1、第十章攻克压轴题的战各战术高考数学压轴题通常是指解答题的最后两、三题中的部分较难的小题或填空题,选择题中少量较难的题目,它们的作用是提高考试的区分度,突出选拔功能.压轴题之所以难度高体现在综合性强对解题能力的要求高,通常命题者总是在新颖且具有创造性上做文章攻克压轴题需要学生更好地融会贯通知识着眼于进步提高处理知识综合和融合试题的能力.在数学学习与复习的过程中也确实有这种知识综合的需要,数学高复的第轮基本结束后不少学生测试的成绩仍在110分左右徘徊,经常碰到这样的学生他们在试卷发下来后心中非常懊恼难点的试题找不到正确的思路干脆瞎做通甚至开了天窗,也有的解题过程书写是洋洋洒洒,其中漏洞百出得分很少
2、.如果在基础题和中档题部分又犯了不少低级错误最后的分数可想而知.这实际上是数学复习中的瓶颈状态,表面上通过轮逐章逐节的复习仿佛对每章、每节的知识点都掌握了然而还不能把知识点纵横联结甚至对某些知识点的认识仍然模糊不清,不能做到“了然于胸”出现上述种种“状况是不奇怪的.本章从五个环节分析如何击破有定综合性、典型性、难度适中然而数学思想饱满、精彩纷呈的压轴题帮你稳扎稳打,助你超常发挥真可谓:“山重水复疑无路,柳暗花明又村”第一节注重基础树上开花树上开花,是由铁树开花”转化而来的原意为不可能开花的树竟然开起花来了比喻极难实现的事情.兵书三十六计上把它作为制造声势以慑服敌人的种计谋,许多成语的含义是在不
3、断演化的因为“铁树开花虽然不容易但也是有开花的时刻.高中数学考点众多知识点十分丰富如果我们把它们看作是棵树的枝叶,叶与叶之间从表面看似乎毫不相关而实际上同属于棵树同宗同脉考点与考点之间是紧密联系在起的,如果我们能够融会贯通这系列的通法定会结出丰硕之果.要进人这种“注重基础、树上开花”的境界必须首先做到以下两点.（-）回归课本梳理概念观察近几年的高考数学试卷中的压轴题虽然综合性强表面上看难度确实也高,但是把它分解开来看并不是道大题的每道小题都很难特别是第（1）第（2）问（如果还有第（3）问）仍以第十聋攻觅盗粘题的威峪咸术中学数学的基础知识、重点内容、基本方法出发设计命题把对基础知识的考查放在突出
4、的地位从基本概念、基本性质、基本表达形式、基本的公式出发去理解问题、解决问题所以当前最重要的是在第轮复习的基础上以课程标准与考试手册为纲以题型示例为参考以课本为依据,独立地把各章知识点梳理遍是厘清知识发生的本质构建起高中数学基础知识的网络;二是克服“眼高手低”“好高驾远”的毛病,对课本中的例题习题进行举反三的推敲;三是对第轮复习过程中老师讲的例题、布置的习题进行整理归纳对做错的习题进行分类订正,对于典型例题、习题提炼通法构建知识块、解法链,实际上高考中相当多的试题是从课本上的例题进行适当变形而得到的直接考查课本上某定理的证明也出现过多次回归课本,梳理概念,既有利于消除第轮复习中还存在的薄弱环节
5、查漏补缺全面把基础落实,更有利于拿下压轴题中的基本分.（二）重现“通法,淡化“特技”考试手册指出:数学科高考旨在考查中学数学的基础知识和基本技能、逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题与解决问题的能力以及数学探究与创新能力.这是在高考数学复习中必须认真理解、切实照办的当前课改的根本方向是课程目标的构建即由“知识与技能“过程与方法”“情感态度与价值观”三个维度构成的目标体系强调“展现知识的发生、发展、形成和应用的过程”,这就告诉我们当前命制数学高考题不会过分地追求特殊方法和特殊技巧,运算量也不会太大,所以考生应当重视“通法”也就是高中数学中经常运用的由数学思想统领的基本解题方法,这种“通
6、法”的掌握不是靠做大量的习题才能做到而应当学会“读题,通过“读题”提高思维层次通过归纳总结领悟并掌握通法”比如可以找本以总结解题方法为主的参考书.通过读题首先想想这道题涉及哪些重要的知识点,想想若自己做这道题可以运用什么样的解题方法不妨试着解解,再看看书中是如何分析这题的解法并与自己的解法相对照思考下本题的解法中运用了哪些数学思想与谋略回顾下你碰到过哪些类似的习题当题中条件、结论稍作改变,在解法上会有什么变化等以上两点是确保压轴题基本分获取的法宝.匝设常数0.堕数（工）碧（1）若4求函数J（工）的反函数Jl（工）;（2）根据的不同取值,讨论函数y（工）的奇偶性,并说明理由.解题策略:本题考查求
7、反函数以及讨论含参数函数的奇偶性属于基本要求但有两点必须注意一是对参数的分类讨论,二是函数问题的研究中必须贯彻定义域优先的原则则定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.解;（D因为-尝.所以24署）得1或测l,且虹-网此所求反啊数为（堑）g4皆）,或rl（2）当0时（r）l定义域为R,故函数y（工）是偶函数.4（y1）1365曹正妥高中魁檬解题方怯令当倒-时.险）碧.定义域为（）o（0,儿（甄）-;当骋-（堑）.故函数y（掘）是奇函数当0且1时,定义域（,log2）0（log2）关于原点不对称故函数y（工）既不是奇函数也不是偶函数.顾设函数（堑）Asm（哑解）（其中0,o0.灭萨师）在蜒
8、;处取得最大值2,其图像与堑轴的相邻两个交点的距离为（1）求（工）的解析式;w川脆姚O解题策赂:由条件求三角函数解析式虽然待求的参数有A、9三个但只要把这些参数的意义搞清楚是不难解决的,第（2）问解答的关键是化简,尽可能将原式化为一个角一个三角比也尽可能将原式化为一次函数式并注意变量的取值范围.解:（1）由题设知,（工）的周期T冗,即丝沉所以2.C又因为（r）在x-处取得最大值2,所以A-2,从而sn（2帜）-,所以2帜-2隐冗,腮巨z且派解丽,所以解-故（工）的解析式是（工）-2sn（2工）（2）g（工）6cos4zsin2工16cos4工sin2z16cos4工cos2工2（二r）2sn（
9、2上昔）（2c。s）（3csSr2）-;c爵:延L2（2cos2工1）因为c0l且c。鼠:鞭,故爵险）的值域）O（;,;陋Q如图101所示,在等腰直角（）PQ中,P（90。OP2百,点M在线段PQ上.（1）若OM百求PM的长;（2）若点N在线段MQ上且MON30问:当pOM取何值时OM的面积最小?并求出面积的最小值PO图10-1366第十章攻觅泌轴题的威略威术解题策略:解三角形的实际应用问题且把余弦定理、正弦定理、三角形面积公式的运用融于一个图形中构思很巧妙最后归结到求OMN面积的最小值,考查妥求较高,本题既注重基础又强调能力提升.（1）在OMP中,OPM45。OM弓OP2百,由余弦定理得OM
10、2OP2MP22OP.MPcos45得MP24MP30解得MP1或MP3.（2）设PoM-0.60.在oMP中.由止弦定埋得副nM-鄙oMPOP所以oM-删哨）,同埋oN-删!骂OP2sin245。故OM.ON.sin丝M门N-sin（45.）爵m（75.）解:（1）sin（45）sin（45。30。）1俘醚）l.）1sin（45）罕sin:（45.）sm（45.）c。s（45.）1厂佰c。s（90.2）sin（90.2）11罕罕争告瓢n（23旷）因为060。所以30230。150当30。时sin（230）的最大值为1,此时（】V的面积取到最小值即当P30。时（】V的面积的最小值为84百设（厕
11、）是公比为q的等比数列.（1）推导）的前项和公式;（2）设q1证明数列1）不是等比数列.陋解题策略:本例回归教材,从教材中选取公式定理的证明是近年来高考命题的一个特点多个有市的试卷中都出现过,应;起考生的高度重视,本例考查的是等比数列前项和公式推导所用的错位相减法以及用反证法研究问题考查应用数列进行逻辑推理的思维方法.解:（1）设数列的前项和为S当q1时Sllll;当q1时Sllqlq2lq367净正兴葛中塑眷解题方怯令qSqlqlq2lq3lql（1q）O得（1q）s厕llq,s1q冗lq1所以S翻-（lq,qL1q假设（1）是等比数列则对任意的虎N,（侮l1）2（隐1）（隐21）,隐l2膛
