几何综合题2022年一模（解析版）.docx

1、几何综合题2022年一模1如图，点E是正方形ABCD内一动点，满足AEB90且BAE45，过点D作DFBE交BE的延长线于点F（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段EF，DF，BE之间的数量关系，并证明；（3）连接CE，若AB2，请直接写出线段CE长度的最小值【答案】（1）见解析；（2）EFDF+BE，证明见解析；（3）CE的最小值为【分析】（1）依题意补全图形；（2）过点A作AMFD交FD的延长线于点M，可证四边形AEFM是矩形，由“AAS”可证AEBAMD，可得BEDM，AEAM，可证矩形AEFM是正方形，可得EFMF，可得结论；（3）取AB中点O，连接OC，由勾股定理可求OC5，由点

2、E在以O为圆心，OB为半径的圆上，可得当点E在OC上时，CE有最小值，即可求解【详解】解：（1）依题意补全图形，如图，（2）线段EF，DF，BE的数量关系为：EFDF+BE，理由如下：如图，过点A作AMFD交FD的延长线于点M，MFAEF90，四边形AEFM是矩形，DAE+MAD90，四边形ABCD是正方形，BAE+DAE90，ABAD，BAEMAD又AEBM90，AEBAMD（AAS）BEDM，AEAM，矩形AEFM是正方形，EFMF，MFDF+DM，EFDF+BE；（3）如图，取AB中点O，连接OC，AB2OB，OC5，AEB90，点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，当点E在OC上时，CE

3、有最小值，CE的最小值为【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，确定点E的运动轨迹是本题的关键2如图1，在ABC中，ABC=90，BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90得到线段AD，E是边BC上的一动点，连结DE交AC于点F，连结BF.(1)求证：FB=FD；(2)如图2，连结CD，点H在线段BE上（不含端点），且BH=CE，连结AH交BF于点N. 判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；连接CN若AB=2，请直接写出线段CN长度的最小值.【答案】（1）见解析；（2）AHBF，见解析；.【分析】（1）证明FADFAB（SA

4、S）即可解决问题（2）首先证明四边形ABCD是正方形，再证明BAH=CBF即可解决问题如图3中，取AB的中点O，连接ON，OC理由三角形的三边关系解决问题即可【详解】（1）证明：如图1中，BA=BC，ABC=90，BAC=ACB=45，线段AB绕点A逆时针旋转90得到线段AD，BAD=90，BA=AD，FAD=FAB=45，AF=AF，FADFAB（SAS），BF=DF（2）解：结论：AHBF理由：如图2中，连接CDABC+BAD=180，ADBC，AD=AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，ABC=90，四边形ABCD是矩形，AB=BC，四边形ABCD是正方形，BA=CD，ABH=DCE，

5、BH=CE，ABHDCE（SAS），BAH=CDE，FCD=FCB=45，CF=CF，CD=CB，CFDCFB（SAS），CDF=CBF，BAH=CBF，CBF+ABF=90，BAH+ABF=90，ANB=90，AHBF如图3中，取AB的中点O，连接ON，OCANB=90，AO=OB，ON=AB=1，在RtOBC中，OC=，CNOC-ON，CN-1，CN的最小值为-1【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题.3如图，ACB中，D为边BC上一点（不与点C重

6、合），点E在AD的延长线上，且，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F(1)依题意补全图形；(2)求证：；(3)用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题目步骤作图即可；（2）过E作EMBC于M，先由中线倍长证明，得到，再证明，得到；（3）由（2）中全等可得到，即可推理出（1）依题意补全图形如下：（2）过E作EMBC于M在和中(AAS)BEBF在和中 (ASA)，（3），证明如下：由（2）得，【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，解题的关键是根据倍长中线模型作垂直构造全等4如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一

