《三维设计》2015年高考数学（人教理科）大一轮配套解答题增分系列讲座教案：“函数与导数”类题目的审题技巧与解题规范.doc

1、 “函数与导数”类题目的审题技巧与解题规范技法概述解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的有些问题的结论看似不明确或不利于解决，可以转换角度，达到解决问题的目的适用题型高考中有以下几类解答题用到此种审题方法：1研究函数与导数中两函数图像交点、函数的零点、方程的根等问题；2一些不等式恒成立问题常转换求函数的最值；3圆锥曲线中的定点问题，常转换先求直线方程典例(2013陕西高考，节选)(本题满分12分)已知函数f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有

2、唯一公共点失分警示不说明两曲线公共点的个数等于函数零点个数，步骤不规范解题流程第一步利用斜率求切线方程第二步构造新函数，将公共点转化为零点第三步求零点第四步求函数的导函数并判断其单调性进而求极值(最值)第五步利用极值(最值)判断零点个数即交点个数第六步得出结论想不到第二次求导即构造新函数h(x)导致解题中断不说明(x)有最小值0导致扣分1(2013北京东城模拟)已知函数：f(x)x(a1)ln x(aR)，g(x)x2exxex.(1)当x1，e时，求f(x)的最小值；(2)当a1时，若存在x1e，e2，使得对任意的x22，0，f(x1)g(x2)恒成立，求a的取值范围解：(1)依题意得，f(

3、x)的定义域为(0，)，f(x)(aR)，当a1时，x1，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(1)1a.当1ae时，x1，a，f(x)0，f(x)为减函数，xa，e，f(x)0，f(x)为增函数，f(x)minf(a)a(a1)ln a1.当ae时，x1，e，f(x)0，f(x)为减函数，f(x)minf(e)e(a1).综上，当a1时，f(x)min1a；当1ae时，f(x)mina(a1)ln a1；当ae时，f(x)mine(a1).(2)若存在x1e，e2，使得对任意的x22,0，f(x1)g(x2)恒成立，即f(x1)ming(x2)min.当a0，f(x)为增函数，

4、f(x1)minf(e)e(a1)，g(x)xexxexexx(1ex)，当x22,0时g(x)0，g(x)为减函数，g(x2)ming(0)1，e(a1)，a的取值范围为.2已知函数f(x)axxln x，且图像在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)(1)求实数a的值；(2)设g(x)，求g(x)的单调区间；(3)当mn1(m，nZ)时，证明：.解：(1)f(x)axxln x，f(x)a1ln x，依题意fa1，所以a1.(2)因为g(x)，所以g(x).设(x)x1ln x，则(x)1.当x1时，(x)10，(x)是增函数，对任意x1，(x)(1)0，即当x1时，g(x)0，故g(x

5、)在(1，)上为增函数当0x1时，(x)1(1)0，即当0x0，故g(x)在(0,1)上为增函数所以g(x)的递增区间为(0,1)，(1，)(3)证明：要证，即证ln nln m，即ln mln n，.(*)因为mn1，由(2)知，g(m)g(n)，故(*)式成立，所以.3(2013河北模拟)设函数f(x)x1ex的定义域为(，0)(0，)(1)求函数f(x)在m，m1(m0)上的最小值；(2)设函数g(x)若x1x2，且g(x1)g(x2)，证明：x1x22.解：(1)由题意得f(x)，则当x1时，f(x)0；0x1时，f(x)0.由此可知函数f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数当m1时，函数f(x)在m，m1上是增函数，此时f(x)minf(m).当0m1时，2x20，从而e2x210，又ex0，所以F(x)0，从而函数F(x)在1，)上是增函数又F(1)e1e10，所以x1时，有F(x)F(1)0，即g(x)g(2x)由及g(x1)g(x2)知x1与x2只能在1的两侧不妨设0x11，由结论可知，g(x2)g(2x2)，所以g(x1)g(x2)g(2x2)因为x21，所以2x22x2，即x1x22.