1、北京一六一中学 20232024 学年度第一学期 10 月阶段性测试高三数学试卷班级_姓名_学号_考生须知：1本试卷共 3 页，满分 150 分，考试时长 120 分钟2试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效3在答题纸上，选择题用 2B 铅笔作答，非选择题用黑色字迹签字笔作答4考试结束后，将答题纸、试卷和草稿纸一并交回一、选择题：本大题共 10 道小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求把正确答案涂写在答题卡上相应的位置1.已知复数i1 iz ，则 z （）A.12B.22C.1D.2【答案】B【解析】【分析】先化简i1 iz 得到1i22z ，
2、再根据复数模的定义，即可求解.【详解】i 1 iii 11i1 i1 i 1 i222z，22112222z.故选：B2.已知全集1,2,3,4U，集合1A，()3UCAB，则集合 B 可能是（）A.4B.1,4C.2,4D.1,2,3【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义和运算规律求解即可.【详解】1,2,3,4U，()3UCAB 1,2,4AB又1A 2,4B 故选：C.3.下列函数 f x 中，其图像上任意一点,P x y坐标都满足条件 yx的函数是（）A.3f xxB.f xxC.e1xf x D.ln1f xx【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别画出函数图像，结合计算，即可得到
3、结果.【详解】当2x 时，38x，2x，3xx，故 A 错误；当14x 时，12x，14x，xx，故 B 错误；当1x 时，e1e 1x ，1x ，e1xx，故 C 错误；当 10 x 时，0f x，0 x，满足 yx，当0 x 时，设 ln1g xxx，则 11011xgxxx，则 g x 在0,上单调递减，则 00g xg，满足 yx，故 D 正确；故选：D.4.已知()0,，且3cos28cos5，则sin （）A.53B.23C.13D.59【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos 的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
4、【详解】3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3 或cos2（舍去），又25(0,),sin1 cos3.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.5.已知0.53a，3log 2b，2tan 3c，则（）A.abcB.bacC.cabD.acb【答案】A【解析】【分析】根据指数、对数函数的单调性，将 a，b，c 与 0 或 1 比较，分析即可得答案.【详解】由题意得0.50331a ，3330log 1log 2log 31，所以01b，又2tan33c，所以 abc.
5、故选：A6.某同学用“五点法”画函数()sin()f xAx（0，|2）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02322x356sin()Ax0550根据这些数据，要得到函数sinyAx的图象，需要将函数()f x 的图象（）A.向左平移12 个单位B.向右平移12 个单位C.向左平移 6 个单位D.向右平移 6 个单位【答案】A【解析】【分析】根据表格中的数据，列出关于，的方程组，解方程组得出函数()f x 的解析式，根据函数()sin()f xAx图象的变换即可得出结果.【详解】由表中的数据可得5A，325362，解得26，所以()5sin(2)6f xx，y 5sin
6、2x，将()5sin(2)6f xx 5sin2()12x图象向左平移12 单位后得到 y 5sin 2x 的图象.故选：A7.设函数1()1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11f x B.11f x C.11f x D.11f x【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xf xxx ，对于 A，2112f xx 不是奇函数；对于 B，211f xx是奇函数；对于 C，21122f xx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于 D，2112f xx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函
7、数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.8.已知 sinf xxx，命题 P：0,2x，0f x，则（）A.P 是假命题，0,02Pxf x ：，B.P 是假命题，000,02Pxf x：，C.P 是真命题，0,02Pxf x ：，D.P 是真命题，000,02Pxf x：，【答案】D【解析】【分析】求导分析 sinf xxx的单调性，进而求得最值，再根据全称命题的否定逐个判断即可【详解】sinf xxx，cos10fxx f x 是定义域上的减函数，00f xf命题 P：0,2x，0f x，是真命题；该命题的否定是00002Pxf x：，.故选：D.9.已知,R ，则“存在Zk 使得(1
8、)kk”是“sinsin”的（）A 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在Zk 使得(1)kk 时，若 k 为偶数，则sinsinsink；若 k 为奇数，则sinsinsin1sinsinkk；(2)当sinsin时，2m或2m，mZ，即12kkkm 或121kkkm，亦即存在Zk 使得(1)kk 所以，“存在Zk 使得(1)kk”是“sinsin”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论