12、l1腮膛2隐十隐21q2雁2lq隐lq隐l.lq废llq隐llq膛l,因为l0所以2q胸q隐lq隐l 因为q0,所以q22q10,所以q1这与已知（2）矛盾所以假设不成立数列（1不是等比数列.如图102所示在平面直角坐标系工O中点A（03）,直线:y2工4.设圆C的半径为1,圆心在上.（1）若圆心C也在直线y工1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;（2）若圆C上存在点M使MA2MO 求圆心C的横坐标的取值范围.y3A2l腮2-l勺-q-4?图102解题策略:直线与圆、圆与圆的位置关系是高考命题的一个热点这类题的求解利用几何法用代数法妥简便些.第（1）问先利用题设中的条件确定圆心坐标再利用直线
13、与圆相切的条件（厂）找出等量关系求出直线的斜率,切线方程可解.第（2）问,利用MA2MO比利用代数法妥简便些.几何条件（确定点M的轨迹方程,再利用题设中条件分析出两圆的位置关系（圆心距与两圆半径的和或差做比较）可求出 的取值范围.由题设知圆心C是直线y2r4和y工1的交点,解得点C（32）于是切线的斜率必存在.设过点A（03）的圆C的切线方程为龙工3,由题意躇羔l解聘健喊腮:.故所求切线方程为y3或3工4y120.因为圆心在直线y2z4上,所以圆C的方程为（工）2y2（2）21.设点M（工,y）因为Ml 2M）,所以z2（J3）22厉百干了化简得工2（J1）24,所以点M在以D（0,1）为圆心
14、半径为2的圆上.由题意知,点M（工,）在圆C上,所以圆C与圆D有公共点.则21CD21即12（23）23,由2（23）10,即521280,得R;由2（23）290即52l20得0罢解:（1）（2）368第十素攻觅珐轴题伪咸躇戚术皿日所以圆心C的横坐标的取值范围为第二节发散思维移花接木通常我们讲某学生头脑灵活对数学问题的反应快对老师的提问有呼应,某学生头脑不灵活,向他提问常是答非所问或根本没有呼应这种差异是客观存在的实际上是思维水平上的差异.数学思维是种极其抽象的逻辑思维突出体现在研究对象的特征方面数学对象的特征在于它的抽象是抽象的抽象没有任何实物（物质的）和能量特征它只有个特征:这些对象都处
15、于定的相互关系之中,处于数量关系、空间关系和类似于这些关系的关系之中具有思辨性讲究概念之间相互联系和相互制约讲究如何理解问题规划求解步骤选择最佳解法数学发现的思维过程是个相当复杂的过程不同的人有不同的思维方式,同个人发现不同的数学命题也可能有完全不同的思维过程同个数学问题,不同的人解答的结果常常是不样的这是思维品质的高下决定的所以要重视数学思维品质的培养,而数学思维品质很广泛主要表现在深刻性、灵活性、创造性、批判性等方面如果人脑习惯使用系列被固化的概念、规则、理论和逻辑抽象形式,这种思维是凝固的碰到压轴题受思维定式的影响往往不会灵活地化解难点解答过程磕磕碰碰,甚至无法解到最后形象地说是开不出花
16、,结不了果人的大脑是个宝库人的思维需要开发激活才能不断创造奇迹才能开出鲜花、结出果实所以面对难题我们只有突破思维定式,充分挖掘问题的内涵从题意中捕捉有用的信息（形象信息、符号信息）进行有效的组合才能综合提高我们运用知识、调动方法的能力.厕已知椭圆工22y21.过原点的两条直线和:分别与椭圆交于点A、B和C、D记得到的平行四边形ACBD的面积为S.（1）设A（zl yl）、C（工2,y2）用A、C的坐标表示点C到直线l的距离并证明S2工ly2工2yl;（2）设与的斜糕之积为,求面积s的值解题策略:本例虽是直线与二次曲线关系问题的常见题型但由于构题巧妙,图形特殊,既涉及证明又涉及求值,为发散性思维
17、创设了许多场景可以同其他数学知识相交汇通过移花接木获得创造性的解法.解:（1）证法:依题意直线l的方程为y上又r 脚又因为AB2AO2工:y;所以SAB.创2y工2工ly2证法二:由题意知S4SA（xjo369零正妥葛中魁檬解题方膛令s-页而smAoC丽无（x 1COs2 A（汇）“团“四（页而丽 2（2（OA.m）2T日工也日工（）】旧司】儿y2工V）2-叫唾,故s:延测解法;设直线的斜率为隐则直线:的斜率为赤.直线!的万程为脑（2）（工2221,由（得r（陀工,克-不妨设涎-l:隐:则-十歌,12虎2百,因此S2ypr2工ly2 212k2,y2则;2,（工;2y;1.解法二:将A（工l,
18、l）、C（工2y2）代人工22y21,得两式相乘,得（Jr;2y）（工;2;）L展开得工;工;4yb;2工b;2r;y;1即（x:L汇22yly2）22（工ly2工2）21.o而!与的斜率之积为故尝.-,即2面代人o式得2（工ly2工2yl）21即工ly2工2yl 所以S2刃ly2工2y2 Z工cos0瞬灌;嗣可;卜戳厂祭M（厅设A（c。s0.等sin）,C（c。s0,等sin0瞥）.臼臼后华sin1华sin0.-,整理得c。爵0c爵0:sn00,臼则诧1。陀2陀“。虎COS01COS02嘿n剧即cos（0l02）（）,由（1）知S2】几吕徊百sln0lCOS02COs0lsin02 面Sin
19、（0l02）Z设数列）的前项和为S,满足S2!324,eN 且S315.（1）求1、2、3的值;（2）求数列）的通项公式.陋370第十聋攻觅瓜轴题伪威略战术解题策赂:本例主妥考查赋值法数列前项和S与通项之间的关系,构造新数列等在思维上为考生提供的空间非常广阔,可以有多种解法本例对运算能力与推理、构造能力的要求较高在求解过程中容易产生如下几个方面的错误.（1）不知道用赋值法求数列的前三项;（2）解方程组出错;（3）猜想出通项公式后不知道用数学归纳法证明;（4）不会用数列前项和S与通项之间的关系推导与l之间的递推关系式;（5）不会构造新数列或构造时出错;（6）不会由blb20得到21.解法;由S鹏
20、-2鹏十324.eN.取l,2得!2:7,（124320,且S315所以l2315所以315（l2）.联系o解得l3,25,37.解法二:由厕lS厕lS知S2l3242（SlS阀）324324可得s.2署s撼!2抛r又由S315,可得S28,Sl3所以l325,37.解:（1）（2）解法;当2时,由已知得s2柑34,（Sn12（1）3（1）24（1）两式相减得2l（21）61即2l4门26（21）厕421即2l（23）（21）（21）令b厕（21）则2b厕l（21）b厕.o由（1）知blb20则由知b0所以21且l时也成立故21,门N.解法二:由S21324,N,则当2时Sl2（1）3（1）2
21、4（1）.两式相减,并藕酗得当2时.忽厂2亏1蚂六a21（21）,变形得,当2时l232故当3时,吟21-器潞xi（5）队因此当3时21,且l321125221所以21N.解法三（归纳猜想证明）:由第（1）问得l3,2537猜想21（eN,）.证明:（）当1,2时猜想显然成立.371曹正妥葛中幽眷解题方彼令（）假设当陀（陀1虎eN）时猜想成立即晦2虎1.由S2l324则当2时,Sl2（1）3（1）24（1）两式作差并整理得当2时,叶-2了1“六a挡膛l时莹卫囱隐赤:莹（鳞）3酸3-2（股）l,所以当虎1时,21也成立.综合（）（）可知对任意N 都有21.ABC的内角A、B、C的对边分别为、b、
22、c,已知bcosCcsinB.（1）求B;（2）若62求ABC面积的最大值.陋解题策赂:本例的解题目标是求么B及ABC面积的最大值.而条件只有一个等式bcosCcsinB,这类解斜三角形题有两点是必须抓住的:一是边角互化,而实现边角互化需妥合理运用正弦定理、余弦定理.二是求得目标函数后求最值而基本不等式在求最值时常发挥作用.通常在边角互化时采用一起化掉的方法,如运用正弦定理可把bcosCcsinB化为sinAsinBcosCsinCsinB但若仅把cosC用余弦定理代入而保留sinB则可得到妙思巧解.解:解法:（1）由bcosCcsinB及正弦定理可得sinAsinBcosCsinCsinB在
23、ABC中,A冗（BC）,所以sinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC由以上两式得s（nB-cosB,即tanB-l.且Be（0,冗）.所以B-f,（2）4BC的面帜s-宁一由已知及余弦定理得42c22ccosB2c22c,囚为刨赚,所以幅咖即。太-2面（当仅当侧-时取等号）故ABC面积的最大值为21.2b2C2解法二:（1）由bcosCcsinB及余弦定理可得626csinB,冗即2c2b22cslnB.所以cosBsinB即tanB1,且B巨（0冗）所以B丁,（2）由正弦定理可得csinBbsinC.因为bcosCcsinBb2,所以2（cosCsinC）.1故ABC的面积S百
