1、第2课时圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(易错点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点、难点)通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.1圆的一般方程的定义(1)当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为(2)当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示点(3)当D2E24F0.2点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在圆外xyDx0Ey0F0点M在圆上xyDx
2、0Ey0F0点M在圆内xyDx0Ey0F0.()答案(1)(2)(3)(4)2圆x2y22x4y30化为标准形式为_(x1)2(y2)22由x2y22x4y30，得(x1)2(y2)22.故圆的标准形式为(x1)2(y2)22.3方程x2y24x2y5m0表示圆，则m的取值范围是_(，1)由题意可知，16(2)220m0，解得m1.4点A(4，1)在圆x2y22y190_(填“内”，“外”“上”)内当x4，y1时，x2y22y194212211940，故点A在圆内二元二次方程的曲线与圆的关系【例1】下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径(1)2x2y27x50；(2)x22xyy26x7
3、y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y24y0；(5)ax2ay24(a1)x4y0(a0)思路探究：根据二元二次方程表示圆的条件判断解(1)AB，不能表示圆(2)方程中含有xy项，不能表示圆(3)D2E24F(2)2(4)24100，原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r.法二：a0，原方程可化为x2y2xy0.D2E24F0，原方程表示圆，此时圆心坐标为，半径r.形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义判断D2E24F是否为正若D2E24F0，则方程表示圆，否则不表示圆(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准
4、方程的特征，观察是否可以表示圆1讨论方程x2y22ay10(aR)表示曲线的形状解当a1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，a)，半径为的圆；当a1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，a)；当1a0)此圆过A，B，C三点，解得圆的方程为x2y24x4y20.法二：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则，得解得a2，b2.r210.圆的方程为(x2)2(y2)210.即圆的一般式方程为x2y24x4y20.法三：AB的中垂线方程为y1(x0)，BC的中垂线方程为y2(x2)，联立解得圆心坐标为(2，2)设圆的半径为r，则r2(12)2(32)210，圆的方程为(x2)2(y2)210，即圆
5、的一般式方程为x2y24x4y20.法四：由于kAB2，kAC，kABkAC1，ABAC，ABC是以A为直角的直角三角形，外接圆圆心为BC的中点，即(2，2)，半径r|BC|，圆的方程为(x2)2(y2)210.即圆的一般式方程为x2y24x4y20.(2)M(1，2)，12224142210，点N(4，5)在圆外Q(2，3)，22324243270，点Q(2，3)在圆外本题法一、法二中采用了待定系数法用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直
6、接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程圆的标准方程和一般方程有如下关系：(1)由圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显(2)由圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显(3)2已知圆C：x2y2DxEy30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程解圆心C，圆心在直线xy10上，10，即DE2
7、，又r，D2E220，由可得或又圆心在第二象限，0，圆的方程为x2y22x4y30.轨迹问题探究问题1若|AB|2，C为AB的中点，动点P满足|PC|2，那么P点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？提示以AB所在直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，则C(0，0)，P点的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆的方程为x2y24.2已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线提示设点M(x，y)是曲线上任意一点，根据题意，有：2.两边平方，得x2(y2)24.因为曲线在x轴上方，y0，所以曲线方程应是x2(y2)24(y0)曲线是圆心为(0，2)，半
8、径为2的圆在x轴上方的部分【例3】(1)点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点轨迹方程是_(2)已知点A(3，0)，B(3，0)，动点P满足PA2PB.若点P的轨迹为曲线C，则此曲线的方程为_思路探究：(1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可(2)设出点P的坐标，利用PA2PB得点P坐标的关系，化简即可(1)(x2)2(y1)21(2)(x5)2y216(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，它与点P连线的中点坐标为(x，y)，则x，y，所以x12x4，y12y2，又(x1，y1)在圆x2y24上，所以(2x4)2(2y2)24，即(x2)2
9、(y1)21.(2)设点P的坐标为(x，y)，则2.化简可得(x5)2y216，此即为所求求与圆有关的轨迹问题常用的方法(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式如上例(2)(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程如上例(1)3已知圆的方程为x2y26x6y140，求过点A(3，5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程解设所求轨迹上任一点M(x，
10、y)，圆的方程可化为(x3)2(y3)24，圆心C(3，3)CMAM，kCMkAM1，即1，即x2(y1)225.所求轨迹方程为x2(y1)225.1本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题2本节课要重点掌握的规律方法(1)二元二次方程表示圆的判定方法(2)应用待定系数法求圆的方程的方法(3)代入法求轨迹方程的一般步骤3本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(4，6
11、)B(2，3)C(4，6)D(2，3)Dx02，y03，故圆心坐标为(2，3)2经过三点A(1，1)，B(1，4)，C(4，2)的圆的方程为_x2y27x3y20设圆的一般方程为x2y2DxEyF0.将A，B，C三点代入，整理得方程组解得所求圆的方程为x2y27x3y20.3方程x2y22ax2bya2b20表示的图形为_(a，b)原方程可化为：(xa)2(yb)20.所以它表示点(a，b)4等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？解设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意，得ACAB.由两点间距离公式，得，整理得(x4)2(y2)210.这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点因为点B，C不能重合，所以点C不能为(3，5)又因为点B，C不能为一直径的两个端点，所以4，且2，即点C不能为(5，1)故端点C的轨迹方程是(x4)2(y2)210(除去点(3，5)和(5，1)，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，1)两点
