1、第15课时 直线与平面平行的判定和性质（三）教学目标：通过运用定理解决具体问题，培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能力，使学生进一步掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能正确运用之解决一些具体问题；通过学生自主地学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生不断发现，探索新知的精神，提高观察问题、分析问题的能力，增强勇于战胜困难的勇气.教学重点：直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.教学难点：直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用.教学过程：.复习回顾师前面我们学习了直线与平面的三种位置关系，并且讨论了其中的一种关系直线与平面的平行问题，学习了一个判定定理、一个性
2、质定理，请同学们回忆一下判定定理和性质定理的具体内容.生判定定理是“线线平行则线面平行”，性质定理是“线面平行则线线平行”.师请具体阐述一下判定定理中前面的“线线”，性质定理中后面的“线线”.生判定定理中前面的“线线”，一条在平面外，另一条在前述的平面内；性质定理后面的“线线”，一条是平行于平面的直线，另一条是过前一条直线的平面与已知平面的交线.师好.应用定理应注意什么？生结论成立的条件一个不能少.师判定定理结论成立的条件有几个？分别是什么？生有三个.分别是a，b，ab.师性质定理结论成立的条件有几个？分别是什么？生有三个.分别是a，a，=b.师应该注意.应用定理解决具体问题时，三个条件一个不
3、能少.还有，如果证题过程中能应用“”符号，则尽可能使用，它能使你的推理更加严谨、简捷，给读者或老师或阅卷人一个简洁明了的印象.下面我们来讨论直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用.新课讨论师上节课，我们已经讨论了一个综合应用的例子，大家讨论、分析、研究得很投入，希望继续发扬这种钻研精神，来研究我们面临的问题.例1已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：APGH.分析：欲证APGH.只要证什么就可以了？生因为GH是过AP的平面与面BDM的交线，所以要证APGH，只要证AP与含GH在内的平面平行就可以了.
4、师GH在哪一个平面内？生GH在面BDM内.师那也就是说，只要证AP与面BDM平行就行了.怎样证AP与面BDM平行呢？生只要证AP与面BDM内一条直线平行就行了.师与面BDM内哪一条直线平行呢？能是GH吗？生肯定不能是GH.师那么证AP与哪一条直线平行呢？(稍停，给学生留出点思考的时间)，这就得在面BDM内找，找到的这条直线，要能较好地联系已知.生连结AC，AC与BD的交点是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，设为O，因为M是PC的中点，连结OM，则OM在面BDM内，又是PAC的中位线，所以AP平行MO，问题得证啦！师同学所谈有道理吗？众生有.师同学的分析完全正确.下面请同学们整理证明过程(请
5、一位同学写在黑板上，供教师做讲评).证明：连结AC，设AC交BD于O，连结MO.四边形ABCD是平行四边形O是AC的中点又M是PC的中点 MOPA又MO面BDM、PA面BDM.PA面BDM.又经过PA与点G的平面交面BDM于GH.APGH.师刚才我们分析所用的方法称为执果索因法，我们证题一般用的由因导果法(也叫综合法).前者是从结果(论)出发，寻找结果(论)成立的原因(条件)，一直追溯到已知；后者是从条件出发一直到推出结果.两者是完全不同的推理方法.请同学们注意：执果索因法是分析问题、寻求思路的一种有效方法.遇到问题，两者联用，在似乎“山穷水尽疑无路”之时，都能寻求到解(证)题的途径，达到“柳
