1、云南省玉溪第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 设集合,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得.【详解】由解得，所以，所以.故选：D2. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用诱导公式求解.【详解】，故选：D3. 高二某班有学生52人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（ ）A.
2、13B. 14C. 18D. 26【答案】C【解析】【分析】直接根据系统抽样的定义与性质求解即可.【详解】因为，所以由系统抽样的定义可知编号间隔是，所以样本中的另一个学生的编号为故选:C【点睛】本题主要考查系统抽样的方法，属于简单题. 系统抽样适合抽取样本较多且个体之间没有明显差异的总体，系统抽样最主要的特征是，所抽取的样本相邻编号等距离，可以利用等差数列的性质.4. 记等比数列的前项和为，已知，则（ ）A. 180B. 160C. 210D. 250【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到，构成等比数列，再利用等比中项的性质即可得到答案.【详解】因为为等比数列，所以，构成等比数列.所以，解
3、得.故选：C5. 下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质一一判断即可得出答案.【详解】A选项，当时，若，则，故A选项不正确；B选项，当时，则，故B选项不正确；C选项，若，则有，故C选项不正确；D选项，若，则两边同时平方可得，故D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查了不等式性质的应用，属于基础题.6. 已知等差数列中，则的前n项和的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据已知条件判断时对应的的范围，由此求得的最大值.【详解】依题意，所以，所以的前n项和的最大值为.7. 方程所表示的直线（ ）A
4、. 恒过定点B. 恒过定点C. 恒过定点D. 都平行直线【答案】A【解析】【分析】将方程重新整理，由此判断出直线所过定点.【详解】依题意可化为，令得，则，所以直线过定点.故选：A8. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只将的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图像求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像观察可知，所以，则，所以，根据图像过点，所以 ，则，所以，函数，因此把图像向左平移个单位即得到的函数图像，故选：A.9. 如图所示的中,，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【
5、解析】【分析】设，根据向量的线性运算法则，求得，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，设，则夹角为 因为，可得，由，则又由所以.故选：B.10. 已知单位向量和满足，则与的夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，对两边平方即可求出的值，进而求出的值，从而得出与的夹角.【详解】解：由得：，且，解得，.故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的求解，考查学生计算能力，是中档题.11. 设若是最小值，则的取值范围为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】当a0时，显然f(0）不是f(x)的最小值，当a0时，
6、解不等式: 即可求解.【详解】当a0时，显然f(0)不是f (x)的最小值，当a0时，f (0）=a2,由题意得：恒成立，而时，当且仅当时等号成立，所以只需，解得，又a0，所以故选：D.12. 已知定义在上的函数是奇函数，且满足，数列满足，且，为的前n项和，则（ ）A. 1B. 3C. -3D. 0【答案】C【解析】【分析】判断出的周期，求得的通项公式，由此求得.【详解】依题意定义在上的函数是奇函数，且满足，所以，所以是周期为的周期函数.由得，当时，当时，-得（），所以，.所以故选：C【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于对称，则这个函数是周期函数，且周期为.二、填空题：本题共4小题，每小
7、题5分，共20分.13. 若变量，满足约束条件，则的最小值是_.【答案】-4【解析】【分析】作出可行域，根据图形找到最优解，将最优解的坐标代入目标函数即可得到答案.【详解】作出可行域如图：由图可知，点为最优解，联立解得，所以，所以，故答案为：【点睛】本题考查了线性规划求目标函数的最值，解题关键是找到最优解，属于基础题.14. 若，则的最小值是_【答案】3【解析】【分析】配凑目标式，再利用基本不等式即可求得最小值.【详解】则，当时取“=”故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，属简单题.15. 在数列中，是方程的两根，表示数列的前n项和.（1）若是等比数列，则_；（2）若是等差数
8、列，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】是等比数列时，由韦达定理可得,由等比数列下标和性质可得；是等差数列时，由韦达定理可得利用等差数列求和公式结合下标和性质，即可得解.【详解】解：是方程的两根，若是等比数列，则；若是等差数列，则，故答案为：，【点睛】等比数列中，若，则；等差数列中，若，则.16. 九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵中，且.下述四个结论正确结论的编号是_.四棱锥为“阳马”四面体为“鳖臑”过点分别作于点，于点，则四棱锥体积最大为