7、点（），连接BE，DE(1)求证：；(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG依题意补全图形；用等式表示BE与DG的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)见解析；【分析】（1）根据正方形的性质可得依据SAS证明即可得出结论；（2）根据题中作图步骤补全图形即可；连接EG，证明,得GE=BE,，由（1）得 再运用勾股定理可得出结论（1）四边形ABCD是正方形，AC是正方形的对角线，在和中，（2）补全图形如下：连接GE，如图，又，由（1）知：，即，由勾股定理得，【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键5已知，如图，线段BA绕

8、点A逆时针旋转90得到线段AC连接BC，OA，OC，过点O作于点D(1)依题意补全图形；(2)求的度数【答案】(1)作图见解析；(2)DOC=15【分析】（1）由题意，只要过点O作于点D即可(2) 过点A作AEBO于E，由题意可得1=30，2=15，3=15，证明AD=DC，可得到DOC=AOD，从而得解（1）解：由题意可以补全图形如下：（2）解：如图，过点A作AEBO于E，AEB=90，ABO=150，1=30，BAE=60，又BA=BO，2=3=15，OAE=75，BAC=90，4=75，OAE=4，ODAC于点D，AEO=ADO=90，在AOE和AOD中，AOEAOD，AE=AD，在Rt

9、ABE中，1=30，AE=AB，又AB=AC，AE=AD=AB=AC，AD=CD，又ADO=CDO=90，OA=OC，DCO=4=75，DOC=15【点睛】本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键6如图，在ABC中，ABAC，BAC，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180得到线段AE，连接BE(1)BAC+DAE ；(2)取CD中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明【答案】(1)180(2)，证明见解析；【分析】（1）由旋转可知DAE=1

10、80-a，所以得到：BAC+DAE=a+180-a=180；（2）连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；因为DF=CF，AF=GF；可以得到四变形ADGC为平行四边形；从而有DAC+ACG=180，再证ACG=BAE继而证明ABECAG得到BE=AG，即可得线段AF与BE的数量关系；（1）解：由旋转可知DAE=180-a，BAC+DAE=a+180-a=180故答案为：180（2）解：如图所示：连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；DF=CF，AF=GF；四变形ADGC为平行四边形；DAC+ACG=180，即ACG=180-DAC，BAE=BAC+DAE-DAC=180-DAC

11、，所以ACG=BAE，四变形ADGC为平行四边形；AD=CG，又AD=AE，AE=CG，在ABE和CAG中， ABECAG，BE=AG，AF=AG=BE， 故线段AF与BE的数量关系：AF=；【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，以及全等三角形的性质的判定，解题的关键是熟悉并灵活应用以上性质7如图，在中，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90，得到线段BE，连接AE(1)依题意补全图形；求的度数；(2)取AD中点F，连接BF，CE，猜想CE与BF之间的位置关系与数量关系，并证明【答案】(1)作图见解析；(2)； ；证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；连接AE，由旋转可

12、证，根据全等的性质得到，便可得出（2）如图，延长至点，使,得到BF为 的中位线，则，.再由旋转证得.根据全等的性质得到AG=CF,从而得到CF=2BF再根据全等的性质得到,根据中位线的性质得到,则，从而得到（1）如图所示，将BD绕B逆时针旋转90，即EBD=90，又ABC=90，即作EBA=CBD即可证明：由旋转得BD=BE，,由题得：AB=BC, ,在ABE和CBD中，（SAS），（2）解：，证明：如图，延长至点，使，B为GD中点BF为AGD的中位线，AG=2BF,AGBF由（1）得BE=BD，,则BG=BE，,在ABG和CBE中，(SAS)AG=CECE=2BFAGBF,又, ，CE=2B

13、F，【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，以及中位线和等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明全等是解题的关键8如图，在三角形中，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F(1)依题意补全图形，写出_(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明【答案】(1)图见解析，(2)，(3)，证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，补全图形即可；（2）根据等腰三角形三线合一的性质，求得BAD=BAC，由旋转的性质可得ABE=E，由三角形内角和定理在ABE中，ABE+E+BAC=180-CAE，便可求得BAF+ABF，再由三角形外角的性质可