24、bsinCsinC2（cosCsinC）sinC-2sinCcsC2sin:C-sm2Ccos2Cl百sm（2C）l.372第十景攻鬼藤融题的威躇威术又因为AC-￥所以2Ce（于￥）故当2C壬苛.即AC晋时.ABC的面积取最大值百lr）满足）冗（冗二吕）汇吕工几吕（工吕）工（设顾（0）,值小曰取和值大最的上制仔在）工（数函求解题策赂:三角函数最值的求解离不开对所给函数式的化简以及对其性质特别是单调性的研究求三角函数的最值虽然形式多样解法也不唯一但总的解题方向是通过三角恒等变形或代数换元化归基本的三角函数或其他函数,利用三角函数的有界性或或常用的求其他函数最值的方法来处理若采用代数换元的方法则新
25、元的取值范围很重要,不能疏漏通常情况下三角函数最值的求解可归结为如下几种类型.（1）通过三角恒等变形把所给函数转化为ysin工6cos工的基本形式引入辅助角9,代入y丁干歹sin（工甲）利用函数sin（r甲）1即可求解,要特别关注甲的取值.（2）通过三角恒等变形把所给函数转化为ysin2工bsinjrc（或ycos2工bcos工C）型通过代数换元令tSimr（或jcoSjr）r 1转化为闭区间上二次函数的最值问题.（3）对于解析式中同时有sinrcos工、smrcos工的函数的最值问题可用代数换元令sin工cos工r 百把此类三角函数转化为t的二次函数在t相应的范围中求二次函数的最值.（4）若
26、所给三角函数解析式中含有参数,求 最值时需对参数迸行分类讨论.解;（工）-smrcos2蜒sln堑sln2露cos2工（晋）-（0）得窖-l解得-2侗由（2烫）因此（工）可sin2工cos2工2sinf,时.:延e陆（堑）为增陶数;当工器时,2涎;筐倍.割（延）数.惜当工倍器上的最大育为（晋）-2,所以（工）在（壬）-侗,f（器）-徊.又因为-器上的最小侦为f（鉴）-侗肾,故（工）在373曹正妥葛中魁眷解题方膛令陋某超市计划在五”期间对某种商品开展抽奖促销活动,设计的活动方案有两个:方案采取摸球抽奖的方法,在盒子中放人大小相同的10个小球,其中白球7个黄球3个顾客在购买件该商品后有连续三次摸球
27、的机会每次摸出个小球且每次摸出小球后不放回,每摸到个黄球奖励价值20元的奖品件.方案二,采用转动如图103所示的圆形转盘的方式抽奖顾客0元奖品0元口图103在购买该商品后用力转动圆盘次,根据箭头A指向确定获得相应价值的奖品件（箭头A指可每个区域的可能性相等指向区域边界时重新转动）.（1）按照这两种方案各进行次抽奖分别求出顾客能中奖的概率;（2）设按照方案抽奖顾客能获得的奖品的价值为工元按照方案二抽奖,顾客能获得的奖品为y元,分别求出工和y的分布列和数学期望解题策略:本例考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求解解题方法上要能灵活运用组合知识熟练掌握等可能事件互斥事件、相互独立事件等概率模型的求
28、解方法本例构思识知口组列卜糊巧妙方案一为古典概型方案二为几何概型可根据两种概型的概率计算公式进行计算求解.而第（2）问工0204060对应的实际意义是摸出0,12,3个黄球计算同列和数学期望;0,103050对应的实际意义是指针位于无奖区、10元第（1）问不难解决各自的概率得分布列和数学期望;y0奖区、:0元奖区50元奖区,显然其对应的概率分别为尚而.h而得出分布列和数学期望解:（1）按照方案进行抽奖连续三次不放回地摸球共含有基本事件P0720.记“三次摸球摸出的都是白球,为事件B事件B包含的基本事件数是P;210,则按照万案进行抽奖,个能中奖的概率是P（B）-尝贪717则顾客按照方案进行次抽
29、奖,能中奖的概率是P1.因箭头A指向每个区域是等可能的有奖的区域有3个所以按照方案二,顾客能中奖的概率是市（2）由题知随机变量工的可能取值是0,20,4060.CC;P!21（蜒-0）-悬-尚P（瑟-:）-醉,0（涎-驯）-C;氰P;-咖P（r-偷0）-禹-古则翻的分偷列则卜;112（）则阿（r）-）噬齿20湍0尚60面-l鼠1374工（）2（）406（）P724214（）740第十章攻觅珐釉题的战睹戚术随机变量y的可能取值是010,3050.P（0）尚P（驯l0）P（删-:0）IO50）击则删的分布列如卜;0（）30）（尸7101101l（）110PDCl则EO）0尚十0而30击50六-队如
30、图104所示平行六面体ABCDAlB!ClDl中底面ABCD是边长为1的正方形AAl2AlAB二AlAD120。,求异面直线ACl和AlD所成角的余弦值4例6C4B图104解题策赂:本例是求两并面直线所成角的余弦值从立体几何角度讲,采用平移法但有时乎移后的图形不易作出,可以考虑补形的方法从空间向量角度讲运用向量法求两并面直线所成的角是好方法而向量法通常又分为纯向量法和坐标法相比较纯向量的方法必须能找到合适的基底而不必建立空间坐标系当空间直角坐标系难以建立时可考虑纯向量的方法但这种方法有很大局限性在求线面角、二面角或点到直线距离时显得非常麻烦,而本题中由于几何体中同一点处的三条棱的长度都知道两两
31、所成的角都知道用纯向量的方法是可以操作的当然若能建立空间直角坐标系而相关点的坐标又容易求得则应当首选坐标法提醒输是,阔淘舟所咸扇婆注意畸颧直线附成蔚输（0,昔,漏溺向量所成角的范围是0冗.这是学生经常出错的地方,本例是训练学生发散思维移花接木寻找最佳解法的好题.解:解法（补形法）:如图105所示补一个同样的平行六面体ABCDA2B2C2D2则丝ClAD2或其补角即为异面直线ACl和AD所成角.在ClAD2中可以算出AD27,AClZD2Cl故由余弦定理得cosClAD2（7）2（】）2（T百）2TI277.因网异面所成角的范圈为（0.苛.故异面肖线剿CADClC,A2B2因厕异面所成獭的范圃为
32、（0.苛.故异面白线ACAD图105所成角的余弦值为早解法二（纯向量法）:注意到从点A出发的三条棱长和两两夹角都是已知的故可用纯向量法.375霄正普葛中魁檬解题方彼令-如图106所示,设AB,AD6,AAl了,则.,.rj.古2强（）-1-因为ACl页6了AlD6了.故刀宽.盂万（而j了）.（j百）页.丙顶.了b2DlClBAl初bC了22。4百B了（j了）27 了（页万了）2百图10-6。-断以-器洲-志罕故异面直线AG利八D所成角的余弦值为罕第三节拓展失.识战术提升高中阶段重要的数学考试除了高考之外,还有名牌大学自主招生加试以及各校独立命题的考试作为本全面介绍高中数学解题方法的专著在数学知
33、识上还应有所拓展在解题方法上还应适当推广些“竞赛”的技巧这是因为许多数学问题用“通性通法”很难顺利解决,或者即使能解决过程也太复杂若运用了适度拓展的新知识或新方法,则复杂的问题立即出现了“妙思巧解尽管数学高考般淡化解题中的特殊技巧但自招加试则未必况且解决个数学问题只要运用的知识与方法是正确的,过程是严密科学的那结果定是被认可的.近年来在高考省市卷以及名牌大学自主招生中不少考题涉及几个重要的不等式在由递推式求通项公式中运用特征根法与不动点法,在对圆锥曲线的研究中适用曲线系为解题带来方便,本节对此做个简明的介绍.几个重要的不等式1.柯西不等式o二维形式的柯西不等式:若b,C都是实数则（262）.（
34、C2创2）（CM）2,当且仅当dbC时取等号.般形式的柯西不等式:若l 23,bl b2,b3,b都是实数,则（:;:）（bb;b:）（lbl2b2b）2,当且仅当b!-0（-l,2端-贵-丝时取等导b2.柯西不等式的向量形式及平面三角不等式o柯西不等式的向量形式:设百是两个向量则而.而。当且仅当0或存在实数虎使可h时取等号.平面三角不等式:设rl yl 工2y2（工,y巨R）,则376第十章攻兑瓜轴题伪战躇威术工yr;y;（jrl工2）2（yly2）2.3.排序不等式设l2,6b26为两组实数Cl C2C为bl,b26的任排列那么l62bl6llCl2C2Clbl2b2b即反序和不大于乱序和
