1、数学模型-三垂直模型 一，三垂直与勾股定理 模型分析：赵爽弦图：设直角三角形的三边中较短的直角边为 a，另一直角边为 b，斜边为 c四个直角三角形面积=2ab，中心正方形面积=（b-a）=b-2ab+a大正方形面积=c=a+b毕达哥拉斯内弦图 大正方形的面积=（a+b）2大正方形的面积=四个直角三角形+中心正方形面积=2ab+c2根据等面积法得（a+b）2=2ab+c2c=a+b，即 c=a+b总统证明勾股定理：将毕达哥拉斯的图形平分即可得到总统证法 规律总结：弦图能够解析完全平方定理，如此勾股定理，完全平方和弦图有机结合在一起，体现了数形结合的思想 实例精炼：1.汉代数学家赵爽为了证明勾股定
2、理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3若 S1S2S310，则 S2的值为()A.113B.103C.3D.83【答案】B【解析】【分析】根据图形的特征得出四边形 MNKT 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y，从而用 x，y 表示出 S1，S2，S3，得出答案即可【详解】解：将四边形 MNKT 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为 y 正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1
3、，S2，S3，S1S2S310，S18yx，S24yx，S3x,S1S2S33x12y10 x4y103,S2x4y103 故选 B.【点睛】此题主要考查了图形面积关系，根据已知得出用 x，y 表示出 S1，S2，S3，再利用 S1+S2+S3=10 求出是解决问题的关键 2.如图，“赵爽弦图”由 4 个全等的直角三角形所围成，在RtABC中，ACb，BCa，90ACB，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，求2()ab的值【答案】2()=79ab【解析】【分析】根据正方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出2()5ba，237ab，然后根据完全平方公式的变形即可求出结论【详解】解：
4、小正方形面积=2()5ba4 个小直角三角形的面积=142 ab425 237ab 2()ab2()4baab52 37 79【点睛】此题考查的是全等三角形的性质和完全平方公式的变形，掌握全等三角形的性质、正方形的面积公式、三角形的面积公式和完全平方公式的变形是解决此题的关键 3.（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 a，较小的直角边长都为 b，斜边长都为 c），大正方形的面积可以表示为 c2，也可以表示为 4 12 ab(ab)2，所以 4 12 ab(ab)2=c
5、2，即a2b2=c2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 a，b，斜边长为 c，则 a2b2=c2图为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图推导勾股定理(2)试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形 ABC 的两直角边长为 3 和 4，则斜边上的高为(3)试构造一个图形，使它的面积能够解释(a2b)2=a24ab4b2，画在上面的网格中，并标出字母 a，b 所表示的线段【答案】（1）见解析；（2）125；（3）见解析【解析】【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，
6、利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形【详解】（1）S 梯形 ABCD=1()()2 ab ab221122aabb，S 梯形 ABCD=211222abc 12 a2ab 12 b2=2 12 ab 12 c2即 a2b2=c2；（2）直角三角形的两直角边分别为 3，4，斜边为2234=5，设斜边上的高为 h，直角三角形的面积为 12 34 12 5h，h125故答案为125；（3）图形面积为：（a2b）2a24ab4b2，边长为 a2b，由此可画出的图形如下：【点睛】此题考查了勾股定理的证明，勾
7、股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果 4.【阅读理解】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠她反映了直角三角形的三边关系即直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长的平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b，斜边为c，那么222abc 迄今为止，全世界发现勾股定理的证明方法约有 400 种如：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”（如图 1），利用三个直角三角形拼成一个直角梯形，于是直角梯形的面积可以表示为 212 ab或者是211222abc，因此得到221112222
8、ababc，运用乘法公式展开整理得到222abc 【尝试探究】（1）其实我国古人早就运用各种方法证明勾股定理，如图 2 用四个直角三角形拼成正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形直角边分别为 a、b，斜边长为c，请你根据古人的拼图完成证明（2）如图 3 是 2002 年在中国北京召开的国际数学家大会会标，利用此图也能证明勾股定理，其中四个直角三角形直角边分别为a、b，斜边长为c，请你帮助完成【实践应用】（3）已知 a、b、c 为RtABC的三边cba，试比较代数式2222a ca b与44cb的大小关系【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）代数式2222a ca b与44cb的大小
9、关系是相等【解析】【分析】尝试探究（1）根据图形面积的不同求法即可得到结论；（2）根据图形面积的不同求法即可得到结论；实践应用（3）分解因式，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：尝试探究（1）图中大正方形的面积可表示为2()ab，也可表示为214()2cab，即221()4()2abcab，222abc；（2）图中大正方形的面积可表示为2c，也可表示为21()4()2baab，即221()4()2baabc，222abc；实践应用（3）2222222()a ca ba cb，442222222()()()cbcbcbcb a，代数式2222a ca b与44cb的大小关系是相等【点睛】本题考查
10、了勾股定理的证明，此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 5.我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼制成一个大正方形（如下图），设勾 a=3，弦 c=5，则小正方形 ABCD 的面积是_【答案】1【解析】【分析】根据勾股定理可得股 b=4，则小正方形 ABCD 的边长为 b-a，最后根据正方形面积公式计算即可【详解】解：勾 a=3，弦 c=5股 b=2222534ca小正方形 ABCD 的边长为 b-a=4-3=1小正方形 ABCD 的面积是 1 故答案为 1【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理解直角三角形是解答本题的关
11、键 6.把图 1 中长和宽分别为 3 和 2 的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图 2 所示的正方形，则图 2 中小正方形 ABCD的面积为_【答案】1【解析】【分析】根据线段的和差关系可求图 2 中小正方形 ABCD 的边长，再根据正方形面积公式即可求解【详解】解：图 2 小正方形 ABCD 的边长=321，图 2 小正方形 ABCD 的面积=111,故答案为：1【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等图形，关键是求出图 2 中小正方形 ABCD的边长 二，三垂直与全等和相似 模型分析：规律总结：由同角的余角相等得到1=C，2=A，结合边长信息即可证明
