1、湖北省宜昌市长阳县第一高级中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题考试时间120分钟 试卷总分150分一、选择题（本大题共12小题，共60分）1若,则 （ ）A. 1B. C. D. 2. 是“直线与直线垂直”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 方程的根所在的区间是（ ）A. B. C. D. 4.如图,在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）A. B. C. D. 5.空间中点关于平面的对称点与的距离为（ ）ABCD6. 三棱锥的三条侧棱两
2、两垂直,其长分别为,则该三棱锥的外接球的表面积（ ）A. B. C. D. 7.以下茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则、的值分别为（ ）A.、B. 、C. 、D. 、8. 函数的图象大致为() A. B. C. D. 9. 数列中，以后各项由公式给出，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆O的方程为,向量，,点P是圆O上任意一点,那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11椭圆 的左、右焦点分别为 ，弦过点，若的内切圆周长为 ，两点的坐标分别为 和 ，则 的值是 （ ）A.B.C. D.12.
3、 数学家欧拉1765年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心和垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线。已知ABC的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标是（ ）A.B. C. D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若关于的不等式的解集为，则 .14.已知是正实数，且，则的最小值为_15.从长度为的四条线段中随机地选取三条线段,则所选取的三条线段恰能构成三角形的概率是_16.已知双曲线： （， ）的一条渐近线为，圆： 与交于两点，若是等腰直角三角形，且（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为_三、解答题（本大题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或
4、演算步骤）17.（本题10分）已知函数 (1)求的单调递增区间和对称中心；(2)若不等式在上恒成立,求实数m的取值范围 18.（本题12分）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点.(1)求圆的标准方程；(2)直线过点且与圆相交，所得弦长为4，求直线的方程.19.（本题12分）设数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求.20.（本题12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成9组，制成了如图
5、所示的频率分布直方图(1)求直方图中的a值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数21.（本题12分）如图1， 在直角梯形中，为线段的中点. 将沿折起，使平面平面，得到几何体，如图2所示.(1)求证:平面； (2)求二面角的余弦值. 22.（本题12分）设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，线段中点的横坐标为，且.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点，且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围 数学试题答案123456789101112DABCDDDACDDA13.1149151610. 解
6、：因为点P是圆上任意一点,所以设点P的坐标为，所以的取值范围是 12. 17.解：（1）2分的单调递增区间为4分对称中心为,6分（2）由恒成立,可得恒成立,又， 8分的取值范围是10分18.解：(1)；(2)或.（1）设圆心为，则应在的中垂线上，其方程为，由，即圆心坐标为又半径，故圆的方程为.6分（2）点在圆上，且弦长为，故应有两条直线.圆心到直线距离.当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线距离为1，符合题意.8分当直线的斜率存在时，设为，直线方程为整理为，则圆心到直线距离为，解得，直线方程为，综上，所求直线方程为或.12分19.（1）设等差数列an公差为d，等比数列bn公比为qa
7、11，b13，a2+b330，a3+b214，化为2q2q150，解得：q3，d2an1+2（n1）2n1，bn3n.6分（2） cn（an+1）bn2n3n，Tn2（3+232+n3n），3Tn232+233+（n1）3n+n3n+1，2Tn2（3+32+3nn3n+1）2（12n）3n+13，Tn.12分20.解：(1)由题意，根据频率分布直方图的性质，可得 (0.080.16a0.400.52a0.120.080.04)0.5=1，整理得21.42a，解得a0.3.4分(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图，可得月均用水量不低于3吨的
8、频率为(0.120.080.04)0.50.12，6分又由样本容量为30万，所以样本中月均用水量不低于3吨的户数为300.123.6万.8分(3)根据频率分布直方图，得0.080.50.160.50.300.50.420.50.480.5，0480.50.500.730.5，中位数应在2,2.5)组内设出未知数x，令0.080.50.160.50.300.50.420.50.50x0.5，解得x0.04，所以中位数是20.042.04.12分21.解法一：（）在图1中,可得,从而,故-3分面面,面面,面,从而平面6分（）取的中点，的中点,连结,是的中点是的中位线,是的中位线,又（）可知平面平面平面又连结,平面又平面， 是二面角的平面角9分在中，,二面角的余弦值为.12分解法二: （）在图1中,可得,从而,故2分取中点连结,则,又面面,面面,面,从而平面,4分又,平面6分（）建立空间直角坐标系如图所示,则,8分设为面的法向量,则即,解得令,可得10分又为面的一个法向量二面角的余弦值为.12分22.解:（1）由题意，设点，则线段中点的横坐标为，所以，又，得，所以抛物线的标准方程为.4分（2）设，过点，且斜率为的直线方程为，联立 ,消去得：，8分易知抛物线的，由已知可得：，解得：，10分符合.综上：的范围是.12分