35、乱序和不大于顺序和.当且仅当l2或6lb2b时取等号.网证明柯西不等式.解题策赂:证明柯西不等式的方法很多,其中向量法与构造法是高中数学中的常见方法介绍如下,有利于学生开阔解题思略提升解题能力.证明:证法（向量法）:将平面向量、空间向量推广到维向量令（1 2,）,b（6l b26）质jlbl2b2b i。j质。万COSj,由于COSi;1故.6r.b台lbl262b;:。bb;b:白（l6l2b2b）2（;:）（66;6:）.等号成立的条件是页、6共线即Mi（R）.证法二（构造二次函数法）:若l20,则柯西不等式（;:）.（6;b;b:）（lbl2b2厕6）2显然成立.若f不全为零（!12,）
36、令（工）（:）工22（lbl2b2b）工（b;b;b爵）.方面,因为（r）（工22lbl工b）（;工222b2工b;）（:工22brb:）（l工bl）2（2工b2）2（工b）20.o另方面,由:;:0（r）0恒成立2（lbl262b）24（;:）（时6;b:）0台（lbl2b2b）2（;十:）（bb:b舟）此即柯西不等式由o式知等号成立的条件为iM（i1,2）.圃】（1）已知、b、c巨R,2b3C6,则24b29C2的最小值为;（2）设工、y、乏eR且满足:Z2y2惠21工2y3乏,则工yZ解题策略:运用柯西不等式解题的关键是构造符合柯西不等式的形式.解:（1）由柯西不等式得（l21212）（
37、24b29C2）（2b3C）2即24b29C212,当且仅当2b3C2时等号成立,所以24b29C2的最小值为12.（2）由柯西不等式得（jr2y2乏2）（122232）（x2y3霓）2.当且仅当-时等号成立.此时y-2矿.逗-3上.377玄正妥高中魁檬解题方膛令因为延:,臻-,工2汁3磐-门,所以延-俘.2浮.重梧所以x露-半Wu7匝求使直线工cossin2和椭圆工2326有公共点的0的取值范围（00冗）.解题策略:由于直线方程是关于工、的一次方程,而椭圆的方程是关于工、y的二次式这为构造柯西不等式提供了可能变形时妥调整系数以满足曲线方程中的形式.解;由树酉不等式2-（）:-（仍砖鼠m0）,
38、（露;丁（c露0m:0）-2sm:,解得c熊.即等或等厂因为00沉.所以00f或于厕顾已知2,eR,求证;红丝gi二1红2冲O923冗l解题策略:本例可以运用基本不等式实施证明,也可以运用柯西不等式.2222证明:证法:因为红22l,匹322,g卫二1厕2l 红l2厕.23门1上述不等式相加,即得篮丝旦i二上丝12厕.23冗1顺法二;山树四个等式（葛罢十誓爵）（“:卜十幽）（绑）:,因为12厕（）所以丝gigi二1gil2”.231例引已知正实数工、型、嚣满足垄霉-塑N霉,且不等式二兰士士川恒成立.求川工yy之之工的取值范围解题策赂;本例可利用柯西不等式求出上的取值范围,也就是求它的最工厂yy
39、厂之乏Z值从而确定入的取值范围.解:因为工y2万工zry霉所以六2六J-弘;逗-了;迂同埋六l咕虐,圭尹1咕;封所以六六六（人;嚣七;卜（Pl:l）（墅十古古霍）l-等辽十）厂归o378第十命攻鬼瓜粘题伪威躇威术辽丁之丁工之丁寸工之十工丁工当仅且当即工y之时等号成立所以L上十上的最大值为旱工y之Z工且六卜末十圭川恒成立所以川窖二递推数列求通项方法的拓展1.特征根法.型如lll,22,2户lq（户、q是常数）的数列为二阶线性递梳数铡.可川虚训,满足颐（伺侧廷灿程瑟户rq0的两个根此方程称为特征方程则数列（的通项公式均可用特征根转化为阶线性递推数列进步构造特殊数列或利用“累加法”求通项公式厂J（户
40、0,q0,厂0s0）的递推式,可利用不动点法,其中2.不动点法.型如l户q洒鹏的根为该数列的不动点若该数列育两个相异的小动点则涡为等比数列;若该数列有唯的不动点鹏,即程等根时 六为筹差数列这就是不动点求递推数列通项公式的方法.顾数列中,1211,厕22!34（N）求通项翘.解题策赂:本例可运用特征根法来解题.解:由22测l34得212（l1）3（厕1）.不妨设b1则622bl3b,其特征方程为工2ar30,特征根为Zl3,工21.故可设bCl 3C2.（1）（Cl,C2为待定常数）.7Cl万b2,则c!.3c,.（l）2由b噶l2,.3阅.（）2.解得3C2百.得b慰-3懒:.（1）.从而獭-
41、.渺;.（1）憾L芒亏,（eN.）.求通项顾数列（“）中12厂-厂5三工可均故式形勺自）（厂户（所给的递推式为l解题策赂:本题用不动点法.户q379。零正妥高中塑眷解题方臆令“叶芒亏“（“）.7哪2霹设-舞则厂嘶芒二（4）,72嘉署 则是方程票-延的两根干百蹋-.了十十闪贝尸缉l13;b.且b二l24或工得工砷伟程方解取r2所以数列陶足以为首项,:为公比的等比数列,故b.;（;厂赋喘;丫川矿I（16!7例8数列的首项l为正数,且满足l,巨N,求l的取值范围使得44对任意正整数!都成立.解题策略:本例可用“函数的不动点法”研究数列（）的单调性,即比较l与的大小由特征函数转化为比较自变量工与其对应
42、函数值（jr）的大小不动点是工与（工）相等的“临界点通过特征函数的“不动点”的分界作用去检验参数的范围167解;由递榷关系鳃-蛔融4.eN,褥特征力程堑-鉴三.17得不动点涎百,蜒:-六.易见恒有哟0,所以亚-舍去7o当巳（0,古）时1674:127（27）（21）0.施l444444勺所以当1层（0.i）时,有“什砷7当“古时,;了o当筐（辑）时,叭厂黔“丁徽聊她撇所以当“巨（）时有徽柑“综儿所述当倒巨（0,!）时“,对任意正罐数郁成立38（）第十聋攻Z瓜轴题伪威瞻威术三巧用曲线系方程解题曲线系也叫曲线簇或曲线束,是指具有某种性质的曲线的集合.曲线系方程是指含有参数的二元方程,当参数在其取值
43、范围内变化时分别对应的所有这些曲线其中最简单的是具有某种性质的直线方程.应用曲线系方程解题即引人适当的参数先设出符合部分条件的曲线系方程然后根据题中的其他条件通过推理、运算求出曲线系方程中的参数值从而实现问题的解决.运用曲线系方程往往可以回避联立解方程组、求交点坐标等带来的麻烦.既减少了计算量又体现了参数变化、整体处理、待定系数法等重要的数学思想方法当然,由于曲线系方程的多样化,所给问题条件的隐蔽性,应用曲线系方程解题虽然减少了运算量,但对技巧的要求颇高在高中数学竞赛中运用较为广泛.下面对各类曲线系方程进行归纳总结.而所举例题的重点放在二次曲线系方程上1.直线系方程（1）与直线l:AxByC0
44、平行的直线系方程为A工B0（为参数）.（2）与直线:A工ByC0垂直的直线系方程为BrAy0（为参数）.（3）过直线l:Al工BlyCl0与2:A2工B2yC20的交点的直线系方程为（Al工十BlyCl）（A2工B2yC2）0（不含l2）.2.圆系方程（1）过圆O:工2y2DrEyF0与直线（:ArByC0交点的圆系方程为工2y2DXEyF（ArByC）0.（2）过圆Ol:工2J2Dl工ElyFl0与圆O2:工2y2D2工E2yF20的圆系方程为工2y2DLrElyFl入（r2y2D2rE2）F2）0（不包括圆O2）当1时,为一条直线（根轴,即过两圆交点的直线）.（3）若（r0y0）表示圆C:
45、工2y2DrEyF0上的任意点则曲线系方程:（r2y2DrEy十F）（工工0）2（yy0）20（为参数）表示与C相切于点（工0y0）的所有圆3.圆锥曲线系方程（l）共顶点圆锥线系方程;萧千-l（入为参数儿（2）共渐近线双曲线系方程;嘉萨-为参数.川0儿（3）共焦点圆锥线系方程;希千-1（值为焦半径,入为参数儿当入0时表示共焦点椭圆系;当C20时表示共焦点双曲线;当入c2时无轨迹.（4）共离心率圆锥州线系方程;羔蔗-入（川为参数,0儿381参正妥葛中毯檬解题方膛令（5）过两圆锥曲线四个交点的圆锥曲线系:蔫:!剿:训耳眺!,个交点的二次线测,卜Cl）2Dl工ElyFl（A2工2C2y2D2E2F2
46、）0是过Cl、C2的交点的圆锥曲线系其中不包括C2.过两条直线与圆锥曲线四个交点的圆锥曲线系:孺瑟期工二.与圆锥曲线C:A工2Cy2D工EyF0有四个交点则方程Ar2Cy2UrEyF（l工blycl）（2rb2yc2）0为过四个交点的圆锥曲线系方程.阿求过直线;5工2y30和2;ar5y80的交点P且与直线r470垂直的直线的方程解题策略:求过两直线交点且与另一直线垂直的直线方程最常规的解法是通过联立方程组求其交点再由与另一直线垂直确定所求直线的斜率利用点斜式得直线方程.当然若运用直线系求解则吏简捷.一是通过垂直的直线系方程来解但解方程组求交点还是需要的.若利用过两直线交点的直线系方程则可避免