14、得FBC；（3）在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，由ABFAEM求得AF=AM，BAF=EAM，再由CAE=60可得AFM是等边三角形，便可解答；（1）解：如图分别以A，C为圆心，以AC为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AD于点F，则CAE=60；（2）解：，是边的高线，线段绕点A逆时针旋转得到线段，又，在中，又是边的高线，BFD=BAF+ABF，（3）解：如图，在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，AB=AE，ABF=AEM，BF=EM，ABFAEM（SAS），AF=AM，BAF=EAM，DAC=BAF，DAC=EAM，CAE=60，FAM=60，AFM是等边三角形，FM=AF，A

15、F+BF=EF；【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形判定的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质；熟练掌握相关性质是解题关键9如图，在ABC中，ACB90，ACBC，点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线CD，过点A作AECD于E，在线段AE上截取EFEC，连接BF交CD于G(1)依题意补全图形；(2)求证：CAEBCD；(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据垂线的定义，等角的余角相等即可证明；（3）过点作于点，则，证明，结合已知条件EFEC，证明，即

16、可得到（1）如图所示，（2），即CAEBCD（3），理由如下，如图，过点作于点，则，由（2）可知，又，又，【点睛】本题考查了画垂线，线段，等角的余角相等，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键10如图，在等边中，将线段绕点顺时针旋转，得到线段连接，作的平分线，交于(1)根据题意，补全图形；请用等式写出与的数量关系，并证明(2)分别延长和交于点，用等式表示线段，的数量关系，并证明【答案】(1)见解析，BAD2BCD，证明见解析；(2)，证明见解析【分析】（1）按照题意补全图形即可，由旋转的性质可知ADAC，CAD，ADC是等腰三角形，ADCACD90，由ABC是

17、等边三角形得BCD30，BAD2（30），得到结论；（2），连接GF，在AF上截取FGDF，分别证明ABFADF（SAS），DFG是等边三角形，BCFDAG（AAS）， 得到CFAG，即可得到结论(1)解：补全图形如图1， BAD2BCD证明：由旋转的性质可知ADAC，CAD， ADC是等腰三角形ADCACD（180CAD）（180）90ABC是等边三角形BACACB60，ABBCACADBCDADCACB（90）6030BADBACCAD602（30）BAD2BCD(2)解：，理由如下：如图2，连接GF，在AF上截取FGDF，AE平分BADBAFDAFBADABAC，ACADABAD又AFA

18、FABFADF（SAS）BFDFBAD2BCDBCDBADBCDBAFDAFBAFABCAEB180，BCDCFECEF180，AEBCEFCFGABC60AFBAFD60BFCAFBAFD120FGDFDFG是等边三角形DGDFBF，DGF60，AGD180DGF120AGDCFB在BCF和DAG中， BCFDAG（AAS）CFAGAFAGFGCFDF即AFCFDF【点睛】本题考查了图形的旋转、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，添加适当的辅助线是解答此题的关键11已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60，得到线段AC

19、；再将线段BP绕点B逆时针旋转120，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM/BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）由旋转可得，是等边三角形，则，所以（2）延长至点，使得，连接，可证是等边三角形且点是的中点，则有，（1）解：由题意可得，且，是等边三角形，又，（2）解：猜想，理由如下：如图2，延长至点，使得，连接，四边形是平行四边形，是等边三角形，是等边三角形，【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形，等边三角形的性质与判定，平行四边

20、形，解题的关键是构造合适辅助线12已知：等边ABC，过点B作AC的平行线l点P为射线AB上一个动点（不与点A，B重合），将射线PC绕点P顺时针旋转60交直线l于点D(1)如图1，点P在线段AB上时，依题意补全图形；求证：BDP=PCB；用等式表示线段BC，BD，BP之间的数里关系，并证明；(2)点P在线段AB的延长线上，直接写出线段BC，BD，BP之间的数量关系【答案】(1)见解析；BC=BD+BP，证明见解析(2)BC=BDBP【分析】（1）根据题意补全图形即可；根据等边三角形的性质、平行线的性质及旋转的性质得出DPE=CPE=60，进而可得结论；在BC上取一点Q使得BQ=BP，证明PBQ是