6、暗花明又一村”的境地.例2如图，平面MNPQAC，BD面MNPQ.(1)求证：MNPQ是平行四边形；(2)如果ACBDa，求证：四边形MNPQ的周长为定值；(3)如果ACa，BDb，AC与BD成角，求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时M的位置.师请同学们认真审题，并作出分析，以学习小组为单位展开讨论，寻求答题途径.(同学们人人积极思考，以学习小组为单位各抒己见，讨论很热烈)生甲对于(1)小题，欲证MNPQ是平行四边形，只要证明MNPQ有一组对边平行且相等，或两组对边分别平行就可以了，结合已知易证两组对边分别平行，因为AC平行于面MNPQ，过AC的平面ACB交面MNPQ于MN，所以AC平行于
7、MN，同理AC平行于PQ，由平行公理得MN平行于PQ，同理可证MQ平行于NP，所以四边形MNPQ是平行四边形.师生甲同学分析得很好.生乙对于(2)小题.因为MN平行于AC，所以 ，又ACa，所以MNa，因为MQ平行于BD.所以 .又BDa，所以MQa，所以四边形MNPQ的周长2(MNMQ)2a()2a(定值)师很好.对于定值问题的证明，可以先探求定值，探求定值的方法，可以取特殊位置去探求.比如这个题，可把M、N、P、Q分别看作AB、BC、CD、DA的中点去探求定值.探求出定值之后，目标就明确了，利用已知向目标靠拢即可.但要注意，取特殊位置只能用以对定值的探求，而不能作为证明的依据.否则就使问题
8、失去了普遍性、一般性.师谁来谈一下第(3)小题的解题思路？(谈这个小题没有谈前面两个小题那样踊跃，可能遇到了什么障碍)师你是怎样想的就怎样谈，说多少算多少，说错了也没关系！(鼓励学生大胆发言)，其他同学要注意听，大家共同想办法，把这个问题解决了.生丙要求四边形MNPQ面积的最大值，首先需要列出面积的函数关系式；要列出面积的函数关系式需要知道平行四边形MNPQ两邻边的长及其夹角，夹角就是异面直线AC、BD所成的角，两邻边的长表示不出来.虽然MN与AC有个关系，NP与BD也有个关系，但表示不出平行四边形的边长来.师不错.生丙同学前面的分析很好，但到后来他犯愁了，谁来帮他想想办法？(没有学生接这个“
9、茬”)师大家只顾找MN、NP怎样表示了，而忽略了一个重要的东西：列面积的函数关系式需要自变量啊，哪个量“扮演这个角色”呢？从题中再看看，审题万万不可不仔细！生丁设AMx生丙(生丁的一“点”，障碍排除，抢着回答)只设AM还不行，再设ABl(l为定值)，这样就行了.(跑到讲台上，在黑板上书写).设AMx，ABl由(2)知：NPbbx MNaa (lx)设平行四边形MNPQ的面积为S.则SMNNPsinMNPx (lx)sin (lxx2)sin(x)2sin当x，即M为AB的中点时，S最大值为 sin.师生丁同学谈出了今天第(3)小题讨论中重要的一点，使我们问题的解决出现了转机.生丙同学又接着对第
10、(3)小题作出了全面的解答，大家再仔细看一看，认真想一想，对生丙同学的解答过程还有没有什么补充或更正？生戊在列出四边形MNPQ的面积的函数关系式前面应表述清楚MNP师请你来补充在解答过程中.生戊(上黑板板书，补充在设平行四边形MNPQ的面积为S之前).MNAC，NPBDMNP是AC、BD所成的角，即MNP.师好.谁还有？生己设AM=x，应标明x的取值范围，把前两步的位置调换一下，标明0xl.师请来予以更正补充.生己在黑板上将生丙同学的解答更正补充为：设AB=l(l为定值)AM=x(0xl)师还有吗？(稍停顿)好了，这样再经过大家的补充，整个解答就完美了.今后在学习中，无论是解答题，还是证明题，
11、表述必须清楚，推理必须严谨，千万不可粗枝大叶，丢三落四，要养成严密、严谨、细致的良好习惯.有根有据，有条有理，才是一种优美的、令人赞叹的、使人折服的精彩“表演”，尤其分析问题、解决问题的方法，更应引起每位同学重视.第(1)小题、第(2)小题的证明过程，大家下去以后自己整理，现在我们来练习一个题.课堂练习如图，EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD面EFGH，AC面EFGH.证明：EFGH是平行四边形BD面EFGH，同理可证AC面EFGH.课时小结本节课我们讨论了直线与平面平行的判定定理、性质定理的综合应用，大家一起分析了两个题目，并且分析得很好.通过