12、全等 补充：射影定理 直角三角形射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 公式：如图，RtABC 中，ABC=90，BD 是斜边 AC 上的高，则有射影定理如下：（1）（BD）=ADDC，（2）（AB）=ADAC，（3）（BC）=CDCA 直角三角形射影定理的证明在BAD 与BCD 中，ABD+CBD=90，且CBD+C=90，ABD=C，又BDA=BDC=90BADCBD ADBDBDCD即 BD=ADDC其余同理可得可证 有射影定理如下：AB=ADAC，BC=CDCA两式相加得：AB+BC=（ADAC）+（CD
13、AC）=（AD+CD）AC=AC 规律总结：由三垂直得到射影定理，能够得到边长平方与斜边之间的关系，是解决边长数量关系的常用方法 实例精炼：7.如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CEa，HGb，则斜边 BD的长是（）A.ab B.a b C.222ab D.222ab【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的性质，设 CD=AH=x，DE=AG=BC=y，由CE a，HGb建立方程组，求解即可得出,22ababCDxBCy-+=，然后借助勾股定理即可表示 BD.【详解】解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设 CD=AH=x，DE=AG=BC=y，CEa，HGb，xyayxb 解得
14、：22abxaby ，故,22ababCDBC-+=在 Rt BCD中，根据勾股定理得：2222222222abababBDBCCD，222abBD.故选:C.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含 a，b 的代数式表示 CD 和 BC 是解决此题的关键.8.已知 Rt ABC 中，BAC=90，AB=AC，点 E 为 ABC 内一点，连接 AE，CE，CEAE，过点 B 作 BDAE，交 AE 的延长线于 D（1）如图 1，求证 BD=AE；（2）如图 2，点 H 为 BC 中点，分别连接 EH，DH，求EDH 的度数；（3）如图 3，在（2）的条件下，点 M 为 C
15、H 上的一点，连接 EM，点 F 为 EM 的中点，连接 FH，过点 D 作 DGFH，交 FH 的延长线于点 G，若 GH：FH=6：5，FHM的面积为 30，EHB=BHG，求线段 EH 的长【答案】（1）见解析；（2）EDH45；（3）EH10 2 【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定得出CAEABD，进而利用全等三角形的性质得出 AEBD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出AEHBDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点 M 作 MSFH 于点 S，过点 E 作 ERFH，交 HF 的延长线于点 R，过点E 作 ETBC，根据全等三角形判定和性质解答即可【详解】证明：
16、（1）CEAE，BDAE，AECADB90，BAC90，ACE+CAECAE+BAD90，ACEBAD，在CAE 与ABD 中 ACEBADAECADBACAB CAEABD（AAS），AEBD；（2）连接 AHABAC，BHCH，BAH 11904522BAC ，AHB90，ABHBAH45，AHBH，EAHBAHBAD45BAD，DBH180ADBBADABH45BAD，EAHDBH，在AEH 与BDH 中 AEBDEAHDBHAHBH AEHBDH（SAS），EHDH，AHEBHD，AHE+EHBBHD+EHB90 即EHD90，EDHDEH18090452；（3）过点 M 作 MSFH
17、 于点 S，过点 E 作 ERFH，交 HF 的延长线于点 R，过点E 作 ETBC，交 HR 的延长线于点 T DGFH，ERFH，DGHERH90，HDG+DHG90 DHE90，EHR+DHG90，HDGHER在DHG 与HER 中 HDGHERDGHERHDHEH DHGHER（AAS），HGER，ETBC，ETFBHG，EHBHET，ETFFHM，EHBBHG，HETETF，HEHT，在EFT 与MFH 中 ETFFHMEFTMFHEFFM ，EFTMFH（AAS），HFFT，22HF MSFT ER，ERMS，HGERMS，设 GH6k，FH5k，则 HGERMS6k，563022
18、HF MSkk，k 2，FH5 2，HEHT2HF10 2 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题 9.在ABC 中，ACB90，ACBC，直线 MN 经过点 C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E(1)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：ADCCEB；(2)当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，试问 DE、AD、BE 的等量关系?并说明理由【答案】（1）见解析；（2）DE=AD-BE，理由见解析【解析】【分 析】（1）由 已 知 推 出 ADC=BEC=90，因 为 AC
19、D+BCE=90，DAC+ACD=90，推出DAC=BCE，根据 AAS 即可得到答案；（2）与（1）证法类似可证出ACD=EBC，能推出ADCCEB，得到 AD=CE，CD=BE，即可得到答案【详解】解：（1）证明：如图 1，ADDE，BEDE，ADC=BEC=90，ACB=90，ACD+BCE=90，DAC+ACD=90，DAC=BCE，在ADC 和CEB 中，CDABECDACECBACBC ，ADCCEB（AAS）；（2）结论：DE=AD-BE理由：如图 2，BEEC，ADCE，ADC=BEC=90，EBC+ECB=90，ACB=90，ECB+ACE=90，ACD=EBC，在ADC 和
20、CEB 中，ACDCBEADCBECACBC ，ADCCEB（AAS），AD=CE，CD=BE，DE=EC-CD=AD-BE【点睛】本题主要考查了余角的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，能根据已知证明ACDCBE 是解此题的关键，题型较好，综合性比较强 10.在 Rt AOB中，AOB90(1)如图，以点 A 为直角顶点，AB 为腰在 AB 右侧作等腰 Rt ABC，过点C 作CDOA交 OA 的延长线于点 D 求证：AAOBCD(2)如图，以 AB 为底边在 AB 左侧作等腰 Rt ABC，连接OC，求AOC的度数(3)如图，Rt AOB中，,OAOB ODAB,垂足为点 D，以OB 为
21、边在OB 左侧作等边 OBC,连接 AC 交OD 于 E，3AE,2OE,求 AC 的长【答案】（1）见解析；（2）135AOC；（3）8【解析】【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得AAOBCD；（2）过点 C 作 CMCO 交 BO 于 M，AC 与 BO 交于点 N，利用旋转模型证明 BCM()ACO ASA，由外角的性质计算即可；（3）在 CE 上截取一点 H，使 CH=AE，连接 OH，利用等腰直角AOB，等边BOC证得 OAE()OCH SAS，通过等角代换证明 HOE为等边三角形，由线段和计算即可得到结果【详解】（1）BAC=AOB=90，BAO+DAC=BAO+ABO=
22、90，DAC=ABO，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，在AOB 和CDA 中，ABODACAOBCDAABAC AOBCDA（AAS）（2）如图，过点 C 作 CMCO 交 BO 于 M，AC 与 BO 交于点 N，90MCOACB，BCMACO，90BCAAOB，BNCANO，CBMOAC，AC=BC，BCM()ACO ASA，CMCO，45COMCMO，9045135AOC，故答案为：135（3）如图，在 CE 上截取一点 H，使 CH=AE，连接 OH，AOB 是等腰直角三角形，BOC 是等边三角形，所以 AOBOCO，OAEOCH，OAE()OCH SAS，OHOE，AE=CH=