21、等边三角形，再证明PBDPQC，即可得到BC=BD+BP；（2）在BD上取一点E使得BE=BP，证明PBE是等边三角形，再证明CBPDEP，即可得到BC=BDBP（1）补全图形如图所示，证明：设PD交BC于点E，ABC是等边三角形，BAC=ABC=ACB=60，将射线PC绕点P顺时针旋转60，DPC=60，l/AC，DBE=ACB=60，DBE=CPE=60，BED=PEC，BDP=PCB；解：BC=BD+BP，理由如下：在BC上取一点Q使得BQ=BP，连接PQ，ABC=60，PBQ是等边三角形，PB=PQ，BPQ=60，BPD=CPQ，又BDP=PCB，PBDPQC，BD=QC，BC=BQ+

22、QC，BC=BD+BP；（2）解：BC=BDBP，理由如下：在BD上取一点E使得BE=BP，连接PE，ABC=ACB=60，l/AC，DBC=ACB=60，PBD=180-DBC-ACB=60，PBE是等边三角形，PB=PE，BEP=BPE=60，CBP=DEP=180-60=120，BPC+CPE=EPD+CPE=60，CBP=DEP，BPC=EPD，CBPDEP，BC=DE，BD=BE+ED，BC=BD-BP【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定与性质是解本题的关键13在中，D是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得

23、到线段，作交直线于点E(1)如图，若，依题意补全图形；用等式表示线段之间的数量关系，并证明；(2)若，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由：若不成立，直接用等式表示线段之间新的数量关系（不需证明）【答案】(1)见解析； ，理由见解析(2)不成立，【分析】（1）根据题意作图即可；连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案；（2）连接，由折叠的性质可证，推出，再由平行线的性质及等腰直角三角形的性质得出，即可推出答案（1）补全图形如图所示： ，理由如下：如图，连接 ，将线段沿所在直线翻折，得到线段， ，又 ， ， ， D是的中点， ，即， ， ，；（2）

24、不成立，理由如下：如图，连接，将线段沿所在直线翻折，得到线段， ，又 ， ， D是的中点， ， ，即， ， ，【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键14如图，正方形ABCD中，P为BD上一动点，过点P作交CD边于点Q(1)求证：；(2)用等式表示PB、PD、AQ之间的数量关系，并证明；(3)点P从点B出发，沿BD方向移动，若移动的路径长为4，则AQ的中点M移动的路径长为 （直接写出答案）【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）过P点作 垂足分别为E、F，由正方形性质和同角余角相等，易证得： ，即可得证

25、（2）延长FP，交AB于G，则 ，由等腰直角三角形和勾股定理以及等量代换即可求得（3）根据题意，画出运动后的M点位置，再根据三角形中位线定理即可求得(1)证明：过P点作 垂足分别为E、F，正方形ABCD， ， ， ，则四边形PEDF为正方形， ， ， ， 在和中 ， ；，(2)延长FP，交AB于G，正方形ABCD， ， ， 为等腰直角三角形，正方形ABCD，四边形BGFC为矩形，四边形GAEP为矩形， ， 为等腰直角三角形， ，由（1）得，是等腰直角三角形， ，在直角三角形AGP中， ， ， ；(3)当P在B点时，Q应该在C点，所以M应与O点重合，所以当P移动使得BP=4时，OM即为AQ中点移

26、动的距离，由（2）可得：CF=BG= ，正方形ABCD， ， O是AC中点， ， ，在等腰三角形PCQ 中， ， ，O是AC中点，M是AQ中点， 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理以及勾股定理，并且考查了等量代换和动点问题，综合掌握以上性质和判定，并能熟练运用是解题关键15已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分ABC，AB=4，则AEC=_，四边形ABCE的面积为_；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，在图2中依

