1、北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷一、选择题共10小题。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1. 已知集合MxZ|1g（x-1）0，NxZ|x|2，则MN（ ）A. B. （1，2）C. （-2，2D. -1，0，1，22. 如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么（ ）A. b3，ac9B. b-3，ac9C. b3，ac-9D. b-3，ac-93. 设，都是单调函数，有如下四个命题：若单调递增，单调递增，则-单调递增；若单调递增，单调递减，则-单调递增；若单调递减，单调递增，则-单调递减；若单调递减，单调递减，则-单调递减。其中，正确的命题是（ ）A.
2、 B. C. D. 4. 若ab0，且ab，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 5. 已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则ABC是（ ）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形6. 已知函数cos2x-sin2x（0）的最小正周期为，则（ ）A. 在（0，）内单调递增B. 在（0，）内单调递减C. 在（，）内单调递增D. 在（，）内单调递减7. 若是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）1，f（2）2，则f（3）-f（4）（ ）A. -1B. 1C. -2D. 28. 下图是下列四个函数中的某个函数在区间-3，
3、3的大致图像，则该函数是（ ）A. B. C. D. 9. 已知函数x3+x2-2|x|-k。若存在实数x0，使得f（-x0）-f（x0）成立，则实数k的取值范围是（ ）A. -1，+）B. （-，-1C. 0，+）D. （-，010. 信息熵是信息论中的一个重要概念。设随机变量X所有可能的取值为1，2，n，且P（Xi）pi0（i1，2，n），定义X的信息熵H（X）。给出下面四个结论：若n1，则H（x）0；若n2，则当时，H（x）取得最小值；若，则H（x）随着n的增大而增大；若n10，随机变量Y所有可能的取值为1，2，5，且P（Yj）pj+p11-j（j1，2，5），则H（X）H（Y）。其中，
4、正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题共5小题。11. 在ABC中，a，b2，B2A，则cosA_。12. 若函数为奇函数，则参数a的值为_。13. 已知数列an满足an+1，nN*，若a3，则a1_。14. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，a12，设1ijk12。若k-j3且j-i4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k-j4且j-i3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦。用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为_。15. 已知函数sin2x-x3，若函数f（x-4）+x，则函数的图像的对称中心为_；若数列an为等差数列，a1+a
5、2+a3+a1144，则g（a1）+g（a2）+g（a11）_。三、解答题共6小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16. 已知函数A sin（x+）（A0，0，0）的部分图像如图所示，在条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知。（1）求函数的解析式；（2）设函数cos（2x+），若在区间0，m上单调递减，求m的最大值。条件：c-a；条件：b；条件：c。17. 记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9-a5。（1）若a34，求an的通项公式；（2）若a10，求使得Snan的n的取值范围。18. 记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分
6、别为S1，S2，S3，且S1-S2+S3=，sin B=。（1）求ABC的面积；（2）若sinA sinC=，求b。19. 已知函数（1）求的值；（2）求不等式1的解集；（3）当x00时，是否存在使得成立的x0值？若存在，直接写出x0的值；若不存在，说明理由。20. 已知函数（aR）。（1）当a0时，求曲线y在x0处的切线方程；（2）求函数在1，2上的最小值。21. 已知数列A：a1，a2，aN（N4），其中a1，a2，aNZ，且a1a2aN。若数列，N满足1a1，NaN，当i2，3，N-1时，iai-1+1或ai+1-1，则称：1，2，N为数列A的“紧数列”。例如，数列A：2，4，6，8的所
7、有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8。（1）直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；（2）已知数列A满足：a11，aN2N，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为N+1；（3）已知数列A满足：a10，a22，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合S（）ai-i|i2，3，N-1，如果对任意xS（），都有-xS（），那么称为数列A的“强紧数列”。若数列A存在“强紧数列”，求aN的最小值。（用关于N的代数式表示）参考答案1. D2. （2006高考北京文6）B3. （2001高考全国理10）C4. （2022房山一
