1、勾股定理及逆定理的运用【考点精讲】来源:Z|xx|k.Com【典例精析】例题1 已知：如图，ABC中，D为BC边上一点，AB=15，BD=9，AD=12，AC=13。（1）求证：ADBC；（2）求ABC的面积。思路导航：（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可判断出ABD是直角三角形，进而得到结论；（2）根据勾股定理计算出CD的长，再利用三角形的面积公式计算出三角形的面积即可。答案：解：（1）122+92=152，AD2+BD2=AB2，ADB=90，ADBC；（2）ADBC，ADC=90，DC= =5，BC=BD+DC=9+5
2、=14ABC的面积：BCAD=1412=84。点评：此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。例题2 在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，ABC是直角三角形；当a2+b2c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究ABC的形状（按角分类）。（1）当ABC三边分别为6、8、9时，ABC为_三角形；当ABC三边分别为6、8、11时，ABC为_三角形。（2）猜想
3、，当a2+b2_c2时，ABC为锐角三角形；当a2+b2_c2时，ABC为钝角三角形。（3）判断当a=2，b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围。思路导航：（1）利用勾股定理列式求出两直角边为6、8时的斜边的值为10，然后做出判断即可；（2）根据（1）中的计算做出判断即可；（3）根据三角形的任意两边之和大于第三边，求出最长边c的最大值，得到c的取值范围，然后分情况讨论即可得解。答案：解：（1）锐角三角形；钝角三角形。（2）；（3）c为最长边，2+4=6，4c6，a2+b2=22+42=20，a2+b2c2，即c220，0c2，当4c2时，这个三角形是锐角三角形；a2+b2=c2，即c
4、2=20，c=2，当c=2时，这个三角形是直角三角形；a2+b2c2，即c220，c2，当2c6时，这个三角形是钝角三角形。点评：本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键。例题3 如图所示，MN为我国领海线，MN以左为我国领海，以右为公海。上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C正以每小时16海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其6海里，正在MN上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是10海里，缉私艇B测得C与其距离为8海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国领海？思
5、路导航：已知走私艇的速度，求出走私艇到我国领海线的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海，所以现在的问题是得出走私艇的最近距离。根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，ABE和ENC均为直角三角形，分别解这两个直角三角形即可得出。答案：解：设MN与AC相交于E，如下图所示：则BEC=90，AB2+BC2=62+82=102=AC2，ABC为直角三角形，且ABC=90，由于MNCE，所以走私艇C进入我领海的最短的距离是CE，由SABC=ABBC=ACBE，得BE=4.8海里。由CE2+BE2=BC2，得CE=6.4（海里），6.416=0.4（h）=24（min）9时5
6、0分+24分=10时14分。答：走私艇C最早在10时14分进入我领海。点评：解决此类问题，应从实际入手，将其转化为数学问题。本题要求该艇最早何时进入我国邻海，必须首先确定可疑船艇进入我国领海的航行路线，由“垂线段最短”可知线段CE即为可疑船艇进入我国邻海的最短距离，因此，计算CE的长即为解题关键。【总结提升】1. 利用勾股定理解决折叠问题折叠问题与轴对称、全等是密不可分的，做题时一定要抓住这一点。例 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=16，AB=8，求DE的长。思路导航：先根据翻折变换的性质得出CD=CD，C=C=90，再设DE=x，则AE=16x，
7、由全等三角形的判定定理得出RtABERtCDE，可得出BE=DE=x，在RtABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长。答案：解：RtDCB由RtDBC翻折而成，CD=CD=AB=8，C=C=90，设DE=x，则AE=16x，A=C=90，AEB=DEC，ABE=CDE，在RtABE与RtCDE中，A=C=90，AB=CD，ABE=CDE，RtABERtCDE，BE=DE=x，在RtABE中，AB2+AE2=BE2，即82+（16x）2=x2，解得x=10，即DE=10。点评：本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键。2. 利用勾股定理解决表面距离最短问题例 有一圆柱形的油罐，如图，要从点A起环绕油罐一圈建梯子，正好到A点的正上方B点，若油罐底面周长是12m，高是5m，问梯子最短是多少米？思路导航：先将圆柱的侧面展开成长方形，再根据两点之间线段最短和勾股定理求最短距离。解：如图，将圆柱体的侧面展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，最短梯子是AB的长度。在RtABC中：AB=m，答：梯子最短是13米。点评：本题是一道趣味题，将圆柱体侧面展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可。