9、思想的应用，属于基础题.10.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是（）消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶 5 千米；以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少；甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时，消耗 10 升汽油；某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解.【详解】从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于 5，故错误；同样速度甲车消耗 1 升汽油行驶的路程比乙车、
10、丙车的多，所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故正确.甲车以 80 千米/小时的速度行驶，1 升汽油行驶 10 千米，所以行驶 1 小时，即行驶 80 千米，消耗 8 升汽油，故错误；速度在 80 千米/小时以下时，相同条件下每消耗 1 升汽油，丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故正确.故选：A二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题纸中相应的横线上11.在51xx的展开式中，1x的系数为_【答案】10【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果.【详解】51xx的展开式的通项公式为 515 2155C11 Crrrrrr
11、rrTxxx ，令521r ，可得3r，故 1x的系数为3351 C10.故答案为：1012.已知角，的终边关于原点 O 对称，则cos _【答案】1【解析】【分析】根据角，的终边关于原点 O 对称得 21Zkk，即可得到cos 的值.【详解】角，的终边关于原点 O 对称，(21)(Z)kk，coscos 1 21Zkk.故答案为：1.13.设函数1,0()2,0 xxxf xx，则满足()(1)1f xf x 的 x 的取值范围是_.【答案】1,【解析】【分析】分1x 、10 x和0 x 三种情况解不等式即可求解.【详解】当10 x 即1x 时，()(1)1f xf x 即1(2)1xx ，
12、可得1x ，此时无解，当010 xx 即 10 x时，()(1)1f xf x 即11 21xx ，所以120 xx，令 12xg xx，则 12xg xx在1,0上单调递增，10g xg，所以120 xx 恒成立，所以 10 x符合题意，当010 xx 即0 x 时，()(1)1f xf x 即1221xx 恒成立，所以0 x 符合题意，综上所述：满足不等式的 x 的取值范围是1,，故答案为：1,.14.若方程 e0 xaxa有根，则实数 a 的取值范围是_【答案】2ea 或 a0，【解析】【分析】构造函数 e1xf xx，利用导数求解函数的单调性，进而结合函数图象即可得直线 ya与 f x
13、有交点时，2ea 或 a0.【详解】由 e0 xaxa得e1xa x，当1x，方程显然无根，故1x 时，e1xax，令 e1xf xx，则 2e12x xfxx，令 2e201x xfxx，则2x，故 f x 在2,单调递增，在1,2 以及,1单调递减，故2x 时，f x 取极小值 22ef，而当1x 时，e01xf xx，当 x 时，f x ，所以直线 ya与 f x 有交点时，2ea 或 a0，故答案为：2ea 或 a；当,1xa时，0fx.故 f x 在0,a 上单调递增，在,1a上单调递减；max()01f xf af，不合题意；当1a 时，则0,1x时，0fx，所以 f x 在0,1
14、 上单调递增，max()101f xff，不合题意.综上，实数 a 的取值范围是,0.【小问 3 详解】设 2g xf xa x，根据题意有，120 xx，12()()g xg x，故()g x 单调递增，则 32112132ag xxxx，g x 在0,上单调递增，则有0 x 时，0gx恒成立.而 212gxxax，即2120 xax恒成立，参变分离可得，则有21axx，而22 2xx（当且仅当2x 时等号成立），所以min22 2xx，即有2 21a .21.已知数列 na，记集合*1,1,NiijTS i j S i jaaaij j（1）对于数列 na：1，2，3，4，写出集合 T；（
15、2）若2nan，是否存在,i jN，使得,1024S i j？若存在，求出一组符合条件的 i，j；若不存在，说明理由；（3）若22nan，把集合 T中的元素从小到大排列，得到的新数列为 B：1b，2b，mb，若2024mb，求 m 的最大值【答案】（1）3T，5，6，7，9，10；（2）不存在，理由见解析（3）1003【解析】【分析】1）根据题意给出的集合T 新定义，即可得出答案；（2）使用假设法，假设存在i，*Nj，使得(,)1024S i j，进行计算检验，从而得出结论；（3）由22nan，根据题意给出的集合T 新定义可对(2222)(1)(2)(1)2jijijiji 进行计算分析，讨论
16、元素的奇偶情况，即可得出答案【小问 1 详解】由题意得123aa，1231236aaa，1234123410aaaa ，23235aa，2342349aaa，34347aa，3T，5，6，7，9，10；【小问 2 详解】假设存在i，*Nj，使得(,)1024Sij，则有1102422(1)2(1)()iijaaaiijjiij，由于ij与 ji 奇偶性相同，ij 与1ji 奇偶性不同，又3ij，12ji ，1024有大于等于 3 的奇数因子，这与 1024 无 1 以外的奇数因子矛盾，故不存在i，*Nj，使得(,)1024S i j；【小问 3 详解】由题意得(2222)(1)(2)(1)2j
17、ijijiji ，当2j，1i 时，12b，除2j，1i 外22ji，12ji ，其中2ji 与1ji 一奇一偶，则nb 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有 2n 无法拆成一个大于 2 的奇数与一个不小于 2 的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故*2|NTn n，2kn，*N k，故 2 至 2024 偶数中除去 4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2024910032m，故 m 的最大值为 1003【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
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