1、1相似三角形模型大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）（平行）（不平行）（二）8 字型、反 8 字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型2（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：3二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由 A 字型旋转得到。8 字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形4第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例 1：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E求证：OEOAOC2例 2：已知
2、：如图，ABC 中，点 E 在中线 AD 上,ABCDEB求证：（1）DADEDB2；（2）DACDCEACDEB5例 3：已知：如图，等腰ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F求证：EGEFBE2相关练习：1、如图，已知 AD 为ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证：FCFBFD22、已知：AD 是 RtABC 中A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延长线交于一点 N。求证：(1)AMENMD;(2)ND 2=NCNB63、已知：如图，在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，
3、E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。求证：EBDF=AEDB4.在 ABC 中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：GBM90GMFEHDCBA5（本题满分 14 分，第（1）小题满分 4 分，第（2）、（3）小题满分各 5 分）已知：如图，在 RtABC 中，C=90，BC=2，AC=4，P 是斜边 AB 上的一个动点，PDAB，交边 AC于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合），E 是射线 DC 上一点，且EPD=A设 A、P 两点的距离为 x，BEP 的面积为 yACBPDE（第 25 题图）7（1）求证：AE=2
4、PE；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP 与ABC 相似时，求BEP 的面积双垂型1、如图，在ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED2、如图，已知锐角ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别是 27 和 3，DE=62，求：点 B 到直线 AC 的距离。D E A B C8EDABC共享型相似三角形1、ABC 是等边三角形,D、B、C、E 在一条直线上,DAE=120，已知 BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.ABCDE2、已知：
5、如图，在 RtABC 中，AB=AC，DAE=459求证：（1）ABEACD；（2）CDBEBC 22EDCAB一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60（1）求证：BDECFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE例 2：（1）在 ABC中，5 ACAB，8BC，点 P、Q 分别在射线CB、AC 上（点 P 不与点C、点 B 重合），且保持ABCAPQ.若点 P 在线段CB 上（如图），且6BP，求线段CQ 的长；CADBEF10若xBP，yCQ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形 ABCD 的边长为
6、5（如下图），点 P、Q 分别在直线CB、DC 上（点 P 不与点C、点 B 重合），且保持90APQ.当1CQ时，求出线段 BP 的长.例 3：已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2（1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求 AP 的长（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足BPEA，PE 交直线 BC 于点E，同时交直线 DC 于点 Q，那么ABC备用图ABCDABCDABCPQABC备用图ABCDCDABP11当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 APx，CQy，求 y 关于 x 的函数解
7、析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长CBADCBAD例 4：如图，在梯形 ABCD 中，AD BC，6ABCDBC，3AD 点 M 为边 BC 的中点，以M 为顶点作EMFB，射线 ME 交腰 AB 于点 E，射线 MF 交腰CD 于点 F，联结 EF（1）求证：MEF BEM；（2）若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长；（3）若 EFCD，求 BE 的长12相关练习：1、如图，在ABC 中，8 ACAB，10BC，D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，且CADE(1)求证：ABDDCE；(2)如果xBD，yAE，求 y 与 x 的函数
8、解析式，并写出自变量 x 的定义域；(3)当点 D 是 BC 的中点时，试说明ADE 是什么三角形，并说明理由ABCDE132、如图，已知在ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结 DE，并作DEFB，射线 EF 交线段 AC 于 F（1）求证：DBEECF；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；（3）联结 DF，如果DEF 与DBE 相似，求 FC 的长3、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC=6，AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点（1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPC
9、PD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、C 不重合），且满足EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=x，DF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当BEPDMFSS 49时，求 BP 的长FBACDEEDCBAP（第 25 题图）EDCBA（备用图）144、如图，已知边长为3 的等边 ABC，点 F 在边 BC 上，1CF，点 E 是射线 BA 上一动点，以线段 EF为边向右侧作等边 EFG，直线,EG FG 交直线 AC 于点,M N，（1）写出图中与 BEF相似的三角
10、形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BEx MNy，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（4）若1AE，试求 GMN的面积一线三直角型相似三角形例 1、已知矩形 ABCD 中，CD=2，AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作CPPE，交边 AB 于点 E,设yAExPD,，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。备用图15例 2、在 ABC中，OBCACC,3,4,90o是 AB 上的一点，且52ABAO，点 P 是 AC 上的一个动点，OPPQ 交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设yC
11、QxAP,，试求 y 关于 x 的函数关系，并写出定义域。【练习 1】在直角 ABC中，43tan,5,90BABCo，点 D 是 BC 的中点，点 E 是 AB 边上的动点，DEDF 交射线 AC 于点 F（1）、求 AC 和 BC 的长（2）、当BCEF/时，求 BE 的长。（3）、连结 EF,当 DEF和 ABC相似时，求 BE 的长。16【练习 2】在直角三角形 ABC 中，DBCABC,90o是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A,C不重合），DFDEDF,与射线 BC 相交于点 F.(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DFDE(2)、当mDBAD，
12、求 DFDE 的值（3）、当21,6DBADBCAC，设yBFxAE,求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域17【练习 3】如图，在 ABC中，90C，6AC，3tan4B，D 是 BC 边的中点，E 为 AB 边上的一个动点，作90DEF，EF 交射线 BC 于点 F 设 BEx，BED的面积为 y（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（2）如果以 B、E、F 为顶点的三角形与 BED相似，求 BED的面积.18QPDCBAQPDCBA【练习 4】、（2009 年黄浦一模 25）如图,在梯形 ABCD 中，CDAB,34tan,4,2CADAB，PDABADC,900是腰 BC 上一个动点(不含点 B、C),作APPQ 交CD 于点Q.(图 1)(1)求 BC 的长与梯形 ABCD 的面积；(2)当DQPQ 时,求 BP 的长；(图 2)(3)设yCQxBP,试求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域.19（图 1）（图 2）
