1、章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()AB(1，3,2)C DCa(1，3,2)22在正方体ABCDA1B1C1D1中，xy()，则()Ax1，y Bx1，yCx，y1 Dx1，yD()，x1，y应选A3已知A(2，4，1)，B(1,5,1)，C(3，4,1)，D(0,0,0)，令a，b，则ab为()A(5，9,2) B(5,9，2)C(5,9，2) D(5，9，2)Ba(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5
2、,9，2)4已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是()ABC DC设P(x，y，z)，则(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，即P由两点间距离公式可得|5在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论不正确的是()A B0C0 D0D如图，故A，B，C选项均正确6设ABCD的对角线AC和BD交于E，P为空间任意一点，如图所示，若x，则x()A2 B3C4 D5CE为AC，BD的中点，由中点公式得()，()4从而x47已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A B C D
3、Da，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以解得3x2y8若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x()A3 B3C11 D3或11A因为ab(x,4,5)(1，2,2)x810x2，且a与b的夹角的余弦值为，所以，解得x3或11(舍去)，故选A9若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面的法向量为，且l，则m()A2 B3 C4 D5Cl，直线l的方向向量平行于平面的法向量m410直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1
4、所成角为()A30 B45 C60 D90C建立如图所示的空间直角坐标系，设AB1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，60，即异面直线BA1与AC1所成角为6011已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()A BC DA以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA12AB2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面BDC1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有
5、令y2，得平面BDC1的一个法向量为n(2，2,1)设CD与平面BDC1所成的角为，则sin |cosn，|12在矩形ABCD中，AB3，AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角ABDP的大小为()A30 B45 C60 D75A如图所示，建立空间直角坐标系，则，(3,4,0)设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则得即令x1，则n又n1为平面ABCD的一个法向量，cosn1，n，所求二面角为30二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知正方体ABCDABCD，则下列三个式子中：；其中正确的有_，正确；显然正确；()()0，错误14若向量m(1,
6、2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，则m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为_或cosm，n二面角的余弦值为或15如图正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是平面A1B1C1D1的中心，则BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为_建立坐标系如图，则B(1,1,0)，O，(1,0,1)是平面ABC1D1的一个法向量又，BO与平面ABC1D1所成角的正弦值为|cos，|16设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记，当APC为钝角时，的取值范围是_建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，D
7、1(0,0,1)，设P(x，y，z)，则(x，y，z1)，(1,1，1)，由，得(x，y，z1)(1,1，1)，即P(，1)，(1，1)，(，1，1)，由0得2(1)(1)20，解得1由题意知与所成的角不可能为，故0)，由已知，60，由|cos，可得2m解得m，所以因为cos，所以，45，即DP与CC所成的角为45(2)平面AADD的一个法向量是(0,1,0)，因为cos，所以，60，可得DP与平面AADD所成的角为3020(本小题满分12分)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DEED1，BF2FB1(1)证明：点C1在平面AEF内；(2)若AB2
8、，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值解设ABa，ADb，AA1c，如图，以C1为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系C1xyz(1)证明：连接C1F，则C1(0,0,0)，A(a，b，c)，E，F，得，因此EAC1F，即A，E，F，C1四点共面，所以点C1在平面AEF内(2)由已知得A(2,1,3)，E(2,0,2)，F(0,1,1)，A1(2,1,0)，(0，1，1)，(2,0，2)，(0，1，2)，(2,0,1)设n1(x，y，z)为平面AEF的法向量，则即可取n1(1，1,1)设n2为平面A1EF的法向量，则同理可取n2因为cosn1，n2，所以二面角AEFA1的正
9、弦值为21(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，)，(2，0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)证明：当1时，(1,0
10、,1)，因为(2,0,2)所以2，可知BC1FP，而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ(2)设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，由得于是可取n(，1)，同理可得平面PQMN的一个法向量为m(2,2，1)，若存在，使得平面EFPQ与平面PQMN所在的二面角为直二面角，则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1，故存在1，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角22(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二
11、面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值解(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1AC因为平面ABC平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1平面ABC(2)由(1)知AA1AC，AA1AB由题意知AB3，BC5，AC4，所以ABAC如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以平面A1BC1的一个法向量为n(0,4,3)同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m(3,4,0)所以cosn，m由题意知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为(3)证明：假设D(x1，y1，z1)是线段BC1上一点，且(0,1)，所以(x1，y13，z1)(4，3,4)解得x14，y133，z14，所以(4，33，4)由0，得9250，解得因为0,1，所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B此时- 14 -