23、3，AOE=COH，ODAB，AOB=90，45AOEBOE，45COH，BOH=BOC-COH=60-45=15，154560HOE，HOE为等边三角形，2HEEO，3238ACCHHEAE，故答案为：8【点睛】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键 11.如图 1，在 ABC中，90ACB，ACBC，直线 MN 经过点C，且 AD MN于点 D，BEMN于点 E 易得 DEADBE（不需要证明）（1）当直线 MN 绕点C 旋转到图 2 的位置时，其余条件不变
24、，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时 DEADBE、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线 MN 绕点C 旋转到图 3 的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DEADBE、之间的数量关系（不需要证明）【答案】(1)不成立，DE=AD-BE，理由见解析；(2)DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE、AD、BE 之间的数量关系是 DE=AD-BE由垂直的性质可得到CAD=BCE，证得ACDCBE，得到 AD=CE，CD=BE，即有 DE=AD-BE；(2)DE、AD、BE 之间的关系是 DE=BE-AD证明的方法与(1)一样【详解】(1)不成立DE、AD、BE
25、 之间的数量关系是 DE=AD-BE，理由如下：如图，ACB=90，BECE，ADCE，ACCB，ACD+CAD=90，又ACD+BCE=90，CAD=BCE，在ACD 和CBE 中，90ADCCEBCADBCEACCB ，ACDCBE(AAS)，AD=CE，CD=BE，DE=CE-CD=AD-BE；(2)结论：DE=BE-AD ACB=90，BECE，ADCE，ACCB，ACD+CAD=90，又ACD+BCE=90，CAD=BCE，在ACD 和CBE 中，90ADCCEBCADBCEACCB ，ADCCEB(AAS)，AD=CE，DC=BE，DE=CD-CE=BE-AD【点睛】本题考查了旋转
26、的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角 12.如图，RtACB 中，ACB90，ACBC，E 点为射线 CB 上一动点，连结AE，作 AFAE 且 AFAE（1）如图 1，过 F 点作 FDAC 交 AC 于 D 点，求证：FDBC；（2）如图 2，连结 BF 交 AC 于 G 点，若 AG3，CG1，求证：E 点为 BC 中点；（3）当 E 点在射线 CB 上，连结 BF 与直线 AC 交于 G 点，若 BC4，BE3，则 AGCG （直接写出结果）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）113 或 5
27、3 【解析】【分析】(1)证明AFDEAC，根据全等三角形的性质得到 DF=AC，等量代换证明结论；(2)作 FDAC 于 D，证明FDGBCG，得到 DG=CG，求出 CE，CB 的长，得到答案；(3)过 F 作 FDAG 的延长线交于点 D，根据全等三角形的性质得到 CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可【详解】(1)FDAC，FDA=90，DFA+DAF=90，CAE+DAF=90，DFA=CAE，在AFD 和EAC 中，AFDEACADFECAAFAE ，AFDEAC(AAS)，DF=AC，AC=BC，FD=BC；(2)作 FDAC 于 D，由(1)得，FD=AC=BC，AD=CE，
28、在FDG 和BCG 中，90FDGBCGFGDBGCFDBC ，FDGBCG(AAS)，DG=CG=1，AD=2，CE=2，BC=AC=AG+CG=4，E 点为 BC 中点；(3)当点 E 在 CB 的延长线上时，过 F 作 FDAG 的延长线交于点 D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由(1)(2)知：ADFECA，GDFGCB，CG=GD，AD=CE=7，741.52CGDGADAC，4 1.5111.53AGACCGCGCG，当点 E 在线段 BC 上时，过 F 作 FDAG 的延长线交于点 D，BC=AC=4，CE=CB-BE=1，由(1)(2)知：ADFECA，GDFGCB，C
29、G=GD，AD=CE=1，4 11.52CGDGACAD，1 1.551.53AGADDGCGCG，故答案为：113 或 53 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，本题中求证ADFECA、GDFGCB 是解题的关键 三，三垂直与直角坐标系 模型分析：规律总结：在坐标系中，一般利用点的坐标的几何含义作垂线，构建三垂直模型进行解题具体考题中一般结合面积进行展开，常见的有一次函数与反比例函数的面积，二次函数中面积得最值等 实例精炼：13.如图，在 ABC中，90ABC，ABBC，点 A、B 分别是 x 轴和 y 轴上的一动点，点C 的横坐标为 3，求点 B
30、的坐标.【答案】B（0，-3）【解析】【分析】如图，作 CDy 轴于 M，则 CD=3，证明BCDABO(AAS)即可求得答案.【详解】如图，作 CDy 轴于 M，则 CD=3，ABC=AOB=90，CBD+ABO=90，ABO+OAB=90，CBD=BAO，又BDCAOB=90，BCAB，BCDABO(AAS)，OB=CD=3，B(0，-3)【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标，正确添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.14.如图所示，1,0A，0,3B，以 AB 为边作正方形 ABCD，求C，D 的坐标.【答案】3,4C；4,1D 【解析】【分析】本
31、题有 A、B 两个点都在坐标轴上，且正方形在坐标轴的同侧（基本上在第二象限），故只须过C，D 两点分别向坐标轴作垂线即可.作 CEy 轴于 E，DFx轴于 F，证明 BCEABO，得出对应边相等 BE=OA=1，CE=BO=3，同理得出DF=OA=1，AF=BO=3，再求出 OE、OF，即可得出结果【详解】解：作 CEy 轴于 E，DFx 轴于 F，如图所示：则CEB=AFD=90，1+3=90，四边形 ABCD 是正方形，ABC=90，BC=AB，2+3=90，1=2，在 BCE 和 ABO 中，1290CEBBOABCAB，BCEABO（AAS），BE=OA=1，CE=BO=3，同理得：D
32、F=OA=1，AF=BO=3，OE=4，OF=4，C（-3，4），D（-4，1）【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质以及全等三角形的判定与性质；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键当正方形的部分点在坐标轴上，且整个正方形在坐标轴的同侧时，往往过另外的点向坐标轴作垂线，从而得到“形外三垂直”的基本图形.15.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 在 x 轴上，ABAC，BAC90，且 A（2，0）、B（3，3），BC 交 y 轴于 M，（1）求点 C 的坐标；（2）连接 AM，求AMB 的面积；（3）在 x 轴上有一动点 P，当 PB+PM 的值最小时，求
33、此时 P 的坐标【答案】（1）C 的坐标是（1，1）；（2）154；（3）点 P 的坐标为（1，0）【解析】【分析】（1）作 CDx 轴于 D，BEx 轴于 E，证明 CDA AEB，根据全等三角形的性质得到 CDAE，ADBE，求出点 C 的坐标；（2）利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，得到 OM 的长，根据梯形的面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案；（3）根据轴对称的最短路径问题作出点 P，求出直线 BM 的解析式，根据 x 轴上点的坐标特征求出点 P 的坐标【详解】解：（1）如图，作 CDx 轴于 D，BEx 轴于 E，CAD+DCA90，BAC90，CAD+BAE90，BAE
