1、北京市第43中学2020-2021学年度高二4月月考数学试卷总分：150分 答题时间：90分钟 一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集 U=R，集合 A=x x2x0，那么集合 UA= A. ,01,+B. ,01,+C. 0,1D. 0,1 2. 已知复数 ，则复数 z 的虚部是 A. 25B. 25iC. 25D. 25i 3. 若 PA=34，PBA=12，则 PAB 等于 A. 23B. 38C. 13D. 58 4. 已知等比数列 an 满足 a1=1，a4=8，则 a7 等于 A. 32B. 32C. 64D. 64 5. 在等差数列 an 中，若 a4+a5+a6=15，
2、则 a2+a8= A. 6B. 10C. 7D. 5 6. 等差数列 an 的首项为 1，公差不为 0，若 a1，a2，a4 成等比数列，则 an 前 5 项的和为 A. 10B. 15C. 21D. 28 7. 直线 y=kx+3 被圆 x22+y32=4 截得的弦长为 23，则 k= A. 33B. 3C. 33D. 3 8. 如图，点 E 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 DD1 的中点，点 F，M 分别在线段 AC，BD1（不包含端点）上运动，则 A. 在点 F 的运动过程中，存在 EFBC1B. 在点 M 的运动过程中，不存在 B1MAEC. 四面体 EMAC 的体积为定值D
3、. 四面体 FA1C1B 的体积不为定值 二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A1,2，B3,1，C5,6，则顶点 D 的坐标为 10. 在 x1x6 展开式中，常数项为 （用数值表示） 11. 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 12. 已知双曲线 C：x2a2y2b2=1a0,b0 的一个焦点是抛物线 y2=8x 的焦点，且双曲线 C 的离心率为 2，那么双曲线 C 的方程为 13. 已知数列 an 的前 n 项和 Sn=n22n+1，则 a
4、3= 14. 已知数列 annN 中，a1=1，an+1=an2an+1，则 an= 三、解答题（共6小题；共80分）15. 设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（1）. 求an的通项公式（2）. 记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值（3）. 记 |an| 的前n项和为Tn，求Tn的表达式。 16. 已知等差数列 an 满足 a1+a2=10，a4a3=2（1）求 an 的通项公式（2）设等比数列 bn 满足 b2=a3，b3=a7；问：b6 与数列 an 的第几项相等 17. 已知 F1，F2 是椭圆 C:x24+y22=1 的左、右焦点（1）求椭圆 C
5、 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆 C 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l，l 与椭圆的另一个交点为 B，求 F1F2B 的面积 18. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的 5 个小球，其中 3 个黑球，2 个白球如果不放回的依次取出 2 个球回答下列问题：（1）第一次取出的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率 19. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 5 个红球与编号分别为 1 、 2 、 3 、 4 的 4 个白球，从中任意取出 3 个球（1）求
6、取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（2）求取出的 3 个球中恰有 2 个球编号相同的概率；（3）记 X 为取出的 3 个球中编号的最大值，求 X 的分布列与数学期望 20. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1平面ABC，D，E，F，G 分别为 AA1，AC，A1C1，BB1 的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2（1）求证：AC平面BEF；（2）求二面角 BCDC1 的余弦值；（3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交答案第一部分1. D2. C【解析】z=1i1+3i=1i13i1+3i13i=134i10=24i10=12i5，所以 z 的虚部为 253.