9、【答案】【解析】【分析】根据题意，结合线面垂直的判定定理，性质定理，椎体的体积公式，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于：因为为堑堵，所以侧棱平面，所以，又，所以平面，满足“阳马”的定义：一条侧棱垂直于底面的四棱锥，所以四棱锥为“阳马”，故正确；对于：因为底面，所以，即为直角三角形，同理也为直角三角形，由可得平面，所以，即为直角三角形，因为底面，所以又因为， 所以平面，所以，即为直角三角形，所以四面体的四个面全为直角三角形，即四面体为“鳖臑”，故正确；对于：由可得平面，平面,所以，又，所以平面，所以，又，所以平面AEF，所以，故正确；对于：设，则矩形面积为，在中，所以四棱锥体积，故错误，故答
10、案为：【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，性质定理，解题的关键是灵活应用各个定理，并结合题干所给定义进行证明，求体积最大时，灵活应用基本不等式，可大大简化计算，考查分析理解，推理证明的能力，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知向量，设函数.（1）当时，求的值；（2）求使的的取值构成的集合.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件列方程，求得的值，由此求得的值.（2）化简的解析式，解三角不等式求得不等式的解集.【详解】（1）由于，所以.（2），由得，所以，所以不等式的解集为.【点睛】向量平行的坐标表示的主要作
11、用是列方程.解三角不等式可考虑整体代入法.18. 某学校计划从甲，乙两位同学中选一人去参加省数学会举办的数学竞赛，以下是甲，乙两位同学在10次测试中的数学竞赛成绩的茎叶图（1）从甲的成绩中任取一个数据，从乙的成绩中任取一个数据，求满足条件的概率；（2）分别计算甲乙两位同学成绩的平均值和方差，根据结果决定选谁去合适【答案】（1）（2）甲同学参加比赛见解析【解析】【分析】（1）根据茎叶图求出抽取两个数据的基本事件的结果，再求出满足的情况的个数，最后根据古典概型的计算公式进行求解即可；（2）根据茎叶图，结合平均数和方差的计算公式，求出甲乙两位同学成绩的均值和方差，最后从均值和方差两个角度进行选择即可
12、.【详解】（1）抽取两个数据的基本事件有，共6种结果，满足的有，共3个所以概率为（2）甲，乙， 甲，乙从平均数看，甲乙两名同学的成绩相同；从方差看，甲同学的成绩的方差较小，因此甲同学的成绩更稳定，从成绩的稳定性考虑，应选甲同学参加比赛【点睛】本题考查了古典概型计算公式，考查了平均数和方差的计算公式，考查了平均数和方差的性质，考查了数学运算能力.19. 已知等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）用等比数列基本量计算表示出已知条件，解方程即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果；（2）把（1）中求得的结果代入，求出，利
13、用错位相减法求出【详解】(1)设数列的公比为，由题意知：，即.，即.(2)，.得.【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解; 在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.20. 在中，角，的对边分别为，.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）对已知等式利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求得的值，进而求得角的大小.（2）利用正弦定理将转化为角的形式，然后利用三角函数求取值范围的方法，求得的取值范围.【详解
14、】（1）由，利用正弦定理可得：，化为：由余弦定理可得：，（2）在中有正弦定理得，又，所以，故，因为且，故且，所以，故的取值范围是【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查辅助角公式，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21. 如图，在四棱锥中，底面，为上一点，且（1）求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明，即证平面；（2）过作的垂线，垂足为，分析得到到平面的距离等于到平面的距离，即，再求即得解.【详解】（1）证明：过作交于点，连接，又，且，则四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（2）解：过作的
15、垂线，垂足为平面，平面，又平面，平面，平面由（1）知，平面，到平面的距离等于到平面的距离，即在中，【点睛】方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）复杂的转化法.要根据已知条件灵活选择恰当的方法解题，本题使用的就是转化法.22. 已知圆：，一动直线l过与圆相交于.两点，是中点，l与直线m：相交于.（1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心；（2）当时，求直线l的方程；（3）探索是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 或（3）见解析【解析】【分析】（1）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时
16、斜率的乘积为1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得到直线l过圆心；（2）分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；（3）根据CMMN，得到等于0，利用平面向量的加法法则化简等于，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直
17、线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出和，求出两向量的数量积，也得到其值为常数综上，得到与直线l的倾斜角无关【详解】（1）l与m垂直，且，又，所以当l与m垂直时，l必过圆心.（2）当直线与x轴垂直时, 易知符合题意当直线与x轴不垂直时, 设直线的方程为，即，因为，所以，则由，得 直线：. 从而所求的直线的方程为或（3）因为CMMN, 当与x轴垂直时，易得，则,又,，当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（ ）,则= 综上，与直线l的斜率无关，且.【点睛】此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题