34、ACD，在 CDA 和AEB中，ACDBAEADCBEACAAB ，CDA AEB（AAS），CDAE，ADBE，A（2，0）、B（3，3），OA2，OEBE3，CDAE1，ODADOA1，C 的坐标是（1，1）；（2）如图，作 BEx 轴于 E，设直线 BC 的解析式为 ykx+b，B 点的坐标为（3，3），C 点的坐标是（1，1），331kbkb，解得，1232kb ，直线 BC 的解析式为 y 12 x+32，当 x0 时，y 32，OM 32，AMB 的面积梯形 MOEB 的面积 AOM 的面积AEB的面积 12（32+3）3 12 2 32 12 13154；（3）如图，作 M 关于
35、 x 轴的对称点 M（0，32），连接 B M，交 x 轴于点 P，此时 PB+PM=PB+P M=B M 的值最小，设直线 B M 的解析式为 ymx+n，则3332mnn ，解得，3232mn ，直线 B M 的解析式为 y 32 x 32，点 P 在 x 轴上，当 y0 时，x1，点 P 的坐标为（1，0）【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求一次函数解析式和求两线段和的最小值，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、利用待定系数法求一次函数解析式和轴对称的最短路径问题是解决此题的关键 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴正半轴于点A（
36、1，0）和点 B，交 y轴于点C （1）如图 1，直线3yx 经过点 B、点C，求抛物线的解析式；（2）如图 2，点 E 为该抛物线223yxnx的顶点，过点C 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 D，该抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点 P，当 FPEP时，求 P点的纵坐标（3）如图 3，在（1）（2）的结论下，抛物线对称轴右侧的抛物线上有一点G，作GHx轴于点 H，延长 EP 交GH 于 K，当3GKPK时，求G 点的坐标【答案】（1）243yxx；（2）点 P 的纵坐标为 2；（3）G 点的坐标为（22 3，11）【解析】【分析】（1）由直线的解析式，先求出点 B、C 的坐标，结合点 A
37、的坐标，利用待定系数法即可得到答案；（2）把点 A 代入，求出 n 的值，然后得到点 C 和点 E 的坐标，然后求出点 F 的坐标，设点 P 为（x，233xx），由 FPEP，即可求出点 P 的横坐标，即可求出点 P 的纵坐标；（3）过点 P 作 PIGH 于点 I，先求出直线 PE 的解析式，得到 PK=2PI，然后设点G 为（m，243mm），表示出 GK 的长度，结合3GKPK，得到关于 m 的一元二次方程，解方程求出 m 的值，即可得到答案【详解】解：（1）3yx 经过点 B、点C，令0y，3x，令0 x，3y ，点 B 为（3，0），点 C 为（0，3），设抛物线的解析式为2yax
38、bxc，把点 A、B、C，三点代入解析式，得：09303abcabcc，解得：143abc ，243yxx；（2）点 A（1，0）在抛物线223yxnx图像上，则 1 230n，2n，2243(2)1yxxx，顶点 E 为（2，1），令 x=0，则3y ，点 C 为（0，3），EF 垂直平分 CD，点 D 的坐标为（4，3），点 F 的坐标为（2，3），点 P 在抛物线243yxx上，则设点 P 为（x，243xx），又E 为（2，1），F 为（2，3），2244(2)222EPxxxkxxx，24(4)22FPxxx xkxx，FPEP，1EPFPkk ，(4)(2)12x xxx，解得：2
39、3x，点 P 在对称轴右侧，则2x，点 P 的横坐标为23x，点 P 的纵坐标为：22243(2)1(232)12yxxx ；（3）如图：过点 P 作 PIGH 于点 I，点 E（2，1），点 P 为（23，2），可求出直线 PE 的解析式为：31 2 3yx，KPI=60，PIGH，KIP=90，PKI=30，PK=2PI，点 G 在抛物线243yxx图像上，则设点 G 为（m，243mm），点 K 的坐标为（m，31 2 3m ）GK=2243(313)4342 3mmmmmm ；第 P 的坐标为（23，2），点 I 的坐标为（m，23），PI=23m，PK=242 3m，3GKPK，24
40、342 33(242 3)mmmm ，解得：122 3m，223m，当23m 时，点 G 与点 P、点 K 重合，0GKPK；不符合题意，舍去；点 G 的横坐标为22 3；点 G 的纵坐标为：2(22 3)4(22 3)3 11y ，点 G 的坐标为（22 3，11）【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的性质，以及一次函数的性质，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质，运用数形结合的思想进行解题 17.如图，直线334yx 与 x 轴、y 轴分别交于 A B、两点，OMAB于点 M，点 P 为直线l 上不与点 A B、重合的一
41、个动点.(1)求线段OM 的长；(2)当BOP的面积是 6 时，求点 P 的坐标；(3)在 y 轴上是否存在点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与 OMP 全等，若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标，否则，说明理由.【答案】(1)125；(2)(-4，6)；(3)(125，245)或(125，65)或(365，125)或(45，125)【解析】【分析】(1)先求得点 A、B 的坐标，可求得 OA、OB、AB 的长，利用面积法即可求得 OM 的长；(2)先画图，确定BOP 面积可以 BO 为底，P 到 y 轴距离为高求得 P 到 y 轴距离，再分类讨论求得答案；(3)分OMPPQO 与
42、OMPOQP 两种情况讨论，结合图象分析即可求解【详解】(1)对于直线334yx，令0 x，则3y，令0y，则4x，点 A、B 的坐标分别是(4，0)，(0，3)，OA=4，OB=3，AB=2222435OAOB，1122OA OBAB OM，3 41255OM；(2)过 P 作 PCy 轴于 C，如图 1，12BOPSOBPC=6，PC=4，点 P 的横坐标为 4 或-4，点 P 为直线l 上的一个动点且不与 A、B 重合，横坐标为 4 时，与 A 重合，不合题意，横坐标为-4 时，纵坐标为：34364，当点 P 坐标为(-4，6)时，BOP 的面积是 6；(3)存在，理由如下：当OMPPQ
43、O 时，如图 2 和图 3，由(1)得125OM，PQ=OM=125，即 P 点横坐标为125或125，纵坐标为：312243455 或31263455，此时点 P 的坐标为(125，245)，(125，65)；当OMPOQP 时，如图 4 和图 5，OQ=OM=125，即即点 P、点 Q 纵坐标为 125或125，由312345x，解得：365x；由312345x，解得：45x；此时点 P 的坐标为(365，125)，(45，125)；综上所述，符合条件的点 P 的坐标为(125，245)或(125，65)或(365，125)或(45，125)【点睛】本题是一次函数与几何的综合题，考查了三角
44、形及全等三角形的性质，体现了数形结合思想和分类讨论思想解题关键是通过画图进行分类讨论 18.如图,直线 AB 与坐标轴分别交于点 A、点 B,且 OA、OB 的长分别为方程 x26x+8=0 的两个根（OAOB）,点 C 在 y 轴上,且 OAAC=25,直线 CD 垂直于直线 AB 于点 P,交 x 轴于点 D.（1）求出点 A、点 B 的坐标.（2）请求出直线 CD 的解析式.（3）若点M为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点M,使以点B、P、D、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点 M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】（1）A(0,2)，B(4,0);（