47、解方程组.解;解法:由5塑23-0 得l和23r5y80的交点P的坐标为（1,1）因为直线r知7-0的斜率为所以直线的斜率为4闪此满足条件的富线的方程为y14（jr1）,即4工y5（）.解法二:因为直线垂直于直线r4y70,所以可设直线的方程为4ZyC0.因为l与2的交点为P（11）所以41（1）C0从而C5.所以直线的方程为4工y50.解法三:由于直线过l与2的交点所以可设直线I的方程为（5工2y3）入（ar5y8）0即（53入）工（25）y38入0.因为与直线r幻7-0垂宵,所以晦黑-从而川-器所以直线的方程为4工y50.例i（1）求过直线2工y40和圆工2y22死410的交点且面积最小的
48、圆的方程;（2）求圆心在直线ry0上,且过两圆工2J22工10y240,工2y22工2y80交点的圆的方程382第十聋攻觅瓜粘题的威略战末解题策略:若所求的圆过一直线与一圆的交点或过两已知圆的交点,当然可以运用直接法求交点,再设所求的圆方程为标准方程或一般方程再通过解方程组的方法求、b、厂或D、E、F但运算量肯定比较大如果巧用圆系方程解题则方使许多.解法:由已知条件所求圆定是以直线2ry40被圆r2y22工截得的弦为直径的圆（2ry40,故由方程组xM2x知l0解得直径的两端点分别为P解:（1）下（3,2）、日日线段PQ的巾点为M（等,:）,PQ-竿则厂-孪所以所求圆的方程为（甄等）（聊）:-
49、解法二:过直线2工y40和圆工222工4y10的交点的圆系方程可设为Z2y22工41（2工4）0（R）.即延（D:（到早）-;川!似4圆的半径为:川:趴-呵肌M-讣（川:）,十普,故当人-:时对应圆的半径最小.且最小半径为茄所以所求侧的方程为（题芋）2（川!）-（2）解法（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）:工222工10y240,将两圆的方程联立得方程组T:2旷280,解这个方程组求得两圆的交点坐标A（40）、B（02）,因为所求圆心在直线工y0上,故设所求圆心坐标为（工,Z）,则它到两交点（4,0）和（0,2）的距离相等故有（4工）2（0工）2工2（2工）2 所以工3y3从而圆心坐标是（3
50、,3）且厂（43）232I,故所求圆的方程为（工3）2（y3）210.解法二（用圆系方程求圆的方程）:设所求圆的方程为工2y22工10y24入（工2y22工2y8）0（入1）.堑.测:2得）工:曾）腿8窖）-0可知圆心坐标为（吕.带）因为圆心在直线延删0忙,所以揣带-0解得儿-酞383参正妥高中魁檬解题方膛令将2代人所设方程并化简得圆的方程为工2y26工6y80.（）求渐近线万褪为淑知-0,焦点为椭圆盖普-的对顶点的双曲线的方程;（2）求与双曲线盖子l有共同的渐近线且与育线歇68-0相切的标准双曲线方程例11解题策略;当已知双陶线的渐近线方程为苛0（或-狮堑）时,可设双陶线的方程为繁紫-几域咖
51、:壁黑型:-儿）（其中1为不等于零钩待愈常数）以简化遥算过程,这翼方霍丝2器川（入eR且入0）称为双陶线萧l共渐近线的双陶线系,为解题带来方便解;（l）依题意可设双川线的方程为斋川（是正实数儿当双曲线的焦点为椭圆的长轴的顶点,即（I6,0）与（I0）时,由c:-,可得l0-l删肌.-:.所以双线的万程为苦需-l当双曲线的焦点为椭圆的短轴的顶点,即（0佰）与（0百）时双曲线的方程为盖-川（川足正实数）即箭羔-l所以5肌!趴入-.所以双曲线的方程为等需-1（2）解法;设所求双线的方程为蒜子-M0八因为此双曲线与直线5工6y80相切且显然其渐近线都不平行于直线5工6y80咖仙瘫躺荒沁 童:熟（5工6
52、y80其判别式-（6）（25人4）-0.解得儿故所求双线的标准方程为荒千即子筐-1解法;设所求双们线的方程为斋乎几（川蒜0）即露蜘M川（川0）设其与直线5工6y80相切的切点为（工0y0）则切线方程为工0工4y0y160,所以有灵-惫-悬,所以巫-帆.-3儿代人双n线方程中并化简得:-川,且闽为川0,所以川-,故所求双山线的标准方程为:-L384第十素攻鬼瓜粘题伪战睹战术解法二设所求双曲线方程为荒于-入（川0）.双曲线上点M的坐标为（倾2页tan0）以此点为切点的双曲线的切线方程为4页sec0r2页tan0y1,化简得sec0.工2tan0。4页.16入4闪为它啊直线5鞭咖-s重合,所以有犁-
53、2圃n-竿,即贾-O6丛台诅川等比定理悸ec奈;n塑0-.即尚.川-十代人原双曲线方程得y;l.此即为所求.陋m（1）（蝴蝶定理）过圆AB弦的中点M任意作两弦CD和EFCF与ED交弦AB于P、Q,求证:PMQM;（2）AB是圆T的条定弦O为AB上的定点过点O作圆T的两条弦CD和EF弦111求证;内Ir百 I可CF与OA交于点I弦DE与OB交于点J解题策赂:运用曲线系证明蝴蝶定理及其推广比用乎面 几何证明要简使许多.如图107所示以M为原点,AB所在直线为工轴建立直角坐标系.设圆方程为工2（b）2厂2（b厂）.设直线CD、EF的方程分别为y卢l工yh2工将它们合并为（y此l工）（yk2工）0,于
54、是过点C、D、E、F的曲线系方程为工2（yb）2厂2（y卢l工）（y附2工）0.令y0,得（1状lk2）z2b2厂20即过点C、D、E、F的曲线系与AB交于点P、Q的横坐标是方程（1虎1克2）.工2证明吕（1）y图10-762厂20的两根,由韦达定理得工pzQ（）,即M是PQ的中点,故PMQM.（2）如图108所示,以O为原点直线AB为工轴建立平面直角坐标系设圆T的方程为工2y2rey0,cD:工tly0IEF:工t2y0则直线CD、EF合成的二次曲线方程为（工rly）（工r2y）从而,经过C、D、E、F四点的曲线系方程为工2y2rey入（工tly）（工t2y）0o所以存在入使得为直线CF、D
55、E合成的二次曲线屈E7A】图10-8在o中令y0则rl、工J是方程（1）工2工（）的两个根,由韦达定理得工工T干I工贝T干I.因为工0工J0,0,385玄正兴高中瓢臂解题方怯令书111工工J所以而了万厂在o中令入0,y0则rA、工B是方程r2工0的两个根.由韦达定理得jrA工B工A.工B,且工A0工B00,11?w-故南而F呵111所以内oB堑“厕I（1）四条直线1;死3）150,2;hxy603;工50,;0围成个四边形问虎取何值时该四边形有个外接圆并求出外接圆的方程;（2）已知椭圆Cl:工29y22工36y270与双曲线C2:4工2y22y50有四个交点,求证此四个交点共圆,并求出此圆的中
56、心坐标.解题策略;第（1）问用直线方程构成二次曲线系方程解题;第（2）问用过两圆锥曲线交点的二次曲线系方程求解或证明.解:（1）设过该四边形4个顶点的二次曲线系方程为（工3y15）（r5y）入（虎工y6）y0。即工2（8克入）工y（15）y215Z（756）y0.l5l,入l4,由8忽-0,解得隐-示4所以所求圆的方程为工2y215工159y0.（2）设过Cl和C2交点的曲线系方程为工29y22工36y27（4r2y22y5）0（不包括C2）即（14）工2（9）y2ar（362入）y275入0显然当1纵0入,即儿-:时曲线系方程表示个过C!和C交点的圆将儿-:代人曲线系化简得37工237y21
57、0工164y950,即椭圆与双线的四个交点共圆.不难得到此圆的中心坐标即圆心坐标为（湍）例I求过（0,0）,（11）.（1,1）,（2,0）（32）五点的二次曲线方程解题策略:写出过其中四用第五点的坐标代入确定参数的值.盘的二次曲线系,解:过O（00）C（20）的直线方程为y0,过A（11）B（11）的直线方程为y1两者合并为y（y1）0直线OB的方程为工y0,直线AC的方程为zy20,两者合并为（工y）（工y2）0.则过A、B、C、O四点的二次曲线系方程为y（y1）入（ry）（工y2）0,所求二次曲线必须过点D（32）,代人解得6从而所求二次曲线方程为y（y1）6（工y）（工y2）0即6Z2
