得，故数列不满足性质；-4分（）数列同时满足性质和性质，理由如下：-5分对于中任意两项，记，因此，从而数列满足性质；-7分对于中任意项，记，显然有，从而数列满足性质；综上，数列同时满足性质和性质 -9分（）是递增数列，则，根据性质，,由数学归纳法原理，可以证明-12分另一个方面，我们用反证法证明假设（）是中最小的不能写成的整倍数的项，根据性质，存在两项，使得，我们记，可知：，易知，根据（）的最小性，可知道，可以得到，与t不是正整数矛盾.综上所述，是首项为0，公差为的等差数列.-15分