45、2）直线 CD 的解析式:yCD=2x+7;（3）存在，15.5 3M，2 9.5 3M，32.53M，【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解法得出 OA=2，OB=4，即可得出的 A，B 的坐标；（2）首先利用角之间的关系得出 BOACOD，即可得出 D 点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式；（3）先求出 P 点坐标（2，3），再根据平行四边形的性质，当 PM=BD，M 可在第一象限或第二象限，以及 BM=PD 时 M 在第三象限分别分析直接得出答案【详解】(1)2680 xx 124,2xxOA、OB 为方程的两个根，且 OAOBOA=2，OB=4,A(0,2)，B(4,0),(
46、2)OA:AC=2:5 AC=5OC=OA+AC=2+5=7 C(0,7),BAO=CAP,CPB=BOA=90OPBD=OCD BOA=COD=90OBOACOD=OD=,D(,0)设直线 CD 的解析式为 ykxb 把 x=0,y=7;x=,y=0 分别代入得：7702bkb72bk yCD=2x+7,(3)存在，0 2A，,4 0B ，设直线 AB 的解析式为：ykxb 240bkb解得：122kb 故直线 AB 的解析式为：122yx 将直线 AB 与直线 CD 联立 12227yxyx 解得：23xy P 点坐标2,3 7 02D，4 0B ，7.5BD当1PM BD 是平行四边形
47、则17.5BDPM 15.5AM15.5 3M，当2PBDM 是平行四边形 则27.5BDPM 29.5AM2 9.5 3M，P 到 x 轴距离等于3M 到 x 轴距离，故3M 的纵坐标为-36BEDFBDDE6 3.52.5FO3M 的横坐标为 2.53M 的坐标为2.5,3 综上所述 M 点的坐标为：15.5 3M，2 9.5 3M，32.53M，19.【模型建立】（1）如图 1，等腰 RtABC 中，ACB90，CBCA，直线 ED 经过点 C，过点A 作 ADED 于点 D，过点 B 作 BEED 于点 E，求证：BECCDA；【模型应用】（2）如图 2，已知直线 l1：y 32 x+
48、3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将直线 l1绕点 A 逆时针旋转 45至直线 l2；求直线 l2的函数表达式；（3）如图 3，平面直角坐标系内有一点 B（3，4），过点 B 作 BAx 轴于点 A、BCy 轴于点 C，点 P 是线段 AB 上的动点，点 D 是直线 y2x+1 上的动点且在第四象限内试探究CPD 能否成为等腰直角三角形？若能，求出点 D 的坐标，若不能，请说明理由【答案】（1）见详解；（2）510yx；（3）点 D 坐标得（113，193）或（4，-7）或（83，133）【解析】【分析】（1）由垂直的定义得ADC=CEB=90，平角的定义和同角的余角的相等求出D
49、AC=ECB，角角边证明CDABEC；（2）证明ABOBCD，求出点 C 的坐标为（-3，5），由点到直线上构建二元一次方程组求出 k=-5，b=-10，待定系数法求出直线 l2的函数表达式为 y=-5x-10；（3）构建MCPHPD，由其性质，点 D 在直线 y=-2x+1 求出 m=103或 n=0 或43，将 m 的值代入，得点 D 坐标得（113，193）或（4，-7）或（83，133）【详解】解：（1）如图 1 所示：ADED，BEED，ADC=CEB=90，又ACD+ACB+BEC=180，ACB=90，ACD+BEC=90，又ACD+DAC=90，DAC=ECB，在CDA 和BE
50、C 中，ADCCEBDACECBACBC ，CDABEC（AAS）；（2）过点 B 作 BCAB 交 AC 于点 C，CDy 轴交 y 轴于点 D，如图 2 所示：CDy 轴，x 轴y 轴，CDB=BOA=90，又BCAB，ABC=90，又ABO+ABC+CBD=180，ABO+CBD=90，又BAO+ABO=90，BAO=CBD，又BAC=45，ACB=45，AB=CB，在ABO 和BCD 中，AOBBDCBAOCBDABCB ，ABOBCD（AAS），AO=BD，BO=CD，又直线 l1：y=32 x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 A、B 两点的坐标分别为（-2，0）
51、，（0，3），AO=2，BO=3，BD=2，CD=3，点 C 的坐标为（-3，5），设 l2的函数表达式为 y=kx+b（k0），点 A、C 两点在直线 l2上，依题意得：2035kbkb，510kb ，直线 l2的函数表达式为 y=-5x-10；（3）能成为等腰直角三角形，依题意得，若点 P 为直角时，如图 3 甲所示：设点 P 的坐标为（3，m），则 PB 的长为 4+m，CPD=90，CP=PD，CPM+CDP+PDH=180，CPM+PDH=90，又CPM+DPM=90，PCM=PDH，在MCP 和HPD 中，PCMPDHCMPPHMPCPD ，MCPHPD（AAS），CM=PH，PM
52、=PD，点 D 的坐标为（7+m，-3+m），又点 D 在直线 y=-2x+1 上，-2（7+m）+1=-3+m，解得：m=103，即点 D 的坐标为（113，193）；若点 C 为直角时，如图 3 乙所示：设点 P 的坐标为（3，n），则 PB 的长为 4+n，CA=CD，同理可证明PCMCDH（AAS），PM=CH，MC=HD，点 D 的坐标为（4+n，-7），又点 D 在直线 y=-2x+1 上，-2（4+n）+1=-7，解得：n=0，点 P 与点 A 重合，点 M 与点 O 重合，即点 D 的坐标为（4，-7）；若点 D 为直角时，如图 3 丙所示：设点 P 的坐标为（3，k），则 P
53、B 的长为 4+k，CD=PD，同理可证明CDMPDQ（AAS），MD=PQ，MC=DQ，点 D 的坐标为（72k+，72k-），又点 D 在直线 y=-2x+1 上，-2 72k+1=72k-，解得：k=53，点 P 与点 A 重合，点 M 与点 O 重合，即点 D 的坐标为（83，133）；综合上述，点 D 坐标得（113，193）或（4，-7）或（83，133）【点睛】本题综合考查了垂直的定义，平角的定义，全等三角形的判定与性质，一次函数求法，待定系数等知识点，重点掌握在平面直角坐标系内一次函数的求法，难点是构造符合题意的全等三角形 20.如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 分别交 x
54、、y 轴于点 A、B，直线 BC 分别交 x、y 轴于点 C、B，点 A 的坐标为（2，0），ABO=30，且 ABBC（1）求直线 BC 和 AB 的解析式；（2）将点 B 沿某条直线折叠到点 O，折痕分别交 BC、BA 于点 E、D，在 x 轴上是否存在点 F，使得点 D、E、F 为顶点的三角形是以 DE 为斜边的直角三角形？若存在，请求出 F 点坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）y=32 33 x；（2）（2，0）或（0，0）【解析】【分析】（1）解直角三角形求出 B、C 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图 1 中，根据对称性可知，当点 F 与 O 重合时，EFD=
55、EBD=90，此时F（0，0）；设 DE 交 OB 于 K，作 FHDE 于 H当EFDDFE 时，EFD=DFE=90，想办法求出 OF 的长即可解决问题；【详解】解：（1）在 Rt AOB 中，OA=2，ABO=30，OB=23，在 Rt OBC 中，BCO=30，OB=23，OC=6，B（0，2 3），C（6，0），设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则有2 320bkb，解得32 3kb ，直线 AB 的解析式为 y=3 x+23，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b则有2 360bkb，解得332 3kb ，直线 BC 的解析式为 y=33x+23 （2）如图 1 中，根据对称
56、性可知，当点 F 与 O 重合时，EFD=EBD=90，此时F（0，0），设 DE 交 OB 于 K，作 FHDE 于 H当 EFDDFE 时，EFD=DFE=90，易证 DK=EH=1，DE=12 AC=4，KH=OF=42=2，F（2，0），综上所述，满足条件的点 F 坐标为（2，0）或（0，0）【点睛】本题考查一次函数综合题、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考简单能力题 21.如图，在平面直角坐标系中，l 是经过 A（2，0），B（0，b）两点的直线，且b0，点 C 的坐标为（2，0），当点 B