27、题意补全图形，并求AEC的度数；作EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明【答案】(1)135，(2)作图见解析，45；【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，继而可证明，便可求解；（2）根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；过点B作 垂足为H，由等腰三角形的性质得到 ，再证明 即可得到 ，再推出 为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系（1）过点E作于点K 四边形ABCD

28、是正方形 BE平分ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE ， ，四边形ABCE的面积为 故答案为：135，（2）作图如下 四边形ABCD是正方形 由旋转可得， ，理由如下：如图，过点B作 垂足为H ，EBC的平分线BF交EC于点G 为等腰直角三角形 即【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键16如图，在中，CD是斜边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于点E，F，连接DE，DF(1)求EDF的度数；(2)

29、用等式表示线段AE，BF，EF之间的数量关系，并证明【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，即可求解；（2）延长DE，使得DE=DG，连接FG、BG，构造并证明，得到对应的线段和角相等，从而得到，根据勾股定理，即可的AE，BF，EF之间的数量关系；（1）EF垂直平分CD（2）如图，延长DE，使得DE=DG，连接FG、BGD是AB的中点，【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的全等证明、勾股定理，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键17在中，D为边BC上一动点，点E在边AC上，点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接

30、PE，PF，EF(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例【答案】(1)，(2)成立，证明见解析【分析】（1）由题意知三点重合，则，含30的直角三角形中，由，可知，是的中位线，有，然后求出比值即可；（2）如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，是等边三角形，四边形是矩形，设，则，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，在中，由勾股定理得，求出用表示的的值，求出可得的值，进而可得的值，根据

31、与的数量关系判断与的位置关系即可（1）解：，理由如下：由题意知三点重合，为线段的中点是中点是的中位线，（2）解：，的关系仍成立证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，是等边三角形，四边形是矩形，设，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得【点睛】本题考查了含30的直角三角形，中位线，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边三角形、矩形的判定与性质等知识解题的关键在于表示出与的长度18如图，在中，ACB90，ACBC点D是BC延长线上一点，连接AD将线段AD绕点A逆时针旋转90，得到线段AE过点E作，交AB于点F(1)直接写出AFE的度数是_；求证：DACE；(

32、2)用等式表示线段AF与DC的数量关系，并证明【答案】(1)；见解析(2)；证明见解析【分析】（1）根据AC=BC，ACB=90，得出，根据，得出，即可得出的度数；延长EF交EF于点G，并得出，由，得出DACE；（2）先证明，得出，根据得出，从而得出，即可得出（1）解：AC=BC，ACB=90，；延长EF交EF于点G，如图所示：，将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，；（2）；理由如下：将线段AD绕点A逆时针旋转90得到线段AE，在和中，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，旋转的性质，作出相应的辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方

33、法是解题的关键19在中，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B逆时针旋转90，得到线段BE，连接DE(1)请补全图形；写出CD，AD，ED之间的数量关系，并证明；(2)取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明【答案】(1)见解析；，证明见解析(2)位置关系：，数量关系：，证明见解析【分析】（1）根据题意作图即可；连接，证明，可得，进而证明是直角三角形，从而得到，根据，即可证明；（2）如图，连接，过点作分别交于点，设与交于点，连接，设，则，证明，可得，即可证明，根据全等的性质以及直角三角形斜边上的中线可得，即可得（1）如图，证明如下，如图，连接，依题意，是直角三角

34、形，（2）位置关系：，数量关系：，理由如下，如图，连接，过点作分别交于点，设与交于点，连接，是的垂直平分线， ，设，则，是直角三角形， 是的中点，是的中点，由（1）可知，点是的中点，点是的中点，在和中，即，【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理与三角形的外角性质，垂直平分线的性质，证明是解题的关键20如图，在正方形中，动点从点出发，以每秒2个单位的速度，沿线段方向匀速运动，到达点停止连接交于点，以为直径作交于点，连接、(1)求证：为等腰直角三角形；(2)若点的运动时间为秒当为何值时，点恰好为的一个三