58、12工y7212工13y0.386第十苹攻鬼瓜勒题伪威躇战术肛已知点B（0,l）.BQ为椭圆子-1上异于点E的怔意网点,且BP上BQ若点在线段PQ上的射影为M求点M的轨迹方程解题策略:在运用曲线系方程解题时曲线系方程中包含着一些特殊情况,如本题中设出经过B、P、Q三点的曲线系.其中包含椭圆在点B处的切线和直线PQ这点务必请注意到.解:易知直线BP、BQ的斜率均存在且不为0设Bp:y拉1趣;y-出恋l,则经过B、PQ二点的曲线系方程为（拉y）（计）川（茅删:l）0,o即塑z（狐）:（隐）r（则（子y:l）0,其中包含过点B的椭圆切线y1.图109方程左边多项式必含有因了（则1）把-1代人o式得（
59、1）工!-0,巾甄不恒等于0,故0.即儿-4,此时（腮）甄（型D（剿l）4（:D-0,（您）i5则-0.所以直线PQ的方程为（隐卜5型3-0,二即（1）即-（膛）r:,PQ恒过定点N（0.:）如图109所示由BMN90知点M的轨迹是以线段BV为直径的圆（除去点B）其方程为耐:（驯l）（）0,即r（删）鉴（u第四节集中力量攻城咯地当前数学教育改革和高考改革在不断深人文理合卷、全国大多数省市统命题的运作已经,教材在不断变化新的内容在逐渐增加老的内容有些是减弱了在理念、内容、思想方法上开启教材在不断变化新的内容在逐渐增加老的内容有些是减弱了在理念、内容、思想方法上都有了较大的变化从而也使得原有的课程
60、的知识板块发生了改变如平面向量已引人多年且与三角函数、解析几何的综合直在加强之中大量删减了立体几何的许多定理,强调了空间向量在研究空间图形中的作用.而旋转体又完整地出现在教材中不少省市在导数的基础上又重新出现了定积分的应用,还新增了矩阵、随机变量与数学期望等.随着高考数学命题的不断改革,考纲必然也会随之调整而且调整幅度会加大,这也是统命题和文理合卷的大变动所决定的都要弓起足够的重视但有点是肯定的不管高考数学命题如何改革,高中数学中的重要板块如函数板块、数列板块、解析几何板块仍然是命题的重点所在.教材体系就是如此,谁也改变不了这些板块之间387参正妥高中魁管解题方膛令这些板块与其他数学知识之间的
61、交汇、交叉、结合在较长段时间内仍然是高考命题的热点.回顾近年来出现的那些最具冲击力的“创新试题往往在我们的意料之外却又在情理之中脱离不了这些重要板块综上所述,在二轮复习过程中特别在冲刺阶段不应平分力量而应在这些重要板块上多花点工夫.丽（）设函数（鞍）-lr2,工12工3g（工）（r）工工e13,其中巨R记函数g（工）的最大值与最小值的差为（）,求函数h（）的解析式;（2）已知函数f（堑）跨与函数g（甄）的图像关于窗线-虹对称.且函数删（堑）与g（r2）互为反函数,求h（4）的值解题策赂:第（1）问,分段函数是高考数学命题的一个重要视角,由于函数（Z）是分段函数而g（Z）（Z）工在x13上也是分
62、段的妥求分段函数的最大值或最小值必须先求出每一个分段表达式的最大值或最小值再从整体上求分段函数最大值的最大值或最小值的最小值.第（2）问首先求出g（工）其次求出g（工2）再求g（r2）的反函数h（工）,最后求h（4）的值若结合图像特征则解法更为简捷.1工,1jr2解:（1）g（工）（1）r12工3.o当0时函数g（工）是13上的增函数,此时,g（工）maxg（3）23g（工）ming（1）1,所以（）12.当1时,函数g（工）是13上的减函数此时g（工）mmg（3）23,g（工）maxg（1）1所以h（）2l.当01时,若工e1,2,则g（工）1工,有g（2）g（r）g（1）;若工e23,则g
63、（工）（1）工1有g（2）g（工）g（3）;因此g（jr）ming（2）12而g（3）g（1）（23）（1）12故当0时,鹰（涎）g（3）-23,有（）-当时.g（堑g（）-1.有（凰）-叫12,0,1“,0忽综上所述,（）l,9（21l.（2）设h（4）t,则点（4,t）在函数yh（jr）的图像上且函数h（工）与g（工2）互为反函数,388第十素攻Z座毅题的战躇威术所以点（t4）在yg（r2）的图像上即g（t2）4也即点（r24）在函数yg（工）的图像上.又因为啊数（堑）湾与陶数凰（甄）的图像关丁直线y-翅对称.所以点（,么2）在（堑）-滓的图像,所以兰2,所以了27已知函数（Z）工 其中1
64、.（1）当2时,求不等式（工）4工4的解集;（2）已知关于工的不等式（2工）2（工）2的解集为（r 1工2）求的值陋解题策略:利用绝对值的定义去掉绝对值号转化为整式不等式问题 求 解（2工6工2,瓣;）低粤;i,慧了当工2时由（Z）4Z42工64工1;当2工4时由（工）4工424不成立;当工4时,由（r）4工42工64r5,综上Z1或工5.所以当2时不等式（工）4工4的解集为Z工1或工5）.（鞭）（鳃嘿）:（剑-鲤:醚 则险）JI坐i醚.揉嚷2“由（2工）2（工）2得h（工）2,即4工2侧22位22罕x罕由已知不等式（2r）2（Z）2的解集为工 1r2）即（r）2的解集为卜所以早 解得3.1O
65、2,（】sm（r）.sm（r矛）.j-（凯sln（篮f）已知页（xe.借芋）在囚司上单调性（1）若!0,试研究函数（工）页。万（2）若tanr2且而佣试求!的值.陋解题策略:本例以向量为载体注重三角恒等变形、三角函数图三角综合问题中的基本模型之一也是高考中常见的基本问题.第（像与性质的研究是向量与1）问先把函数化简为问,由瓦俯且通过变形得的形式,再结合区间上的单调性分类讨论;第（2）问Asin（o工9）B的形式,再结合区间上的单调性分类讨论m与tan工的关系式而tanZ2已知则加的值即可求得.389。玄正妥高中魁檬解题方腋公sh2”二二解;（1）当咖-0时,（r）-】爵!n（r）s!m.-sm
66、（sim）-lc;s2客煎n（2撕）.出墅筐悟,割得2恋e引厂-厂-当2恋巨,即则e惜剖时雨数（醚）单调递增;当:级巨陪割即e傍割时函数广（延）单调递减（2）由训可得】sin（r）副n（rf）-sn（r）由t-2.可得爵（n（r）0（若sn（工）0则烫-腮沉（腮eZ）此时l与条件矛盾）从而钝sin（上苛）-smr即（si皿）两边同除以.可得（tan露1）tanr2所以m2.陋到数列工满足;工0工1工;工C（巳N）.（1）证明:（工）是递减数列的充要条件是C0.（2）求C的取值范围使（工）是递增数列.解题策赂:本例是一道数列综合题,主妥是数列与函数的综合解题的关键是运用函数的思想方法.解:（1）
67、先证充分性若C0,由于rl工:工C工C工故r）是递减数列;再证必要性若（工是递减数列则工2工工lC工l,即c工0.（2）（）假设工）是递增数列,由工l0得工2C工3C22C由工l工2工3,得0C1.由工工工:工C知,对任意1都有工了注意到F工工:工CF（1万工）（万工）由o式和式可得l了工0即r1万,由式和工0还可得对任意1都有F工l（1F）（了工）.反复运用式得万工（1F）l（F工l）（1了）l将r1F和工（1了）l两式相加,知2万1（1万）厕 l对任意1成立.根据指数函数测-（厂）.的性质,得2l0十.故0（）若0c要证数列甄融为递增数列即!鞭.哺c0,。39（）第十素攻兑瓜勒题的威略威术
68、即证工万对任意1成立下面用数学归纳法证明当0时鞭憾花对任意成立当-l时,狮!-0了,结论成立假设当虎（虎N;）时结论成立即工隐F网为堕数广（堑）-甄:鞭悠,在厩间（露.内单调递增所以工隐l（工隐）（了）F,就是说当虎1时,结论也成立.故工F对任意1成立.因此工l工工;C工,即（工是递增数列.由（）知使得数列翱单调递增的（的范围岭（0设了（ry1）,了（y1,工）,（工、yR）满足了了2Z（1）求点M（工y）的轨迹C的方程;（2）设A（0）（0）,P为曲线C上任意点求A到点P距离的最大值j（）.陋解题策赂:第（1）问利用椭圆的定义即求得点M的轨迹方程;第（2）问利用两点间的距离公式结合P为曲线C
69、上的点,转化为一个自变量的函数在自变量的取值范围内分类讨论求解最值.由了了2得工2（y1）2工2（y1）22】由椭圆定义知,点M（工）是以（0,1）、（01）为焦点2】为长轴长的椭圆所以点M（蜒.）的轨迹C的方程为翻等-L设p（ry）则pA（工）2y2工22m?22（r）2222,1工1.当01时则r PAmaxz页干百;当1时函数y（r）2222在1,1上为减函数所以当工1时 PA1.综上,碰硼）霄丁霄,:匡肌已知圆C的方程为工2（y4）24点O是坐标原点,直线:y垃与圆C交于M、lV两点.（1）求内的取值范围;（:）设Q（咖.）是线段M上的点且向壶 靖将表示为枷胸啊数解:（1）（2）陋39