57、移动时，过点 C 作 CDl 交于点 D（1）求点 D，O 之间的距离；（2）当 tanCDO=12 时，求直线 l 的解析式；（3）在（2）的条件下，直接写出ACD 与AOB 重叠部分的面积【答案】（1）2；（2）24yx；（3）115 【解析】【分析】（1）直接利用直角三角形斜边中线的性质即可得出答案；（2）通过等量代换得出OBACDO，进而求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（3）先通过正切和勾股定理求出 OE,AD,CD 的长度，然后利用1122ACDOCESSAD CDOC OE即可求解【详解】解：（1）连接 OD，(2,0),(2,0)AC，2OAOC=CDl，90CD
58、A，122ODACOAOC；（2）90CDAQ，90ACDCAD 90OBAOAD，OBAACD OCOD，OCDCDO，OBACDO 1tan2CDO，1tan2OAOBAOB，4OB，(0,4)B 设直线 l 的解析式为 ykxb，将(2,0),(0,4)AB代入解析式中得 204kbb，解得24kb ，直线 l 解析式为24yx；（3）设 CD 与 y 轴的交点为 E，OCDCDO，1tan2CDO，1tan2OEADOCDOCCD，112OEOC222,4ADCDACAC，8 54 5,55CDAD，ACD 与AOB 重叠部分的面积为 1114 58 51112 12225525ACD
59、OCESSAD CDOC OE 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握待定系数法，解直角三角形和直角三角形斜边中线的性质是解题的关键 四，三垂直与正方形 模型分析：规律总结：以正方形或直角梯形为背景的三垂直常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口 实例精炼：22.如图 1，在正方形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为线段 BO 上一点，连接 CE，将 CE 绕点 C 顺时针旋转 90得到 CF，连接 EF 交 CD 于点 G（1）若 AB4，BE 2，求CEF 的面积（2）如图 2，线段 FE 的延长线交 AB 于点 H，过点 F 作
60、FMCD 于点 M，求证：BH+MG22BE；（3）如图 3，点 E 为射线 OD 上一点，线段 FE 的延长线交直线 CD 于点 G，交直线 AB 于点 H，过点 F 作 FM 垂直直线 CD 于点 M，请直接写出线段 BH、MG、BE的数量关系【答案】（1）5；（2）见解析；（3）BHMG22BE【解析】【分析】（1）如图 1 中，利用勾股定理计算 CE 的长，由旋转可知CEF 是等腰直角三角形，可得结论；（2）如图 2，过 E 作 ENAB 于 N，作 EPBC 于 P，证明CPECMF（AAS），得 EPFM，由角平分线的性质得 EPENFM，证明NHEMGF（AAS），得 NHMG，
61、由BEN 是等腰直角三角形，得 BN22BE，最后由线段的和可得结论；（3）如图 3，构建辅助线，构建全等三角形，证明CPEFMC（AAS），得 EPCM，PCFM，由DPE 是等腰直角三角形，得 PEPD，证明HNEGMF（AAS），由BEN 是等腰直角三角形，得 BN22BE，同理可得结论【详解】（1）解：在正方形 ABCD 中，AB4，AOCOOB2 2，BE 2 ，OE 2，ACBD，COE90，CE2222(2 2)210OCOE,由旋转得：CECF，ECF90，CEF 的面积2111010522CE；（2）证明：如图 2，过 E 作 ENAB 于 N，作 EPBC 于 P，EPBC
62、，FMCD，EPCFMC90，BCDECF90，PCEMCF，CECF，CPECMF（AAS），EPFM，EPBC，ENAB，BE 平分ABC，EPEN，ENFM，FMCD，FMGENH90，ABCD，NHEMGF，NHEMGF（AAS），NHMG，BH+MGBH+NHBN，BEN 是等腰直角三角形，BN22BE，BH+MG22BE；（3）解：BHMG22BE，理由是：如图 3，过 E 作 ENAB 于 N，交 CG 于 P，EPBC，FMCD，ABCD，EPCD，EPCFMC90，MECF90，ECP+FCMFCM+CFM90，ECPCFM，CECF，CPEFMC（AAS），PCFM，DPE
63、 是等腰直角三角形，PEPD，ENBNPN+PEBC+PECD+PDPCFM，ABCD，HFGM，ENHM90，HNEGMF（AAS），NHMG，BHMGBHNHBN，BEN 是等腰直角三角形，BN22BE，BHMG22BE【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题 23.探究：如图 1 和 2,四边形 ABCD 中,已知 ABAD，90BAD，点 E，F 分别在 BC、CD 上，45EAF（1）如图 1,若B、ADC都是直角，把ABE绕点 A 逆时针旋转90至 ADG，使 AB 与 AD 重合，则能证得 EFBE
64、DF，请写出推理过程；如图 2，若B、D都不是直角，则当B 与D满足数量关系_时，仍有EFBEDF;（2）拓展：如图 3,在 ABC 中，90BAC,2 2ABAC，点 D、E 均在边 BC上,且45DAE若1BD ，求 DE 的长【答案】（1）见解析；180BD，理由见解析；（2）5=3DE【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出 AEAG，BAEDAG，BEDG，求出EAFGAF45，根据 SAS 推出EAFGAF，根据全等三角形的性质得出EFGF，即可求出答案；根据旋转的性质得出 AEAG，BADG，BAEDAG，求出 C、D、G在一条直线上，根据 SAS 推出EAFGAF，根据全等三角
65、形的性质得出 EFGF，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出ABCC45，BC4，根据旋转的性质得出 AFAE，FBAC45，BAFCAE，求出FADDAE45，证FADEAD，根据全等得出 DFDE，设 DEx，则 DFx，BFCE3x，根据勾股定理得出方程，求出 x 即可【详解】（1）如图 1，把ABE绕点 A 逆时针旋转90至 ADG，使 AB 与 AD 重合，AEAG，BAEDAG，BEDG90BAD，45EAF，45BAEDAF，45DAGDAF，即45EAFGAF，在EAF和 GAF 中AFAFEAFGAFAEAG EAFGAF SAS，EFGF，BEDG，EF
66、GFBEDF；180BD，理由是：把ABE绕 A 点旋转到 ADG，使 AB 和 AD 重合，则 AEAG，BADG，BAEDAG，180BADC，180ADCADG，C，D，G 在一条直线上，和知求法类似，45EAFGAF，在EAF和 GAF 中 AFAFEAFGAFAEAG()EAFGAF SAS，EFGF，BEDG，EFGFBEDF；故答案为：180BD（2）ABC 中，2 2ABAC，90BAC45ABCC ，由勾股定理得：2222(2 2)(2 2)4BCABAC，把 AEC 绕 A 点旋转到AFB,使 AB 和 AC 重合，连接 DF 则 AFAE，45FBAC ，BAFCAE，4
67、5DAE，904545FADFABBADCAEBADBACDAE ，45FADDAE ，在FAD和 EAD中 ADADFADEADAFAE FADEAD，DFDE，设 DEx，则 DFx，1BC ，4 13BFCExx ，45FBA，45ABC，90FBD，由勾股定理得：222DFBFBD，222(3)1xx，解得：5=3x，即5=3DE【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题是开放性试题，首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高 24.【操作发现】如图，在正方形 ABCD 中，点 N、M 分别在边 BC、C
68、D 上，连结 AM、AN、MN MAN45，将AMD 绕点 A 顺时针旋转 90，点 D 与点 B 重合，得到ABE易证：ANMANE，从而得 DM+BNMN【实践探究】（1）在图条件下，若 CN3，CM4，则正方形 ABCD 的边长是 （2）如图，点 M、N 分别在边 CD、AB 上，且 BNDM点 E、F 分别在 BM、DN 上，EAF45，连接 EF，猜想三条线段 EF、BE、DF 之间满足的数量关系，并说明理由【拓展】（3）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，AD4，点 M、N 分别在边 DC、BC 上，连结 AM，AN，已知MAN45，BN1，求 DM 的长【答案】（1）6；（2）2