35、等分点；将沿翻折，得到，当点恰好落在上时，求的值【答案】(1)证明见解析(2)=1；【分析】（1）根据正方形的性质可得DAF=45，根据圆周角定理的推论可证明DFP=90，DPF=45，根据三角形内角和定理可得FDP=45，再结合等角对等边即可证明（2）根据点E为AC的三等分点确定，根据正方形的性质，相似三角形的判定定理和性质求出AP的长度，再结合点P的运动速度即可求解连接EQ，根据轴对称的性质确定EPQ=90，EQFP，根据平行线的判定定理和性质确定PEQ=45，结合三角形内角和定理和等角对等边确定PQ=PE，根据点P的运动速度，运动时间和正方形的性质，用t表示出PB和DA的长度，根据相似三

36、角形的性质和等价代换思想用DP表示PQ，最后根据相似三角形的判定定理和性质列出比例式即可求解（1）证明：DP是的直径，DFP=90四边形ABCD是正方形，DAB=90，AC平分DABDAF=45DAF和DPF都是所对的圆周角，DPF=DAF=45FDP=180-DFP-DPF=45DPF=FDPFD=FPDPF为等腰直角三角形（2）解：点E为AC的一个三等分点，且点P在线段AB上运动，四边形ABCD是正方形，AB=4，CD=AB=4EAP=ECD，EPA=EDCAP=2点P的速度是每秒2个单位，当=1时，点恰好为的一个三等分点如下图所示，连接EQEFP沿PF翻折得到QFP，EQFP，QPF=D

37、PF=45EPQ=QPF+DPF=90DFP=90，PEQ=FDP=45PQE=180-EPQ-PEQ=45PEQ=PQEPQ=PE点P的速度是每秒2个单位，点P的运动时间为t秒，AP=2tPB=AB-AP=4-2t，CD=4，四边形ABCD是正方形，AB=4，DAP=PBQ=90，DA=AB=4ADP+APD=90EPQ=90，APD+BPQ=90ADP=BPQ解得，（舍）【点睛】本题考查正方形的性质，圆周角定理的推论，等角对等边，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，平行线的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键21是等边三角形，点P在的延长线上，以P为中心，将线段逆时针旋转n（

38、）得线段，连接，（1）如图，若，画出当时的图形，并写出此时n的值；（2）M为线段的中点，连接写出一个n的值，使得对于延长线上任意一点P，总有，并说明理由【答案】（1）60；（2）n=120，理由见详解.【分析】（1）由是等边三角形，得BAC=ACB=60，由，得PBQ=CPA=30，进而得到BPC=60，即可求解；（2）以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，设点B（a，0），点P（x，0），根据坐标系中，中点坐标公式和两点间的距离公式，分别表示出MP，AP的长度，即可.【详解】如图1，若，当时，n=60，理由如下：是等边三角形，BAC=ACB=60，CAP=CPA=

39、30，PBQ=CPA=30，Q=90，BPC=180-Q -PBQ =180-90-30= 60，n=60；（2）当n=120时，对于延长线上任意一点P，总有，理由如下：以点C为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图2，设点B（a，0），点P（x，0），PQ=PC=x，CPQ=120，NPQ=180-120=60，过点Q作QHx轴，则PH=x，QH=x,点Q坐标为（，），点M时BQ的中点，点M的坐标为： 过点A作AEx轴，则CE=CB，AE=CE，点A坐标为： ，AP=MP=，即：.图1图2【点睛】本题主要考查等边三角形和含30角的直角三角形的性质，画出图形，建立合适的平面直角坐标系，把几何问题化为代数问题，用数形结合的思想方法，是解题的关键.