8、模3）C5. （2022朝阳高一下期末4）B6. （2022昌平高三上期末7）B7. （2010高考安徽理4）A8. （2022高考全国乙文8）A设，则f（1）0，故排除B；设h（x），当x（0，）时，0cosx1，所以h（x）1，故排除C；设，则g（3）0，故排除D。9. （2019海淀高三上期中7）A由f（-x0）-f（x0）得-x+x-2|x0|-k-（x+x-2|x0|-k），整理得kx-2|x0|，所以k-1，+）。10. （2020高考山东（改编）12）C11. （2021丰台一模13）。12. （2022高考上海8）1。13. （2022东城高二上期末13）。14. （2020高
9、考全国II文（改编）3）10。15. （原创）（4，6），66。16. （2022西城高三上期末17）（1）选条件；因为c-a，所以，即T，则2。由题意可知A2，则2sin（2x+）。因为b，f（b）2sim（+）0，所以，kZ，即+k。因为0，所以，k1。所以2sin（2x+）。选条件：因为c-a，所以，即T，则。由题意可知A2，则2sin（2x+）。因为c，f（c）2sin（+）-2，所以+2k，kZ，即+2k。因为0，所以，k0。所以2sin（2x+）。选条件：因为b，c，所以c-b，即T，则2。由题意可知A2，则2sin（2x+）。因为c，2sin（+）-2，所以+2k，kZ，即+2k
10、。因为0，所以，k0。所以2sin（2x+）。（2）由题意得sin（4x+）。方法一：函数ysinx的单调递减区间为+2k，+2k（kZ）。由+2k4x+2k，得-x。因为函数y在区间0，m上单调递减，且0-，此时k0。所以m，所以m的最大值是。方法二：因为x0，m，所以4x+，4m+。由题意知ysint在，4m+上单调递减，所以4m+，所以m，所以m的最大值是。17. （2019高考全国I文18）（1）设an的公差为d。由S9-a5得a1+4d0。由a34得a1+2d4。于是a18，d-2。因此an的通项公式为an10-2n。（2）由（1）得a1-4d，故an（n-5）d，Sn。由a10知d
11、0，故Snan等价于n2-11n+100，解得1n10。所以n的取值范围是n|1n10，nN。18. （2022高考全国 18）（1）因为边长为a的正三角形的面积为a2，所以S1-S2+S3，即ac cos B1，由sinB得：cosB，所以ac=，故SABCac sin B。（2）由正弦定理得，故bsin B。19. （2022东城高二下期末18）（1）f（f（-1）f（2）224。（2）由1，有或解得x（-2，0）（0，+）。（3）存在唯一的x0-1，使得f（x0）-f（-x0）0成立。20. （2022房山二模19）（1）当a0时，（x-1），x。所以0，-1。所以曲线y在x1处的切线方
12、程为y-1。（2）x-ax=x（-a）。当a0时，-a0。所以x1，2时，0。所以在1，2上是增函数。所以minf（1）-a。当a0时，令0，解得x1lna，x20（舍）。（A）当ln a1，即0ae时，x1，2时，0。所以在1，2上是增函数。所以minf（1）-a。（B）当1ln a2，即eac2时，（1，ln a）ln a（ln a，2）-0+极小值所以minf（ln a）-。（C）当ln a2，即ac2时，x1，2时，0。所以在1，2上是减函数。所以minf（2）e2-2a。综上，当ae时，min-a；当eae2时，min-a ln2a+a（lna-1）；当ae2时，mine2-2a。2
13、1. （2022西城高三上期末21）（1）1：1，2，4，7，8；2：1，2，6，7，8；3：1，5，4，7，8；4：1，5，6，7，8。（2）依题意，对任意i2，3，N-2，有iai-1+1或ai+1-1，i+1ai+1或ai+2-1，因为均为递增数列，所以有ii+1，即同时满足；ai-1+1ai+1，ai+1-1ai+2-1，ai-1+1ai+2-1，ai+1-1ai+1。因为A为递增数列，因此和恒成立。又因为A为整数数列，对于，ai-1+1aiai+1ai+2-1也恒成立。对于，一方面，由ai+1-1ai+1，得ai+1ai+2，即ai+1ai+1。另一方面，ai+1ai+1，所以ai+
14、1ai+1（i2，3，N-2），即A从第2项到第N-1项是连续的正整数，所以a2a1+12，aN-1a2+N-3aN-12N-1，因此2a2N+2，故a2共有N+1种不同取值，即所有符合条件的数列A共有N+1个。（3）记bnan-an-1，依题意，bnN*（n2，3，N）。对任意i2，3，N-1，有ai-ibi-1或-bi+1+1，注意到0S（），即对任意i2，3，N-1，有ai-i0，若ai-ibi-10，则bi1，即bi2；若ai-i-bi+1+10，则bi+11，即bi+12，即对任意i2，3，N-1，或者bi2，或者bi+12。所以bi+bi+13，所以bi-1-bi+1+1不能成立。
15、记T1i|ai-ibi-1，i2，3，N-1，T2i|ai-i-bi+1+1，i2，3，N-1，则T1T2，且T1T22，3，N-1。注意到：若存在jT2且2jN-2，即aj-j-bj+1+1，则j+1T2。否则，若j+1T1，则aj+1-j+1bj+1-1-（-bj+1+1）-（aj-j），不合题意。因此集合T1，T2有以下三种情形：T12，3，N-1，T2。对任意i2，3，N-1，有bi2，则aNa1+（b2+b3+bN-1）+bN0+（N-2）2+12N-3，当且仅当：b2b3bN-12，bN1，即A：0，2，4，2N-4，2N-3时，等号成立，此时存在“强紧数列”：0，1，3，2N-3，故此情形下，aN的最小值为2N-3；T12，3，k，T2k+1，k+2，N-1，其中k2，3，N-2。对任意iT1，有bi2，对任意jT2，有bj+12。aNa1+（b2+b3+bk）+bk+1+（bk+2+bk+3+bN）0+（k-1）2+1+（N-k-1）22N-3。故此情形下，aN的最小值不小于2N-3；T1，T22，3，N-1。对任意i2，3，N-1，有bi+12，aNa1+b2+（b3+b4+bN）0+2+（N-2）22N-22N-3。故此情形下，aN的最小值不小于2N-3。综上，aN的最小值为2N-3。