69、22EFBEFD，见解析；（3）2【解析】【分 析】(1)根 据 旋 转 的 性 质 证 明 ABEADM 得 到 BE=DM，又 由ABE=D=90，AE=AM，BAE=DAM，证 出 EAM=90，得 出MAN=EAN，再 证 明 AMNEAN（SAS），得 出 MN=EN 最 后 证 出MN=BN+DM在 RtCMN 中，由勾股定理计算即可得到正方形的边长；(2)先根据旋转的性质证明AEGAEF（SAS），再证明GBE=90，再根据勾股定理即可得到；(3)在 AB 上截取 AP，在 BC 上截取 BQ，使 APAB=BQ3，连结 PQ 交 AM 于点 R，得到 ABQP 为正方形，再根据
70、操作发现以及勾股定理即可得到答案；【详解】（1）（1）解：四边形 ABCD 是正方形，AB=CD=AD，BAD=C=D=90，由旋转得：ABEADM，BE=DM，ABE=D=90，AE=AM，BAE=DAM，BAE+BAM=DAM+BAM=BAD=90，即EAM=90，MAN=45，EAN=90-45=45，MAN=EAN，在AMN 和EAN 中，AMAEMANEANANANAMNEAN（SAS），MN=ENEN=BE+BN=DM+BN，MN=BN+DM在 RtCMN 中，2222345MNCNCM，则 BN+DM=5，设正方形 ABCD 的边长为 x，则 BN=BC-CN=x-3，DM=CD
71、-CM=x-4，x-3+x-4=5，解得：x=6，即正方形 ABCD 的边长是 6；故答案为：6；（2）数量关系为：222EFBEFD，证明如下：将AFD 绕点 A 顺时针旋转 90，点 D 与点 B 重合，得到ABG，连结 EG 由旋转的性质得到：AF=AG，DAFBAG 又EAF45，904545GAE ,且 AE=AE，AEGAEF（SAS），从而得 EGEF（全等三角形对应边相等），又BNDM，BNDM，四边形 DMBN 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），DNBM，ANDABM （两直线平行，同位角相等），90ANDADN,90ABGABM（等量替换），即：GBE
72、=90，则222EGBEGB，222EFBEFD；（3）在 AB 上截取 AP，在 BC 上截取 BQ，使 APAB=BQ3，连结 PQ 交 AM 于点 R，易证 ABQP 为正方形，由操作与发现知：PR+BNRN 设 PRx，则 RQ3x，RN=1+x，QN=3-1=2在 RtQRN 中，由勾股定理得：222RNNQRQ，即222(1)2(3)xx 解得：x 32，PR=32PQDC，APRADM，PRAPDMAD（相似三角形对应边成比例）3234DM DM2；【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一
73、定难度，证明三角形全等和由勾股定理得出方程是解题的关键 25.如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AB 边上的点，且 AEDF，垂足为点 O，AOD 的面积为 7，则图中阴影部分的面积为_【答案】7【解析】【分析】先证得ADF BAE，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于AOD 的面积【详解】正方形 ABCD 中，DAF=ABE=90，AD=AB，AEDF，DOA=DAF=90，DAO+ADF=DAO+FAO=90，ADF=FAO，在ADF 和BAE 中，ADFFAOADABDAFABE ，ADF BAE，ADFBAESS，ADFAOFBAEAOFSSSS，AOF7SS阴
74、影 故答案为：7 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得阴影部分的面积等于AOD 的面积是解题的关键 26.如图所示，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过正方形的顶点 B、D 作BFa 于点 F，DEa 于点 E，若 DE8，BF5，则 EF 的长为_【答案】13【解析】【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得AFBAED；然后由全等三角形的对应边相等推知 AFDE、BFAE，所以 EFAF+AE13【详解】解：ABCD 是正方形（已知），ABAD，ABCBAD90；又FAB+FBAFAB+EAD90，F
75、BAEAD（等量代换）；BFa 于点 F，DEa 于点 E，在 RtAFB 和 RtAED 中，90AFBDEAFBAEADABDA ，AFBDEA（AAS），AFDE8，BFAE5（全等三角形的对应边相等），EFAF+AEDE+BF8+513 故答案为：13【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键 27.如图，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 BECF 求证：（1）AEBF；（2）AEBF【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得 ABBC，ABEBCF，然
76、后利用“边角边”证明ABE 和BCF 全等，即可得出结论；（2）根据全等三角形对应边相等可得 AEBF，全等三角形对应角相等可得BAECAF，然后求出BAE+ABFABC90，判断出 AEBF【详解】证明：（1）在正方形 ABCD 中，ABBC，ABEBCF，在ABE 和BCF 中，ABBCABEBCFBECF，ABEBCF（SAS），AEBF；（2）ABEBCF，BAECBF，BAE+ABFCBF+ABFABC90，AEBF【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出 AE 与 BF 所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键 六，三垂直与圆 模型分析：规律总结：之间所对的圆
77、周角等于 90，这一隐藏条件长再圆中与切线和直角三角形一起出现，此时即可运用三垂线模型证明相似，或者有摄影灯里得到边长之间的关系，若存在特殊的角度可以结合三角函数进行求解 实例精炼：28.如图，以 Rt ABC 的直角边 AB 为直径作O 交斜边 AC 于点 D，过圆心O 作/OEAC，交 BC 于点 E，连接 DE （1）判断 DE 与O 的位置关系并说明理由；（2）求证：22DECD OE【答案】（1）相切，理由见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接 OD、BD，根据切线的判定即可求证答案；（2）易证BCDACB，从而 BCCDACBC，即 BC2=CDAC，由（1）知 DE=B
78、E=CE=12 BC，所以 4DE2=CDAC，从而可证明 2DE2=CDOE；【详解】解：（1）DE 是O 的切线，理由：如图，连接 OD，BD，AB 是O 的直径，ADB=BDC=90，OEAC，OA=OB，BE=CE，DE=BE=CE，DBE=BDE，OB=OD，OBD=ODB，ODE=OBE=90，点 D 在O 上，DE 是O 的切线；（2）BDC=ABC=90，C=C，BCDACB，BCCDACBC，BC2=CDAC，由（1）知 DE=BE=CE=12 BC，4DE2=CDAC，由（1）知，OE 是ABC 是中位线，AC=2OE，4DE2=CD2OE，2DE2=CDOE；【点睛】本题
79、考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，切线的判定，圆周角定理等知识，需要学生灵活运用所学知识 29.如图，以 RtABC 的 AC 边为直径作O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长交BC 的延长线于点 D，点 F 为 BC 的中点，连接 EF 和 AD（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，EAC60，求 AD 的长【答案】（1）见解析；（2）AD2 7 【解析】【分析】（1）连接 FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证 OFAB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得 CEAE，进而知 OFCE，然后根据垂径定理可得FECFCE，OECOCE，再通过 RtA