70、1誊正兴高中魁橡解题方腋介到直解题策略:第（1）问直线与圆的位置关系的讨论一般有两种方法.一是几何法当圆心离小于半径时直线与圆有两个交点.二是代数法,直接联立直线方程与圆的方程消去关于工的一元二次方程据其根的判别式大于零求得h的取值范围.第（2）问根据直线线的距y,得出上两点间的距离公式T不万工l工2,用M、lV、Q点的横坐标表达OM、ON、（迫,再结的关系利用虎卫即可得出l关于的函数关系式.合韦达定理得虎、解:（1）将yhr代人圆C的方程r2（y4）24中,得（1陀2）r28hr120.O由（8k）24（1陀2）120,得陀23所以诧的取值范围是（百）O（佰）.（2）因为M、lV在直线上可设
71、点M、N的坐标分别为（irl hrl）（jr2陀工2）.则OM 2（1卢2）工;,ON 2（1炎2）r;且（2加22（1卢2）!2.由（方-（六六.孵（l;）咖-（l婴）塑;（计批:）延;,即旦上上（rl工2）22工l工2加2工工;工工;由o式可知塑堑:-隐l差,所以咖,瞅当8k因为点Q在直线-愿工上所以隐-箭,代人-5隐芒3中并化简.得53枷-36.由狮-5釜3及3可知0枷3即e（50）（0百）根掘题意,点Q在圆C上则0,所以-舱（恤5狮凰l805于是与加的函数关系为15!2180（!（可0）（0百）.5已知椭圆E;芋普-1的焦点在涎轴上A是F的左顶点斜率为隐（愿0）的直线交于A、M两点,点
72、N在E上MANA.（1）当t4 AMAN时求AMN的面积;（2）当2AMAN时求龙的取值范围例7解题策赂:本题考查椭圆的几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系.第（1）问由AMAlV和椭圆的对称性求出虎的值进而求AMN的面积第（2）问由已知条件求出t和k之间的关系利用t3求虎的取值范围.通常解析几何试题的计算量较大,寻求简捷、合理的运算途径尤为重要解答时妥抓住二次曲线的几何特征.将所求问题代数化还妥充分利用设而不求法、弦长公式及根与余数的关系等知识重视函数与方程思想、数形结合思想、对数思想、等价转化思想的应用参数法也是一个不错的选择,转化为极坐标方程解之则更妙.解;解法;（l）设M（鞭1.）则由
73、题意知则）.当4时.F的方橇为茅等-l,A（2,0）392第十聋攻兑瓜粘题伪威略威术由已知及椭圆的对称性知,直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为y-堑z将醚2代人子十等-l得y:l2-0解得y0或y黑所以y-票因此八Mv的面积s2孤芋芋器（2）由题意知:腮0A（振.0）将直线AM的方褂-愿（堑振）代人芋普-得（32）工22了。吠2工t2此23r0.由堑.（）-笋羔得露-扼!瓣）故AM-堑1fI干F-雕（隐）32.脚题设知富线八N的方程为-（恋D故同啊得M-雕瞧咕膊）由2AMAM得F雌芋即（虑;2）-雕（泌u当腮-沥时上式不成立因此搬陀u3等价于隐挞腮2（隐2）（您,D卢320,即吕0解哪隐
74、2故您的取值范围为（沥,2l解法二;（l）穷-4时椭圆E的方程为宁-1A（2.）由已知及椭圆的对称性知.AMN是等腰直角三角形,MX-矛延-:窖谰.而引等（m 为参数）与-联立得7捌l2】酗-0.解得咖-0或酗-哑22由参数的几何意义知AM-竿.而八M-M-竿所以MN的面帜s-AM.AN-人竿竿-器（2）因为椭圆E的焦点在工轴上所以t3,原图形不变,坐标系向左平移个单位后椭圆E的方惺为（蠢师）,普-L以原点为极点以雾轴的F卜轴为极输建立极坐标系则Et6了cos0的方程为p3cos20tsin20.393玄正兴詹中魁管解题方腋令6了cos设点M（,）（0）.点N（.等）,点MN在椭圆且恨侧-:c
75、。smn瞥.6了smP23sin2tcos2因为2AMAlV,则2plp2,2cossin两边同除以cos3得r（tan32）3tan（2tan1）即（腮2）6k龄.义胀3,所以6:;愿;即（腮:l）（您2）卢32解得沥卢2,故虎的取值范围为（沥2）.第五节归纳类比、探索创新新颖性问题是指问题的面目、形式新颖命题的立意、背景深远的数学问题这类题以“问题”为核心,以“探究”为途径,以发现”为目的般难度不会太大而且与高中数学体系内的知识有千丝万缕的联系是训练和考查学生数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型近年来的高考数学试题与各校自主招生考试中,出现了较多的新定义题、新知识背景题、新题型结构
76、题无论是试题形式的设计、考试内容的选择、考查思维的深度、问题情景的创设等都给人耳目新之感由于新颖性问题对所有学生而言都是陌生问题具有公平的特点,并有定的选拔功能,因而成为高考命题的个关注点.课程标准指出:“对新颖的信息、情境和设问,选择有效的方法和手段收集信息综合与灵活地运用所学的数学知识、思想和方法,进行独立思考、探究和研究才是解决问题的思路才是创造性解决问题.,新颖性问题对于每个学生而言难就难在“新”上,面对此类题,首先要搞清新意体现在什么地方要善于迅速提取有用信息善于挖掘创新试题的内涵与本质.采用化新为日的解题策略,合理迁移、运用已学的知识加以解决,般从以下两个方面进行深人思考:（1）若
77、新颖性问题的新意体现在结构上如新定义的概念题、运算题若设问方式呈现开放式、探究式,题设条件采用图形符号或者表格等形式给出,则应精准把握住问题的新结构的内涵与已学过的相近知识进行类比.设法实施转化,使新问题变为个老问题（2）若新颖性问题的新意体现在问题的立意上则应从数学思想和方法的角度着手考虑若有了数学思想和方法的引领问题就可以识别思路也会明晰再难的新颖性也可迅速破解在迎考冲刺阶段的攻坚战中精神因素不可忽视拥有良好的心态才能临场不慌,才能避免低级运算错误增强解题过程的严密性、完整性、准确性、规范性,才能读题到位、审题细心、思维活跃才能迅速找到解题途径,才能确保运算准确、推理步骤环环相扣才能在各类
78、考试中取得高分.本书虽然讲的是解题方法和策略实际上还应当有认知策略和心理调适策略,在学习数学时始终要有步步深化下去的热情.匝已知集合M是满足下列性质的函数（r）的全体;存在非零常数T对任意工巨R有（jrT）T（工）成立.394第十聋攻觅珐粘题伪威姥威术函数（工）工是否属于集合M?说明理由.设函数（工）堑（01）的图像与y工的图像有公共点证明:（工）延巨M.若函数（z）sin垃M,求实数k的取值范围）日（解题策赂:本例是周期函数定义的拓展印给出的是类周期函数的新定义要正确解题首先要理解周期函数定义的本质是（工T）（工）对（工）定义域内一切值恒成立.类比新定义,也应符合（工T）T丫（r）对（工）定
79、义域内一切值恒成立.（1）对于非零常数T,（工T）T（工）而对于函数（工）工,即工TTr.因为对任意工eR工TTr不能恒成立,所以（Z）工任M.（2）因为函数（工）延（0,1）的图像与y工的图像有公共点.解:（1）鳃,Vx?有解消去得蜒工所以方程组显然工0不是方程延工的解所以存在非零常数T,有TT.于是,对于（工）堑有（工T）zT墅。TT。延刀（工）,故（工）雾eM.（3）当龙0时,（工）0显然（工）0eM.当陀0时,因为（工）sin虎工M,所以存在非零常数T对任意zeR有（工T）T（工）成立,即sin陀（工T）Tsin粒.因为卢0工eR所以虹巨R虎工隐T巨R,于是sin克工e11,sin陀（
80、rT）e1,1.故要使sink（工T）Tsin诧z对任意工R恒成立,只有T1.当T1时,则有sin（虎工虎）sin卢工对任意reR恒成立即sinAr（cos龙1）cosArsin炎0对任意工R恒成立.所以;瞒二解得膛-:翻2当T1时则有sin（k工虎）sin虎工对任意工R恒成立即sinAr（cos虎1）cos克工sin虎0对任意工巨R恒成立.所以:蔗二解得k（2加1）冗,mz综上实数k的取值范围是陀虎m邦eZ）.设曲线y-等十唾（凰0）在点甄处的切线斜率为隐（葱）且隐（l）对切实数墅不等式赃愿（涎）;（瓣D恒成立（1）求虎（1）的值;（2）求函数虎（Z）的表达式;陋助郴翻曰（3）求证395苞正
