1、第23课时 二 面 角教学目标：使学生正确理解二面角及二面角的平面角；通过概念教学，提高逻辑思维能力，渗透等价转化思想；通过图形结构分析，掌握作图方法，提高空间想象能力；通过本节教学由水坝、卫星运行轨道平面到二面角，体现由具体到抽象思想。教学重点：二面角的平面角。教学难点： 求作二面角的平面角。教学过程：1复习回顾：两个平面平行的判定有哪几种方法？各种方法应具备条件是什么？两个平面平行的性质有哪些？如何利用性质解决问题？这一部分中等价转化思想体现在哪里？2讲授新课：1.二面角师两个平面的位置关系包括相交、平行两种，两个平行平面的相对位置是用“距离”来刻画.而两个相交平面的相对位置由这两个平面所
2、成的“角”来确定.修筑水坝，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度（如图）。还有教材中人造地球卫星的发射，需卫星轨道平面和地球赤道平面成一定的角度.请同学们再举出生活中例子说明结论.那就是：为了解决实际问题，需研究两个平面所成的角.师请同学归纳总结二面角的概念.（可与平面角概念对比）二面角的概念（1）半平面的定义：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.（2）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.师（3）常用直立式和平卧式两种（教师和学生共同动手）直立式： 平卧式：生（4）二面角
3、的表示在上图（1）中，棱为AB，面为、的二面角，记作二面角AB.有时为了方便也可在、内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角PABQ.如果棱为l，则这个二面角记作l或PlQ.师进一步研究图（2）中AOB与AOB的大小.在二面角l的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成AOB.再取棱上另一点O，在和内分别作l的垂线OA和OB，则它们组成角AOB.因为OAOA,OBOB,AOB和AOB关系如何？生由OAOA，OBOB可知AOB及AOB的两边分别平行且方向相同.即AOB=AOB师结论说明了什么问题？生按照上述方法作出的角的大小
4、，与角的顶点在棱上的位置无关.师由此结果引出二面角的平面角概念.（5）二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.上图（2）中的AOB,AOB都是二面角l的平面角.前边举过门和门所在墙的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，而二面角就恰如其分地将这种关系区别开来，度量二面角的大小，利用的是二面角的平面角.二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.本书中规定二面角的大小范围为0180.当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180.师若一个二面角的平面角是直角，就说这个二面角为直二面角.除教
5、材例外，举出一个二面角为直二面角的例子.生教室相邻墙构成的二面角就是直二面角.如图DD1A1D1，DD1D1C1A1D1C1为二面角A1D1DC1的平面角A1D1C1=90该二面角为一直二面角.师在作图时注意两种情形.（1）它是一个“平面角”，它的两边必须在同一平面内，AB、CD虽各在两个平面内，且都垂直于棱，但不在同一平面内，所以AB和CD不成平面角.（2）二面角的平面角的两边必须都与棱垂直，ABC的顶点虽在棱上，两边也分别在两个半平面内，但BC不与棱垂直，所以ABC不是二面角的平面角.下面阅读例1，并简要分析例1：河堤斜面与水平面所成二面角为60，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB
6、的夹角为30，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m时人升高了多少？（精确到0.1 m）分析：人升高了多少？实质上就是求人所在位置到水平面距离，问题就转化为解RtEFG，而直角三角形的求解靠二面角平面角来完成，找二面角的平面角就成为关键.解：取CD上一点E，设CE=10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EFAB，垂足为F，并连结FG.则FGAB即EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成二面角的平面角.EFG=60,由此得EG=EFsin60=CEsin30sin60=10=2.54.3（m）.答：沿直道行走到10 m时人升高约4.3
7、m.师学生思考问题.两条相交直线对顶角相等.两个平面相交时，形成一些二面角，其中有些二面角有类似对顶角的位置关系，二面角和二面角AB相等.这样的两个二面角有公共的棱它们的面合在一起恰是两个相交平面.具有这样特殊位置的两个二面角大小相等.但二面角AB和二面角AB是互补的.例2：设P是二面角l内一点，P到面、的距离PA、PB分别为8和5，且AB7，求这个二面角的大小。解：作ACl于c，连结BCPA，l PAl又ACl，ACPAAl平面PAC lPCPB，l PBl 又PBPCP l平面PBC平面PAC与平面PBC重合，且lBCACB就是所求的二面角PAB中，PA8，PB5，AB7 P600ACB1
8、2003课堂练习：课本P47 练习1.4课时小结：1.应理解掌握二面角、二面角的平面角概念；2.通过学习应掌握利用二面角平面角的定义. 5课后作业：（一）课本P47 习题 17.（二）预习：如何判定两个平面垂直？两个平面垂直后具有什么性质？备课资料一、求作二面角的平面角求作二面的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，通过前面教学及习题涉及到的作法有下面三种：1.定义法：利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.2.三垂线法：利用三垂线定理及逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在找面的垂线.3.垂面法：作一与棱
9、垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角.例1（2002年高考试题江苏卷）四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90.分析：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD其棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径.证法一：利用定义法经A在PDA平面内作AEPD于E，连CE因底是正方形，故CDDACEDAED，AEEC，CEDAED90则CEPD故CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角设AC与BD交于O，连EO，则EOAC因 OAaa，AEADa cosAEC0所以面PAD
10、与面PCD所成的二面角恒大于90.证法二：运用三垂线法PB面ABCD，则PBAD，又ADABAD面PAB，即面PAB面PAD过B作BEPA则BE面PAD在面PBC内作PGBC，连GD经C作CF面PAD于F那么连结EF，有EF AD经F作FGPD于H，连CH则FGH是所求二面角平面角的补角因CFFH，故FHC是锐角则面PAD与面PCD所成二面角大于90此结论证明过程中与棱锥高无关.证法三：利用垂面法找平面角.在证法一所给图形中连AC、BD，因ACBD，PB面ABCDACPD经A作AEPD于E，那么有PD面AEC，连CE即PDCE故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、E
11、C构成角CEA就是二面角的平面角以下同证法一.评述：证法一用的是定义法，平面角的一边是作出，而另一边是证得，证法二用的是三垂线法，关键在找面PAD的垂线CF，并且证明过程渗透立体几何的割补法求解问题，证法三是利用作垂直于棱的垂面，找交线是主要的.二、用面积法求解二面角问题面积射影在运用上述方法找二面角的平面角时，不一定所有问题都能解决，这时就应想到转化思想，即不直接找或作二面角的平面角，而是把问题加以转化，下面介绍一种求二面角的方法，就是射影面积公式cos，是二面角的大小，S是一面积为S的平面图形在另一面内的射影面积.例2正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小.解：EB1C在底面ABCD内的射影三角形为RtABC因E点射影为A，B1点射影为B设正方体棱长为a则SABCa2 又在EB1C中，B1E a，B1Ca，ECa故cosB1ECsinB1EC设面MB1C和面ABCD所成的二面角为则cos那么所求二面角的大小为arccos.评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便.SSABC ，SS.