80、BC 可知OECFEC90，因此可证 FE 为O 的切线；（2）在 RtOCD 中和 RtACD 中，分别利用勾股定理分别求出 CD,AD 的长即可【详解】（1）证明：连接 CE，如图所示：AC 为O 的直径，AEC90 BEC90，点 F 为 BC 的中点，EFBFCF，FECFCE，OEOC，OECOCE，FCE+OCEACB90，FEC+OECOEF90，EF 是O 的切线（2）解：OAOE，EAC60，AOE 是等边三角形 AOE60，CODAOE60，O 的半径为 2，OAOC2在 RtOCD 中，OCD90，COD60，ODC30，OD2OC4，CD 2 3 在 RtACD 中，A
81、CD90，AC4，CD 2 3 AD22ACCD2 7 【点睛】本题主要考查直角三角形、全等三角形的判定与性质以及与圆有关的位置关系 30.如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OEAD，OE 与 AB 的延长线交于点 E，点C 在OE 上，满足CBEADB （1）求证：BC 是O 的切线；（2）若30CBEADB，3OA，求线段CE 的长【答案】（1）见解析；（2）3CE 【解析】【分析】（1）连接 OB，如图，根据圆周角定理得到ABD=90，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出OBC=90，即可得出结论；（2）根据圆周角定理得到ABD=90，得到A=60，求得E=30，根据等腰三角形
82、的性质得到 CE=CB，根据三角形外角的性质得到BCO=60，解直角三角形即可得到结论【详解】（1）证明：连接 OB，如图，AD 是O 的直径，ABD=90，A+ADB=90，OA=OB，A=OBA，CBE=ADB，OBA+CBE=90，OBC=180-90=90，BCOB，BC 是O 的切线；（2）AD 是O 的直径，ABD=90，A=60，OEAD，AOE=90，E=30，CBE=30，CBE=E=30，CE=CB，BCO=60，在 Rt OBC中 tan3 tan303CBOBCOB 30CBEE BC=33OB=3，CE=3 【点睛】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的
83、性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键 31.如图，AB 是 ABC 外接圆的直径，O 为圆心，CHAB，垂足为 H，且PCA=ACH，CD 平分ACB，交O 于点 D，连接 BD，AP=2（1）判断直线 PC 是否为O 的切线，并说明理由；（2）若P=30，求 AC、BC、BD 的长（3）若 tanACP=12，求O 半径【答案】（1）PC 是O 的切线，理由见解析；（2）AC=2；BC=2 3；BD=2 2；（3）O 的半径为 3【解析】【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质及垂直的定义得到PCA+OCA=90，即可证明 PC 是O 的切线；（
84、2）根据P=30，可求得AOC=60，进而得到OAC=60，求出PCA=30，AC=AP=2，利用ABC=12 AOC=30，求出 AB=2AC=4，利用勾股定理求出 BC，利用垂径定理得到 AD=BD，利用等腰直角三角形的性质即可求出 BD 的长；（3）根据直径和切线的性质得到ABC=ACH，由 tanABC=tanACP=12 得到12ACBC，再证明 PACPCB，得到12PAPCACPCPBBC，求出 PC，再求出 PB，故可求出半径的长【详解】（1）PC 是O 的切线 理由：连接 OC，OA=OCOCA=OACCHABACH+OAC=90PCA=ACHPCA+OAC=90即：PCA+
85、OCA=90OC 为O 的半径 PC 是O 的切线（2）连接 AD，PC 是O 的切线 PCO=90P=30AOC=60OA=OCOAC=60ACP=OAC-P=30AC=AP=2ABC=12 AOC=12 60=30AB=2AC=2 24 2222422 3BCABACCD 平分ACBACD=BCD弧 AD 与弧 BD 相等，AD=BDAB 为O 的直径 ADB=90 ABD 是等腰直角三角形；22sin 4542 222BDABAB；（3）AB 为O 的直径，ACB=90ACH+BCH=90CHABB+BCH=90ABC=ACHtanABC=tanACP=1212ACBC PCA=ACHP
86、CA=ABCP=P PACPCB12PAPCACPCPBBCAP=2PC=4PB=8AB=6O 的半径为 3【点睛】此题主要考查切线的性质与判定综合，解题的关键是熟知切线的判定与性质、三角函数的定义及相似三角形的判定与性质 32.如图，AB 是O 的直径，点 D 是弧 AE 上一点，且BDECBE，BD与 AE交于点 F (1)求证：BC 是O 的切线；(2)若 BD平分ABE，求证：2DEDF DB；(3)在(2)的条件下，延长 ED，BA 交于点 P，若 PA AO，2DE，求 PD的长和O的半径【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2 2 【解析】【分析】（1）已知BDEEA
87、B，BDECBE，得到EABCBE 根据 AB是O 的直径，得到90EABEBA，所以90CBEEBA，即可证明 BC是O 的切线（2）利用同弧所对的圆周角相等和角平分线的定义可得到DEA=DBE，通过证得DEFDBE 即可求解；（3）根据题意画出图形，连接 DA、DO，不难得到 ODBE，进而有 PDPOPEPB，由 PA=AO 可得到23POPB，结合 ED 的长即可得到 PD 的长；由圆内接四边形的对角互补可得到ABE+ADE=180，结合平角和平行线的性质可得到PDA=AOD，进一步可得到PDAPOD，结合相似三角形的性质即可得到OA 的长【详解】（1）BDEEAB，BDECBE EA
88、BCBE AB 是O 的直径 90AEB 90EABEBA 90CBEEBA 即90ABC 又 AB 是O 的直径 BC 是O 的切线（2）DEA 和ABD 都是 AD 所对的圆周角，DEA=ABDBD 平分ABEABD=DBEDEA=DBEEDB=BDE，DEA=DBE，DEFDBE，DEDFDBDE 2DEDF DB（3）根据题意画出图形，连接 DA、DOOD=OB，ODB=OBDEBD=OBDEBD=ODBODBE PDPOPEPB PA=AOPA=AO=OB，23POPB 23PDPE 23PDPDDE DE=2，PD=4PDA+ADE=180，ABE+ADE=180，PDA=ABEO
89、DBEAOD=ABE，PDA=AODP=P，PDA=AODPDAPOD PDPAPOPD 设 OA=x，则 PA=x，PO=2xPD=4，PDPAPOPD，PA=x，PO=2x 424xx x=2 2OA=2 2故答案为：2 2 【点睛】本题考查了切线的判定定理，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，圆内接四边形的对角互补 33.已知 BC 是O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是O 的弦，AEC=30（1）求证：直线 AD 是O 的切线；（2）若 AEBC，垂足为 M，O 的半径为 4，求 AE 的长【答案】（1）证明见解析；（2）4
90、 3.【解析】【详解】【分析】（1）先求出ABC=30，进而求出BAD=120，即可求出OAB=30，结论得证；（2）先求出AOC=60，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论【详解】（1）如图，AEC=30，ABC=30，AB=AD，D=ABC=30，根据三角形的内角和定理得，BAD=120，连接 OA，OA=OB，OAB=ABC=30，OAD=BADOAB=90，OAAD，点 A 在O 上，直线 AD 是O 的切线；（2）连接 OA，AEC=30，AOC=60，BCAE 于 M，AE=2AM，OMA=90，在 RtAOM 中，AM=OAsinAOM=4sin60=23，AE=2AM=43【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键
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