81、妥高中敷檬解题方腋解题策赂:三次函数图像的切线问题涉及求导以及函数与不等式众多知识点和数学思想的题的热慧对eR.不等式Jz您（赃）（鲤:D厦咸方法是高考命题的热点.对工R的主要条件用好这一条件是关键立是求函数虎（工）表达式币第（3）问实质是证明数列不等式 放缩的技巧、裂项相消法起重妥作用.解;（DM-瞥位即腮（r）工!位,延您Lr）（瓣D,令工1得1龙（1）1所以陀（1）11（2）隐（）-0,b-百.所以b0,解得煮（卢（1）1,（bC1,且隐（涎）r,所以留寺r.即鞭留寺幢0（凰0）恒成立0所以娜隐哑六.且蜒（牢）六删片击所以哩丽.。-.所以隐（鞭）十纠鞭十（巫D毁1（:）证明;因为雁（）（
82、延l）,4所以愿式左边-（l）:（:）,（世l）:（l）:-4巳（D:六六卜六（l24（寸古志）惟（器.原式得证二2（72）陋数列（的前项和为S.若对任意正整数,总存在正整数!,使得S 则称是“H数列”.（1）若数列）的前项和S2（N）证明:）是“H数列.（2）设是等差数列其首项l1,公差0.若）是“H数列”求创的值.（3）证明:对任意的等差数列 总存在两个“H数列”b和（C,使得bC（eN）成立.解题策略:本例给出“H数列”新概念,又涉及等差数列等基础知识,新日知识融合一起颇有新意既考查运算能力又考查探究能力及推理论证能力.特别是后两问,构题精巧,内涵丰富,可从不同角度找到解题思略.解:（1
83、）由已知当1时lSlS2l22.于是对任意的正整数总存在正整数!1.使得S2厕,396第十景攻兑瓜勒题伪威睹威术所以）是“H数列”.解法:由已知得S22ld2因为）是“H数列”所以存在正整数加使得S2砸.即21（加1）d于是（加2）1.因为0,所以加20,故m1从而创1.当刨l时,鹏2!,S（3）是小于2的整数eN魂（3亏）,使得S翻-2砸腮.于是对任意的正整数,总存在正整数!2S2所以（）是“H数列”.因此d的值为1.解法二;由题息设-l（狮lM等羞数列鳞的颠几项和跳-宁d因为对（2）任意正整数,总存在正整数!,使得s卿,即（枷l）.刨-匹尹刨即咖l创所以m1（1）（2）0且0则2d0对任意
84、2都成立.2切所以22I0,所以d1.2在m式中删l、工亏婴都是镶数,所以对任意eN,弓也应是整数,所以只有d-1,由知当d1时,对任意N.,存在!（厂3）2eN.使得S狮即（是“H数列,.证法:设等差数列）的公差为则厕l（1）m（1）（创1）（eN）.令bl C厕（1）（l）则厕b厕C厕（eN）.下证b）是“H数列,:设撼的前项和为T.则T撼（子D哪（eN）丁是对任意的正整数鹏.总存在正整数n-（;十）,使得T蜒b瞅所以b是“H数列”.同理可证C厕）也是“H数列”,所以对任意的等差数列（厕总存在两个“H数列”（b和c厕）使得6C（eN）成立.门（11）证法二:设b厕虎龙巨R巨N,则数列b）的
85、前项和S克.2因为砸（于DeN.故数列是H数列（3）397蓬巫妥高中魁檬解题方幢令（1）设c（1）eRN 则数列c厕）的前项和S-“0（宁l）ll.故数列 是H数列2对任意的等差数列则）的通项公式均可表示为的次式设户q户、qeR此时令b（户q）Cq（1）由以上证明可知数列（b）、C厕）都是“H数列,.在平面直角坐标系工Oy中对于直线:工byC0和点Pl（工l yl）、P2（工2,y2）记（工lbylC）（工26y2C）,若v0则称点Pl、P2被直线分隔若曲线C与直线I没有公共点且曲线C上存在点Pl、P2被直线分隔则称直线为曲线C的条分隔线.（1）求证:点A（12）B（10）被直线工y1（）分隔
86、;（2）若直线y虹是曲线工24y21的分隔线,求实数贞的取值范围;（3）动点M到点Q（0,2）的距离与到y轴的距离之积为1设点M的轨迹为曲线E求证:通过原点的直线中有且仅有条直线是E的分隔线刚解题策赂:本题是一道解析几何题,题设给出了一个“分隔线,的新概念要求探究或证明若于数学问题,对学生而言是一个陌生问题但实质上运用的仍然是解析几何问题的解决中经常运用的函数与方程的思想方法特别是方程理论.解:（1）证明:因为40.所以点A、B被直线工y10分隔.（2值线慰与川线器烛:l何公共点的充嚷靛什是方程组熙-有解即您因为直线拉是曲线工鹏4M-1的分隔线.故它们没有公共点.即隐当隐时,对于直线-虹线涎:
87、4M-1上的点（,0）利（1,0瞒足-俺:0,即点（10）和（10）被y虎工分隔故实数腮的取值范围晨（.0巳,）（3）证明:设M的坐标为（工）则曲线E的方程为2（y2）2.工1,即工2（y2）2.工21.对任意的0,（0y0）不是上述方程的解,即y轴与曲线E没有公共点.又因为曲线E上的点（12）和（1,2）对于y轴满足V0即点（12）和（12）被y轴分隔所以y轴为曲线E的分隔线若过愿点的直线不恳测轴设具为由忘轧2）嚣得jr2（虎工2）2工210.398第十苹攻兑瓜粘题的威略威末令（工）工2（kr2）2工21.因为（0）.（2）（1）16（卢1）2150,所以方程（工）（）有实数解,即直线y位与
88、曲线E有公共点故直线y龙工不是曲线E的分隔线综上可得通过原点的直线中有且仅有条直线是E的分隔线.专题训练十:攻克压轴题的战略战术已知（甄）-警署是定义在实数集R上的啊数把方程（延）-称为濒数广（鞭）程特征方程的两个实根、（）称为（工）的特征根.（1）讨论函数的奇偶性,并说明理由;（2）求（）（）表达式;（3）把函数y（工）工e的最大值记作max（工）最小值记作min（工）.令g（m）max（工）min（工）,若g（m）F干T恒成立求入的取值范围（工）上称为函数（工）的特征方2.在ABC中角A、B、C所对的边分别为、6、c,已知四旦1cosBb2c.（1）求乙A的大小;（2）求sinBsinC的
89、最大值巳知阔数（矿）-m:）且在卜.音上的最大值为?（1）求函数（工）的解析式;（2）判断函数（工）在（0,冗）内的零点个数并加以证明.399.参正妥葛中魁檬解题方腋公（上2）且满足.测e（,）时有（J）（）4.已知（工）在（11）上有定义广（蛊）（1）证明:（r）在（11）上为奇函数;（:）数列辫瞒足墅-了,靴揣,设蜒.（甄.）.求侧.的通项公式;1（:）求证;（）忘（圭）舞;（）证明等式l（）（古）十（1巨厂（曰么2315设双帅线C;蔗莆-l（、b0）.R、R,是它实轴的啊个端点是其虚轴的个端点已知其渐近线的方向向量是（1可）,IRlR2的面积是可O为坐标原点直线y此工-加（诧、!eR）与
90、双曲线C相交于A、B两点,且OA上OB.（1）求双曲线C的方程;（2）求点P（龙加）的轨迹方程.6.在直角坐标系工Oy中,曲线Cl的点均在C2:（r5）2y29外,且Cl上任意点M到直线工2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.（1）求曲线Cl的方程;（2）设P（工0y0）（y03）为圆C2外点过P作圆C2的两条切线,分别与曲线Cl相交于点A、B和C、D.证明:当P在直线工4上运动时四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值4（）0第十聋攻觅瓜勒题的战略威术7如图所示设椭圆C;蔚蒂-l0）的左右焦点分别为FF2上顶点为A过点A与AF2垂直的直线交r轴负半轴于点Q且2丽了厂刀6.若过A、Q、F2三
91、点的圆恰好与直线;工百30相切.（l）求椭圆C的方程;（2）设椭圆的右顶点为B过椭圆右焦点F2作斜率为此的直线与椭设椭圆的右顶点为B过椭圆右焦点F2作斜率为此的直线与椭圆厂儿第7题图C交于M、lV两点,试问:MB能否为锐角三角形?若能请求出龙的范围;若不能请说明理由.8.已知椭圆C:9工2y2m2（m0）直线不过原点O且不平行于坐标轴与C有两个交点A、B线段AB的中点为M.（1）证明:直线OM的斜率与直线的斜率的乘积为定值;（2）若过点（普,）.延长线段OM与C交于点P.四边形OApB能否为平行四边形?若能,求此时的斜率;若不能说明理由.9.设阀（工）是等比数列1,工工2工的各项和,其中工0,eN2.（1）证明;函徽F融（垄）-.（虹）2在（昔,!）内有且仪有个零点（记为约）,且堑-11方工;（2）设有个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列其各项和为g（r）,比较（Z）和g（工）的大小并加以证明.401