1、平面向量应用举例 (20分钟35分)1.(2020廊坊高一检测)如果一架飞机先向东飞行200 km,再向南飞行300 km,设飞机飞行的路程为s km,位移的模为a km,则()A.saB.saC.s=aD.s与a不能比较大小【解析】选A.物理量中的路程是数量,位移是向量,从而s=500,由位移的合成易得aa.2.在ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,=5,则AC的长为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.因为=-=-,所以=-+,即=1,所以|=2,即AC=2.3.若四边形ABCD满足+=0,(-)=0,则该四边形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形【解析】选C.因为+
2、=0,所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.由(-)=0,得=0,所以,即此平行四边形对角线互相垂直,故一定是菱形.4.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为()A.10 m/sB.2 m/sC.4 m/sD.12 m/s【解析】选B.由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.所以小船在静水中的速度大小|v|=2(m/s).5.若O为ABC所在平面内一点,且满足(-)(+-2)=0,则ABC的形状为.【解析】(-)(+-2)=(-)(-+-)=(-)(+)=|2-|2=0,所以|=|,所以ABC为等腰
3、三角形.答案:等腰三角形6.已知等腰ABC中,BB,CC是两腰的中线,且BBCC,求顶角A的余弦值.【解析】以底边BC所在的直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,设A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),=(c,a),=(c,0),=(2c,0),=(c,-a).因为BB,CC分别为AC,AB边上的中线,所以=(+)=,=(+)=.又因为,所以c+=0,即a2=9c2.所以cosBAC=,即ABC的顶角A的余弦值是. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点,若(-)(+)=(-
4、)(+)=0,则O为ABC的()A.内心B.外心C.重心D.垂心【解析】选B.因为(-)(+)=0,则(-)(+)=0,所以-=0,所以|=|.同理可得|=|,即|=|=|,所以O为ABC的外心.2.已知两个力F1,F2的夹角为90,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60,那么F1的大小为()A.5 NB.5 NC.5 ND.10 N【解析】选A.画出图形,如图所示,由题意|F1+F2|=10,所以|F1|=|F1+F2|cos 60=5 N.3.(2020宜宾高一检测)如图,ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,则等于()A.B.C.2D.3【解析】选B.=(-)=-,因为
5、OA=OB,所以在上的投影为|,所以=|=2,同理=|=,故=-2=.4.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=()A.2B.4C.5D.10【解析】选D.将ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则=-6=42-6=10.5.如图,设P为ABC内一点,且2+2+=0,则SABPSABC=()A.B.C.D.【解析】选A.设AB的中点是D,连接PD.因为+=2=-,所以=-,所以C,P,D三点共线且P为CD的五等分点,所以ABP的面积为ABC的面积的,即=.【补偿训练】在ABC所在平面上有一点P,满足+=,则PAB与ABC的面积的比值是.【解析】由题意可得+=
6、0,所以+2=0,即=2,所以P是线段AC的三等分点(靠近点A),易知SPAB=SABC,即SPABSABC=13.答案:13二、填空题(每小题5分,共15分)6.单位圆上三点A,B,C满足+=0,则向量,的夹角为.【解析】因为A,B,C为单位圆上三点,所以|=|=|=1,又因为+=0.所以-=+.所以=(+)2=+2,设,的夹角为,可得cos =-.所以向量,的夹角为120.答案:1207.如图,甲,乙两人同时拉动一个有绳相缚的物体,当甲,乙所拉着的绳子与中直线分别成30和60的角时,甲和乙的手上所承受的力的比是.【解析】|F甲|F乙|=cos 30cos 60=1.答案:18.(2020张
7、掖高一检测)已知平面上直线l与向量e所在直线平行且e=,点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O和A,若=e,则=.【解析】因为=(1,-2),设与e的夹角是,因为e=,则e=-2,即|e|cos=-2,所以cos=-,在e方向上的投影为|cos=-2,所以=-2e.答案:-2三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,若D为ABC内一点,且|AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2,求证:ADBC.【证明】方法一:设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2ec-2ed-d2.因为a2-b2=c2-d2,所
8、以c2+2ec-2ed-d2=c2-d2,所以e(c-d)=0. 因为=+=d-c,所以=e(d-c)=0.又因为0,0,所以,即ADBC.方法二:因为|AB|2-|AC|2=|DB|2-|DC|2,所以|2-|2=|2-|2.所以(+)(-)=(+)(-),即(+)=(+),所以(+-)=0.即2=0,所以,即CBAD.10.已知圆C:(x-2)2+y2=4,圆M:(x-2-5cos )2+(y-5sin )2=1(R),过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE,PF,切点分别为E,F,求的最小值.【解析】圆C:(x-2)2+y2=4的圆心C(2,0),半径为2,圆M:(x-2-5cos )2
9、+(y-5sin )2=1,圆心M(2+5cos ,5sin ),半径为1,因为CM=52+1,故两圆相离.因为=|cosEPF,要使最小,需|最小且EPF最大.如图所示,设直线CM和圆M交于H,G两点,则最小值是,HC=CM-1=5-1=4,HE=2,sin CHE=,所以cosEHF=cos 2CHE=1-2sin2CHE=,=|cosEHF=22=6.即的最小值为6.1.(2020阳泉高一检测)如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BEAC,垂足为E,则ED=.【解析】以A为坐标原点,AD,AB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(0,),C(3,),D
10、(3,0),=(3,),设=,则E的坐标为(3,),故=(3,-).因为BEAC,所以=0,即9+3-3=0,解得=,所以E.故=,|=,即ED=.答案:2.在ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,M是AC边上靠近A点的一个三等分点,试问:在线段BM(端点除外)上是否存在点P使得PCBM?【解析】以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.由于AB=AC=5,BC=6,所以B(0,0),A(3, 4),C(6,0). 则=(3,-4),由于M点是AC边上靠近A点的一个三等分点.所以=,于是M,所以=.假设在BM上存在点P使得PCBM,则设=,且01,即=,所以=+=(-6,0)+=(4-6,),由于PCBM,所以=0,得4(4-6)+=0,解得=,由于=(0,1),所以线段BM上不存在点P使得PCBM.