7、 B【解析】由条件概率公式得 PAB=PAPBA=384. D【解析】因为 an 为等比数列，所以 a1a7=a42，即 a7=64，所以 a7=64故选D5. B【解析】由题可知：a4+a5+a6=3a5=15a5=5，又 a2+a8=2a5，所以 a2+a8=106. B【解析】在等差数列 an 中，记公差为 d，因为 a1=1，且 a1，a2，a4 成等比数列，所以有 a1a4=a22，即 11+3d=1+d2，解得 d=1 或 d=0（舍），所以 an=a1+n1d=n，所以 S5=1+2+3+4+5=157. A8. C【解析】A选项：易知直线 BC1 与平面 AEC 相交，点 F
8、在线段 AC 上运动，且 AC 在平面 AEC 内，所以 EF平面AEC，所以 BC1 与直线 EF 不可能平行，故A错误；B选项：如图，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1 边长为 2，则 A2,0,0，E0,0,1，B12,2,2，D10,0,2，B2,2,0，设 BM=BD1，则 BM=2,2,2，所以 M22,22,2，则 B1M=2,2,22，又 AE=2,0,1，且 B1MAE，所以 AEB1M=0，即 4+22=0，解得 =13，故在 BD1 上存在点 M，当 M 是 BD1 靠近 B 的
9、三等分点时，B1MAE，故B错误；C选项：因为 BD1平面AEC，且点 M 在线段 BD1 上运动，所以点 M 到平面 AEC 的距离为定值，又 AEC 的面积为定值，所以四面体 EMAC 的体积为定值，故C正确；D选项：因为 ACA1C1，A1C1平面A1C1B，所以 AC平面A1C1B，点 F 在线段 AC 上运动，所以点 F 到平面 A1C1B 的距离为定值，又 A1C1B 的面积为定值，所以四面体 FA1C1B 的体积为定值，故D错误第二部分9. 1,5【解析】设 Dx,y，则由 AB=DC，得 4,1=5x,6y，即 4=5x,1=6y, 解得 x=1,y=5.10. 2011. 0
10、.648【解析】该同学通过测试的概率 P=C320.620.4+0.63=0.432+0.216=0.64812. x2y23=113. 3【解析】因为 S3=96+1=4，S2=44+1=1，所以 a3=S3S2=41=314. 12n1【解析】因为 an+1=an2an+1，所以 1an+1=1an+2，所以 1an+11an=2，故 1an 是以 1 为首项，2 为公差的的等差数列，所以 1an=1+2n1=2n1，所以 an=12n1，填 12n1第三部分15 (1) 因为an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，所以a3+82=a2+10a4+6，所以2
11、+2d2=d4+3d，解得d=2，所以当an=a1+n1d=10+2n2=2n12(2) 由a1=10，d=2，得：Sn=10n+nn122=n211n=n11221214.所以n=5或n=6时，Sn取最小值30(3) 略16. （1） 设公差为 d，首项为 a1，则 a1+a2=2a1+d=10,a4a3=d=2, 解得 d=2,a1=4, 所以 an=a1+n1d=2n+2，nN（2） 设等比数列的公比为 q，首项为 b1，由（1）知，a3=8，a7=16，则 b2=b1q=8,b3=b1q2=16, 解得 q=2,b1=4, 所以 bn=b1qn1=2n+1，b6=27=128， an=
12、128 时，2n+2=128，得 n=63，所以 b6 与 an 的第 63 项相等17. （1） 因为椭圆方程为 x24+y22=1，所以焦点坐标分别为 F12,0，F22,0，离心率 e=ca=22（2） 椭圆 C 的左顶点为 A2,0，直线 l 的方程为 y=x+2，由 y=x+2,x24+y22=1, 消去 y，整理可得：3x2+8x+4=0，解这个方程得 x1=2，x2=23，所以点 B 坐标为 23,43，所以 SF1F2B=12F1F243=122243=42318. （1） 依题意，设事件 A 表示“第一次取出的是黑球”，设事件 B 表示“第二次取出的是白球”黑球有 3 个，球
13、的总数为 5 个，所以 PA=35（2） 第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为 PAB=3524=310（3） 在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率为 PBA=PABPA=31035=1219. （1） 设取出的 3 个球颜色相同且编号是三个连续整数为事件 A，则PA=3+2C93=584.因此，取出的 3 个球的编号恰好是 3 个连续的整数，且颜色相同的概率为 584（2） 设取出的 3 个球中恰有两个球编号相同为事件 B，则PB=C41C71C93=13.因此，取出的 3 个球中恰有两个球编号相同的概率为 13（3） X 的取值为 2，3，4，5，则PX=2=
14、C21C22+C22C21C93=121,PX=3=C21C42+C22C41C93=421,PX=4=C21C62+C22C61C93=37,PX=5=C11C82C93=13.从而 X 的分布列为X2345P1214213713因此，X 的数学期望为EX=2121+3421+437+513=8521.20. （1） 由题意可知：因为 CC1面ABC，E，F 分别为 AC，A1C1 的中点所以 EFCC1，所以 EF面ABC，因为 AC面ABC，所以 EFAC，又因为 AB=BC，E 为中点所以 BEAC，BEEF=E，所以 AC面BEF（2） 由题意可知，以 E 为坐标原点，分别以 EA，
15、EB，EF 为 x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系 E0,0,0，A1,0,0，C1,0,0，B0,2,0，A1,0,2，C11,0,2，D1,0,1，B10,2,2易知 BE面ACC1A1，所以设面 CC1D 的法向量为 m=0,1,0，设面 BCD 的法向量为 n=x,y,z， BC=1,2,0，CD=2,0,1， nBC=0,nCD=0, x2y=0,2x+z=0, 令 x=2，n=2,1,4记二面角 BCDC1 的平面角为 ，可知 为钝角 cos=mnmn=2121，所以 cos=2121（3） G0,2,1，F0,0,2，FG=0,2,1，由（2）可知面 BCD 的法向量为 n=2,1,4，所以记 FG 与面 BCD 所成的角为 ，则 sin=FGnFGn=2521=2105105，所以 FG 与面 BCD 相交
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