1、第一章 推理与证明 A组基础巩固1设f(x)为奇函数，f(1)，f(x2)f(x)f(2)，则f(5)等于()A0B1C. D5解析：由题意知，要求f(5)，只需求f(2)而由f(x)是奇函数与f(1)，知f(1).又f(12)f(1)f(2)f(1)，所以f(2)f(1)f(1)1，所以f(5)f(3)f(2)f(1)2f(2).答案：C2设x1、x2是方程x2px40的两个不相等的实数根，则()A|x1|2，|x2|2 B|x1x2|4C|x1|4，|x2|1 D|x1x2|0，所以x1，x2同号，则有|x1x2|x1|x2|224成立答案：B3已知a、b、c满足cba，且acac Bc(
2、ba)0Ccb20解析：由cba，且ac0，c0.由不等式的性质不难选出答案为A.答案：A4用分析法证明命题“已知ab1.求证：a2b22a4b30.”最后要具备的等式为()Aab Bab1Cab3 Dab1解析：要证a2b22a4b30，即证a22a1b24b4，即(a1)2(b2)2，即证|a1|b2|，即证a1b2或a1b2，故ab1或ab3，而ab1为已知条件，也是使等式成立的充分条件答案：D5已知a，b为正实数，函数f(x)x，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBA解析：因为函数f(x)x为减函数，所以要比较A，B，C的大小，只需比较，
3、的大小，因为，两边同乘，得ab，即，故，ABC.答案：A6设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：abc0，ab0，c(ab)|c|2(ab)21b2.由(ab)c0，(ab)(ab)|a|2|b|20.|a|2|b|21.|a|2|b|2|c|24.答案：47已知aR，P(4a2)(9a2)，Q24a2，则P，Q的大小关系是_解析：因为PQ(4a2)(9a2)24a23611a2a4，令a2t，则f(t)t211t36.因为1124360恒成立，即PQ.答案：PQ8若a0，b0，且满足ab1ab，则ab的最小值为_解析：因为1aba
4、b()2，a0，b0，即(ab)24(ab)4，所以(ab)228，又因为a0，b0，因此ab22.答案：229已知非零向量a和b的关系为ab，求证：.证明：因为ab，所以ab0.要证 ，只需证|a|b| |ab|，两边同时平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22ab)，即|a|2|b|22|a|b|0，此不等式恒成立故原不等式得证10已知abc，求证：.证明：abc，ab0，bc0，ac0，且ac(ab)(bc)222 4，当且仅当abbc时等号成立成立B组能力提升1设mn，xm4m3n，yn3mn4，则x与y的大小关系为()Axy BxyCxy Dxy解析：因为xym4m3
5、nn3mn4m3(mn)n3(mn)(m3n3)(mn)(mn)2(m2mnn2)(mn)2由mn，得(mn)20，20，0且不同时为0，所以20，故xy0，所以xy.故选A.答案：A2下列不等式不成立的是()Aa2b2c2abbccaBa2b2C.(a3)D.2答案：D3若sin sin sin 0，cos cos cos 0，则cos()_.解析：由已知得sin sin sin ，cos cos cos ，两式平方相加化简即可求出答案：4设a0，b0，c0，若abc1，则的最小值为_解析：abc1，332229.答案：95设f(x)ax2bxc(a0)，且函数f(x1)与f(x)的图像关于
6、y轴对称，求证：f(x)为偶函数证明：法一：要证f(x)为偶函数，只需证明其对称轴为x0.即只需证0.只需证ab.由已知，抛物线f(x1)的对称轴x1与抛物线f(x)的对称轴x关于y轴对称1.于是得ab.f(x)为偶函数法二：记F(x)f(x)，欲证F(x)为偶函数，只需证F(x)F(x)，即只需证f(x)f(x)由已知，函数f(x1)与f(x)的图像关于y轴对称，而函数f(x)与f(x)的图像也是关于y轴对称的f(x)f(x1)于是有f(x)f(x)f(x)1f(x)f(x)为偶函数6(1)已知：a，b，x均是正数，且ab，求证：1；(2)当a，b，x均是正数，且ab时，对真分数，给出类似上小题的结论，并予以证明；(3)证明：ABC中，bx0，1.又0，1.(2)1.证明如下：a1，由(1)，得1，取倒数，得1.(3)证明：由正弦定理，原题等价于ABC中，求证：0，且，均小于1，2.