12、这节课，要求同学们初步掌握分析问题、寻求解题思路的方法执果索因法、由因导果法(分析法、综合法)，并养成良好的思维习惯、严谨的治学态度，进行严密的逻辑推理.课后作业(一) 思考与练习一、选择题1.m、n是平面外的两条直线，在m的前提下，mn是n的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：A2.直线a面、面内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a( )A.全平行B.全异面C.全平行或全异面D.不全平行也不全异面 答案：C3.直线a平面，平面内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( )A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一
13、条D.不可能有 答案：B4.a和b是两条异面直线，下列结论正确的是( )A.过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行B.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交C.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行 答案：D二、填空题1.过平面外一点，与平面平行的直线有_条，如果直线m平面，那么在平面内有_条直线与m平行. 答案：无数 无数2.n平面，则mn是m的_条件. 答案：既不充分也不必要3.直线a平面，在平面内任取两点P、Q，当PQ与a的位置关系是_时，直线a及点P确定的平面与的交线和过直线a及点Q的平面与的交线互相平行
14、.答案：PQ与a垂直三、解答题1.求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a、b是异面直线.求证：过b有且只有一个平面与a平行.证明：(1)存在性在直线b上任取一点A，显然Aa.过A与a作平面在平面内过点A作直线aa则a与b是相交直线，它们确定一个平面，设为b，a与b异面，a又aa，a，a过b有一个平面与a平行(2)唯一性假设平面是过b且与a平行的另一个平面则b，Ab，A又A，与相交，设交线为a，则Aaa，a，=aaa，又aa，aa这与aaA矛盾.假设错误，故过b与a平行的平面只有一个.综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.2.如图：E、H分别是空间四边形ABC
15、D的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EHFG.证明：连结BD.E、H分别是AB、AD的中点EHBD又BD面BCD，EH面BCD EH面BCD 又EH、面BCDFG EHFG.3.已知：M、N分别是ADB和ADC的重心，A点不在平面内，B、D、C在平面内，求证：MN.证明：连结AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连结PQ.M、N分别是ADB、ADC的重心，2 MNPQ，又PQ，MN MN.4.三个平面两两相交得到三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条也和它们分别平行.已知：平面=l，平面=m，平面=n，mn.求证：lm，ln.同理可证ln.线面平行的判定与性
16、质定理是立体几何中的重要知识，也是高考考查的重点内容.因此，教学中应注意以下几点：1.帮助学生理解好线面平行的定义、直线和平面没有公共点，直线才和平面平行，这一条件用来判定线面平行很困难，一般采用反证法，利用定义进行论证问题.2.线面平行的判定定理把线面平行的判定转化为线线平行的判定，将立体几何题转化为平面几何问题，运用起来方便得多.3.线面平行的性质定理可得线线平行，给我们作平行线提供了方法.4.线面平行的判定定理是由线线平行到线面平行，性质定理是由线面平行到线线平行，实现了线面问题与线线问题间的相互转化.(二)1.预习直线与平面垂直的判定和性质.2.预习提纲(1)直线与平面垂直的定义是什么？记法是怎样的？(2)直线与平面垂直的图形语言是怎样的？(3)过空间一点，垂直于已知直线的平面有几个？(4)过空间一点，垂直于已知平面的直线有几条？(5)直线与平面垂直的判定定理是什么？(6)用符号语言怎样表示直线与平面垂直的判定定理.(7)“直线l垂直于平面内的无数条直线，则直线l与平面垂直”，正确吗？(8)“与一个平面垂直的直线有无数条”，这个命题正确吗？
