1、第二章单元质量评估(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在ABC中，已知a2，则bcosCccosB等于(C)A1 B. C2 D4解析：由余弦定理，得bcosCccosBbca2.2已知ABC中，c6，a4，B120，则b等于(B)A76 B2 C27 D2解析：由余弦定理，得b2a2c22accosB76，所以b2.3在ABC中，A60，b1，SABC ，则(B)A. B. C. D2解析：依题意得SABCbcsin60，得c4，由余弦定理得a，由正弦定理得.4已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向
2、量p(ac，b)，q(ba，ca)若pq，则角C的大小为(B)A. B. C. D.解析：pq，(ac)(ca)b(ba)0，即a2b2c2ab，cosC，C.5在ABC中，A60，AC16，面积S220，则BC的长为(D)A20 B75 C51 D49解析：因为SACABsinA16ABsin604AB220，所以AB55.再用余弦定理求得BC49.6在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinBb，则角A等于(D)A. B. C. D.解析：由已知及正弦定理得2sinAsinBsinB，因为sinB0，所以sinA.又A，所以A.7若，则ABC是(C)A等边三角形 B有一内
3、角是30的直角三角形C等腰直角三角形 D有一内角是30的等腰三角形解析：，acosBbsinA，2RsinAcosB2RsinBsinA，又2RsinA0，cosBsinB，B45.同理C45，故A90.8设a，b，c为ABC的三边，且关于x的方程(a2bc)x22x10有两个相等的实数根，则A的度数是(C)A120 B90 C60 D30解析：由题意可知题中方程的判别式4(b2c2)4(a2bc)0，b2c2a2bc，cosA.又0A180，A60.9在锐角三角形ABC中，已知A2C，则的范围是(C)A(0,2) B(，2) C(，) D(，2)解析：2cosC，又ABC，A2C，C，故.1
4、0在ABC中，已知BC5，外接圆半径为5.若，则ABC的周长为(A)A11 B9 C7 D5解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c.由题意，得25，sinA，A60或120.，A60，bccos60，bc11.a2b2c2bc(bc)23bc75，(bc)2108，abc5611.11已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b3，c1，A2B，则a(D)A4 B3 C2 D2解析：A2B，C(AB)3B，sinCsin3B.由正弦定理知，sinB3sin3B，sin3Bsin(2BB)sin2BcosBcos2BsinB2sinBcos2B(12sin2B)sinB2sinB
5、2sin3BsinB2sin3B3sinB4sin3B.把代入，得sinB3(3sinB4sin3B)分析知B，sinB0，sinB，cosB，由，得a6cosB2.12如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(B)A20()n mile/h B20()n mile/hC20()n mile/h D20()n mile/h解析：由题意可知SMN153045，MS20，MNS45(9030)105，MSN1801054530，设货轮每小时航行x n mile，则M
6、Nx，由正弦定理，得，sin105sin(6045)sin60cos45cos60sin45，x20()，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13在ABC中，AC，A45，C75，则BC的长为.解析：由A45，C75，知B60.由正弦定理，得，所以BCAC.14在ABC中，三个内角A，B，C的对边边长分别为a3，b4，c6，则bccosAcacosBabcosC的值为.解析：在ABC中，由余弦定理，得cosA，bccosA，同理accosB，abcosC，原式.15在ABC中，若SABC12，ac48，ca2，则b2或2.解析：由SABCacsi
7、nB得sinB，B60或120.由余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB22248248cosB，b252或148，即b2或2.16在ABC中，D为边BC上一点，BDDC，ADB120，AD2，若ADC的面积为3，则BAC60.解析：ADB120，ADC60，又SADCADDCsinADC2DCDC3，DC22.BDDC，BD1，得BC33.在ABD中，由余弦定理，得AB2AD2BD22ADBDcos12043214(1)6，在ACD中，由余弦定理，得AC2AD2DC22ADDCcos60412848(1)2412，在ABC中，由余弦定理，得cosBAC，BAC60
8、.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题10分)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(abc)(abc)ac.(1)求B；(2)若sinAsinC，求C.解：(1)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cosB，因此B120.(2)由(1)知AC60，所以cos(AC)cosAcosCsinAsinCcosAcosCsinAsinC2sinAsinCcos(AC)2sinAsinC2，故AC30或AC30，因此C15或C45.18(本小题12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin
9、B(tanAtanC)tanAtanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.解：(1)证明：由已知得sinB(sinAcosCcosAsinC)sinAsinC，sinBsin(AC)sinAsinC，则sin2BsinAsinC，再由正弦定理，可得b2ac，a，b，c成等比数列(2)若a1，c2，则b2ac2，cosB，sinB，ABC的面积SacsinB12.19(本小题12分)如图，在平面四边形ABCD中，AD1，CD2，AC.(1)求cosCAD的值；(2)若cosBAD，sinCBA，求BC的长解：(1)在ADC中，由余弦定理，得cosCAD.故由
10、题设知，cosCAD.(2)设BAC，则BADCAD.因为cosCAD，cosBAD，所以sinCAD，sinBAD.于是sinsin(BADCAD)sinBADcosCADcosBADsinCAD.在ABC中，由正弦定理，.故BC3.20(本小题12分)在ABC中，B45，AC，cosC.(1)求BC边的长；(2)求AB边上的中线CD的长解：(1)由cosC，得sinC，sinAsin(18045C)sin(135C)(cosCsinC).由正弦定理，得BCsinA3.(2)由正弦定理，得ABsinC2.BDAB1.由余弦定理，得CD .21(本小题12分)如图，有一直径为8 m的半圆形空地
11、，现计划种植甲、乙两种果树，已知单位面积种植甲种果树的经济价值是种植乙种果树经济价值的5倍，但种植甲果树需要有辅助光照半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲果树生长的需要，该光源照射范围是ECF，点E，F在直径AB上，且ABC.(1)若CE m，求AE的长；(2)设ACE，求该空地产生最大经济价值时种植甲种果树的面积解：(1)由已知，点C在以AB为直径的半圆周上，所以ACB为直角三角形，因为AB8，ABC，所以A，AC4，在ACE中，CE2AC2AE22ACAEcosA，且CE，所以1316AE24AE，解得AE1或AE3.(2)因为ACB，ECF，所以ACE，所以AFCAACF，在ACF中，.
12、所以CF.在ACE中，所以CE.若要产生最大经济价值，则ECF的面积最大SECFCECFsinECF，因为，所以0sin1，所以当时，SECF取得最大值，为4 m2，即种植甲种果树的面积为4 m2时，该空地产生的经济价值最大22(本小题12分)在ABC中，AD是BC边的中线，AB2AC2ABACBC2，且ABC的面积为.(1)求BAC的大小及的值；(2)若AB4，求AD的长解：(1)在ABC中，由AB2AC2ABACBC2，可得cosBAC，故BAC120.因为SABCABACsinBACABACsin120，即ABAC，所以ABAC4.所以|cos120|42.(2)由AB4，ABAC4，得AC1.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC16124121，即BC，所以cosABC，在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcosABD1624，得AD.