1、几何综合题中考真题1如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且AGDBGC，（1）求证：ADBC；（2）求证：AGDEGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得GA=GB，GD=GC由“SAS”可判定AGDBGC根据全等三角形的对应边相等即可得AD=BC；（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定AGBDGC，再由相似三角形对应高的比等于相似比可得，再证得A
2、GD=EGF，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定AGDEGF；（3）如图1，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AHBH由AGDBGC可知GAD=GBC在GAM和HBM中，由GAD=GBC，GMA=HMB可证得AGB=AHB=90，根据等腰三角形三线合一的性质可得AGE =45，即可得出，根据相似三角形对应边的比相等即可得【详解】（1）证明：，E为AB的中点，同理，易证，（2）证明：，点E，点F分别是AB、CD的中点，易证，即易证（3）方法1：如图所示，延长AD和BC，相交于点H，与BG相交于点MAD，BC所在的直线互相垂直，在等腰直角三角形GAB中，由（2）的结论
3、：，可得方法2：如图所示，连接对角线AC，取AC的中点H，连接EH，FHF、H、E分别是CD，AC，AB中点，FH是的中位线，EH是的中位线，HF/AD，HE/BC，AD、BC所在的直线互相垂直，在等腰直角三角形HEF中，方法3 如图所示，过点A作AM/DC，使，连接MB，MC，过点E作EN/AM，交BM于点N，连接NC，则四边形AMCD为平行四边形AD/MC，EN/AM/CDE为AB中点，N为BM中点，四边形ENCF为平行四边形，AD，BC所在的直线互相垂直，是等腰直角三角形，即2已知正方形，点为边的中点.（1）如图1，点为线段上的一点，且，延长，分别与边，交于点，.求证：；求证：.（2）如
4、图2，在边上取一点，满足，连接交于点，连接延长交于点，求的值.【答案】（1）详见解析；（2）【详解】试题分析：(1)利用ASA判定证明两个三角形全等；先利用相似三角形的判定，再利用相似三角形的性质证明；（2）构造直角三角形，求一个角的正切值.试题解析：(1)证明：四边形为正方形，又，又，(ASA)，.证明：，点为中点，又，从而，又，即，由，得.由知，.(2)解：(方法一)延长，交于点(如图1)，由于四边形是正方形，所以，又，故，即，由知，又，不妨假设正方形边长为1，设，则由，得，解得，(舍去)，于是,(方法二)不妨假设正方形边长为1，设，则由，得，解得，(舍去)，即，作交于(如图2)，则，设，
5、则，即，解得，从而，此时点在以为直径的圆上，是直角三角形，且，由(1)知，于是.考点： （1）全等三角形的判定；（2）相似三角形的判定及性质；（3）求一个角的三角函数值.3如图1，RtABC中，ACB=90，点D为边AC上一点，DEAB于点E，点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F（1）求证：CM=EM；（2）若BAC=50，求EMF的大小；（3）如图2，若DAECEM，点N为CM的中点，求证：ANEM【答案】（1）证明见解析；（2）EMF=100；（3）证明见解析.【详解】【分析】（1）在RtDCB和RtDEB中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行证明即可得；（2）根据直角三角形两锐角
6、互余可得ABC=40，根据CM=MB，可得MCB=CBM，从而可得CMD=2CBM，继而可得CME=2CBA=80，根据邻补角的定义即可求得EMF的度数；（3）由DAECEM，CM=EM，DEA=90，结合CM=DM以及已知条件可得DEM是等边三角形，从而可得EDM=60，MBE=30，继而可得ACM=75，连接AM，结合AE=EM=MB，可推导得出AC=AM，根据N为CM中点，可得ANCM，再根据CMEM，即可得出ANEM.【详解】（1）M为BD中点，RtDCB中，MC=BD，RtDEB中，EM=BD，MC=ME；（2）BAC=50，ACB=90，ABC=90-50=40，CM=MB，MCB
7、=CBM，CMD=MCB+CBM=2CBM，同理，DME=2EBM，CME=2CBA=80，EMF=180-80=100；（3）DAECEM，CM=EM，AE=EM，DE=CM，CME=DEA=90，ECM=ADE，CM=EM，AE=ED，DAE=ADE=45，ABC=45，ECM=45，又CM=ME=BD=DM，DE=EM=DM，DEM是等边三角形，EDM=60，MBE=30，CM=BM，BCM=CBM，MCB+ACE=45，CBM+MBE=45，ACE=MBE=30，ACM=ACE+ECM=75，连接AM，AE=EM=MB，MEB=EBM=30，AME=MEB=15，CME=90，CMA=
8、90-15=75=ACM，AC=AM，N为CM中点，ANCM，CMEM，ANCM. 【点睛】本题考查了三角形全等的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质等，综合性较强，正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.4如图，RtABC中，ACB=90，AC=BC，P为ABC内部一点，且APB=BPC=135（1）求证：PABPBC（2）求证：PA=2PC（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2h3【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【分析】（1）结合题意，易得ABC=45=PBA+PBC，然后由APB=
9、BPC=135即可证明PABPBC；（2）根据（1）中PABPBC，可得，然后由ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC；（3）过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，首先由RtAEPRtCDP得出，即，再根据PABPBC可得出，整理即可得到.【详解】解：（1）ACB=90，AC=BC，ABC=45=PBA+PBC又APB=135，PAB+PBA=45，PBC=PAB，又APB=BPC=135，PABPBC；（2）PABPBC，在RtABC中，AC=BC，, PA=2PC；（3） 过点P作PDBC，PEAC交BC、AC于点D，E，CPB+APB=135+135=270，APC
10、=90，EAP+ACP=90,又ACB=ACP+PCD=90EAP=PCD，RtAEPRtCDP，即，PABPBC，即.【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，其中第（3）问有一定难度，通过作辅助线构造出RtAEPRtCDP是解题关键.5如图1已知四边形是矩形点在的延长线上与相交于点，与相交于点求证：；若，求的长；如图2，连接，求证：【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【分析】（1）由矩形的形及已知证得EAFDAB，则有E=ADB，进而证得EGB=90即可证得结论；（2）设AE=x，利用矩形性质知AFBC，则有，进而得到x的方程，解之即可
11、；（3）在EF上截取EH=DG，进而证明EHADGA，得到EAH=DAG，AH=AG，则证得HAG为等腰直角三角形，即可得证结论【详解】（1）四边形ABCD是矩形，BAD=EAD=90，AO=BC，ADBC，在EAF和DAB，EAFDAB(SAS)，E=BDA，BDA+ABD=90，E+ABD=90，EGB=90，BGEC；（2）设AE=x，则EB=1+x，BC=AD=AE=x，AFBC，E=E，EAFEBC，又AF=AB=1，即，解得：，（舍去）即AE=；（3）在EG上截取EH=DG，连接AH，在EAH和DAG，EAHDAG(SAS)，EAH=DAG，AH=AG，EAH+DAH=90，DAG
12、+DAH=90，HAG=90，GAH是等腰直角三角形，即，GH=AG，GH=EG-EH=EG-DG，【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，涉及知识面广，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用截长补短等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算6如图1，在四边形ABCD中，点E在边BC上，且，作交线段AE于点F，连接BF（1）求证：；（2）如图2，若，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值【答案】（1）见解析；（2）6；（3）【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得；（2）证明，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长BM、ED交于点G易证，可得；设，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值【详解】（1）证明：，；，四边形AFCD是平行四边形在与中，（2），在中，又，在与中，；，；，；，或（舍）；（3）延长BM、ED交于点G与均为等腰三角形，设，则，；在与中，；，（舍），【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键
