1、利用构造思想解一元二次方程竞赛题构造一元二次方程解题是数学解题技巧之一，运用这一方法解题能化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果，现结合全国各类数学竞赛，予以说明。一、利用方程根的定义构造一元二次方程 当题设条件具备和时，则可利用方程根的定义，构造以，为根的一元二次方程来解题。例1、已知、满足，则。练习1：已知，则的值为（ ）A、2 B、-2 C、-1 D、0练习2：已知，试求的值。（全国初中数学联赛）练习3：设，且则代数式的值为（ ）A、5 B、7 C、9 D、11练习4：若实数、满足，则代数式的值为（ ）A、-20 B、2 C、2或-20 D、2或20练习5：若，为实数，且，求的值。练习6
2、：如果，都是质数，且，求的值。练习7：若实数，满足等式：，则代数式的值为（ ）A、 B、 C、2或 D、2或例2、若，且有及，则的值是（ ）A、 B、 C、 D、 （全国初中数学联赛）练习1：已知，其中、为实数，求的值。练习2：设实数，分别满足，并且，求的值。练习3：已知，其中、为实数，则练习4：已知实数，且满足，则的值为_。（全国初中数学联赛）练习5：已知数学、满足，则的值为（ ）A、7 B、 C、 D、5 （全国初中数学联赛）练习6：已知，且，求的值。练习7：已知，且，则的值（ ）A、35 B、36 C、-35 D、-36二、利用韦达定理的逆定理构造一元二次方程当题设条件具备，则可利用韦达
3、定理逆定理构造一元二次方程来解题，即、可看作方程的两实根。例1：已知、是正整数，并且， ，则练习1： 已知和是正整数，并且满足条件，求的值。例2：（初中数学竞赛）解方程组练习1：解方程组 练习2：解方程组练习3:方程组实数解的组数是_.例3：（数学竞赛）设实数，满足求的取值范围。练习1：若实数，满足和，求的取范围。练习2：已知实数、满足，且，求的取值范围。（TI杯全国初中数学竞赛）练习3：（湖南省初中数学竞赛）如果、为互不相等的实数，且满足关系式与，那么的取值范围是_练习:4：（初中数学竞赛）已知，均为实数，且满足，求的值。三、利用主元法构造一元二次方程对于含有多个变元的等式，可以将等式整理为
4、关于某个字母的一元二次方程成功的构造是建立在敏锐的观察、恰当的变形、广泛的联想的基础之上的；成功的构造能收到明快简捷、出奇制胜的效果。例1：（安徽省初中数学竞赛）求方程的实数解。练习1：（江苏省初中数学竞赛）求方程的非负整数解。例2：已知实数、满足，（1）求、最大者的最小值；（2）求的最小值。练习1：（全国初中数学联赛）已知实数、均为实数，且满足，求的最小值。四、利用一次式平方构造一元二次方程整体代值当题目给出形如的式子时，可以考虑构造一元二次方程去解题，此种方法在求代数式值中有广泛的应用。例1：若，则练习1：设，则代数式的值为_练习2：（全国初中数学联赛）当时，的值为（ ）A、1 B、-1 C、 D、例2：设，则代数式的值为_。练习1：已知，那么。五、利用换元法构造一元二次方程解题例1：已知，则的值为_.例2：解方程 例3：解方程
