1、单元形成性评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(，0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为()Ay21 By21Cx21 Dx21【解析】选A.由题可知：a2b，c，又a2b2c2，所以b21，a24，焦点在x轴上，故椭圆的方程为：y21.2已知抛物线的方程为y2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为()A B C(1，0) D(0，1)【解析】选A.因为抛物线过点(1，4)，所以42a，所以a2，所以抛物线方程为x2y，焦点坐标为.3若方
2、程1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A(1，3) B(1，)C(3，) D(，1)【解析】选B.由已知，m10，即m1.4嫦娥五号月球探测器于2020年11月24日在文昌航空发射场发射.11月28日，嫦娥五号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为()A B C D【解析】选B.如图，设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，月球的半径为R，F为月球的球心，R3 4761 738.由已知，|AF|1001 7381 838，|BF|4001 7382 1
3、38.则2a1 8382 138，解得a1 988，ac2 138，c2 1381 988150，故椭圆的离心率为e.5已知双曲线y21(a0)的右焦点与抛物线y28x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是()Ayx ByxCyx Dyx【解析】选D.因为抛物线y28x的焦点是(2，0)，所以c2，a2413，所以a，所以.所以此双曲线的渐近线方程是yx.6(2021全国乙卷)设B是椭圆C：1(ab0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|2b，则C的离心率的取值范围是()A BC D【解析】选C.B点坐标为(0，b)，由题意知，以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即至多有一个
4、解，消去x得y22bya23b20，令0，即(a22b2)20，得e，所以e.7已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A1 B0 C2 D【解析】选C.设点P(x0，y0)，则x1，由题意得A1(1，0)，F2(2，0)，则(1x0，y0)(2x0，y0)xx02y，由双曲线方程得y3(x1)，故4xx05(x01)，可得当x01时，有最小值2.8已知点P是双曲线C：1(a0，b0)右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率是()A B C2 D【解析】选D.设直线PF1：y(xc)，则与渐近线
5、yx的交点为M，因为M是PF1的中点，利用中点坐标公式，得P，因为点P在双曲线上，所以满足1，整理得c45a2c2，解得e(负值舍去).9若双曲线C：1(a0，b0)的渐近线与抛物线yx2相切，则C的离心率为()A B C2 D【解析】选A.由题意得，联立直线与抛物线得x2kx0，由0得k，即，所以e.10已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为()A B C D5【解析】选C.如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时|PA|最小，最小值为ac2.11P是双曲线1的右支上一点，M，N分别是圆(x5)2y24和(x5)2y21上的点，则
6、|PM|PN|的最大值为()A6 B7 C8 D9【解析】选D.设双曲线的两个焦点分别是F1(5，0)与F2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M，F1三点共线以及P与N，F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|PN|(|PF1|2)(|PF2|1)639.12已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k()A B C D【解析】选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由得k2x2(4k28)x4k20，所以x1x24.因为|FA|x1x12，|FB|x2x22，且|FA|2|
7、FB|，所以x12x22.由得x21，所以B(1，2)，代入yk(x2)，得k.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分请把答案填在题中的横线上)13(2021桂林高二检测)已知某椭圆过点，则椭圆的标准方程为_【解析】设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn)，所以，解得：，所以椭圆的标准方程为1.答案：114已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|F1F2|，则PF1F2的面积等于_.【解析】由1知，a5，b4，所以c3，即F1(3，0)，F2(3，0)，所以|PF2|F1F2|6.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|10，所以|PF1|10
8、64，于是|PF1|h48.答案：815已知双曲线x21的离心率等于，直线ykx2与双曲线的左右两支各有一个交点，则k的取值范围是_【解析】因为双曲线x21的离心率等于，所以a1，c，b1，所以双曲线为x2y21，直线ykx2与双曲线联立可得(1k2)x24kx50，因为直线ykx2与双曲线的左右两支各有一个交点，所以所以1k0)的准线为l，直线l与双曲线1的两条渐近线分别交于A，B两点， ，则p的值为_【解析】抛物线y22px(p0)的准线为l：x，双曲线1的两条渐近线方程为yx，可得A，B，则，可得p.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(
9、10分)给定抛物线C：y24x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点若|FA|2|BF|，求直线l的方程【解析】显然直线l的斜率存在，故可设直线l：yk(x1)，联立消去y得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，故x1，又|FA|2|BF|，所以2，则x112(1x2)由得x2(x21舍去)，所以B，得直线l的斜率为kkBF2，所以直线l的方程为y2(x1).18(12分)已知动点E到点A(2，0)与点B(2，0)的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)过点D(1，0)作直线l与曲线C交于P，Q两点，且.求直
10、线l的方程【解析】(1)设E(x，y)，因为动点E到点A与点B的直线斜率之积为，所以，化为y21，即为点E的轨迹曲线C的方程(2)设P，Q.当lx轴时，l的方程为：x1，代入：y21，解得P，Q.1.不符合题意，舍去当l与x轴不垂直时，设l的方程为：yk，代入：y21，化为x28k2x4k240，0.则x1x2，x1x2，所以x1x2y1y2x1x2k2x1x2k2k2，解得k1.所以直线l的方程为xy10.19(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程(2)若此抛物线方程与直线ykx2相交于不同的两点A，B，且AB中点
11、横坐标为2，求k的值【解析】(1)由题意设抛物线方程为y22px，p0，其准线方程为x，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以46，所以p4，所以此抛物线的方程为y28x.(2)由消去y得k2x2(4k8)x40，设直线ykx2与抛物线相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有解得k1且k0，且x1x24，解得k2或k1(舍去)，所以所求k的值为2.20(12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且经过点M.(1)求椭圆C的方程；(2)与x轴不垂直的直线l经过N(0，)，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围【解析】(
12、1)由已知解得a2，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为ykx，代入y21，整理得(14k2)x28kx40，(8k)216(14k2)0解得k或k，又x1x2，x1x2，所以y1y2k2x1x2k(x1x2)2，因为坐标原点O在以AB为直径的圆内，所以0，所以x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)2 (1k2)k20，解得k，故l斜率的取值范围为. 21(12分)设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：1(ab0)上，A(0，2)，B(2，0)，且.(1)求椭圆C的方程(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45，直线l与椭圆
13、C相交于E，F，求三角形OEF的面积【解析】(1)由题意知，b2，设P(x，y)，A(0，2)，B(2，0)，由，得(2，2)(x，y)，则椭圆方程为1，可得1，即a28.所以椭圆方程为1.(2)c2.所以直线l的方程为yx2，代入椭圆方程1，整理得：3x28x0，则x0或x.所以交点坐标为(0，2)和，所以|EF|，O到直线l的距离d.所以SOEF.22(12分)已知椭圆C：1(ab0)经过点，且焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求F1AB面积S的最大值并求出相应直线l的方程【解析】(1)由已知解得所以椭圆C方程为y21.(2)易知F1(，0)，F2(，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线l的倾斜角为0，显然F1，A，B三点不构成三角形，故直线l的倾斜角不为0，可设直线l的方程为xmy，由消x可得(m24)y22my10.则y1y2 ，y1y2 .所以|y1y2|，所以F1AB的面积S|F1F2|y1y2|44442，当且仅当m213，即m时，等号成立，S取得最大值2，此时直线l的方程为xy0，或xy0.