几何综合题2021年一模（解析版）.docx

1、几何综合题2021年一模1如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，点P在AD边上，连接BP，过点D作BP的垂线交BP的延长线于点E，连接BD（1）连接AE，过点A作AFAE交BE于点F若，求sinDBE的值；求证：DE=2BF（2）如图2，在BE的延长线上取一点G，连接DG，若GDE=ADB，取BG的中点M，连接AM，求证：AM=（BE-GE）【答案】（1）；证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）设AB=a，则AD=2a，PD=a，PA=a，先由勾股定理得PB=a，BD=a，再证PDEPBA，得DE：AB=PD：PB，则DE=a，即可求解；先由相似三角形的性质得PDE=ABF，再证ABFA

2、DE，得DE：BF=AD：AB=2，即可得出结论；（2）连接AE，过点A作AFAE交BE于点F，先证DEGDAB，得DE：GE=AD：AB=2，则DE=2GE，得BF=GE，再证点M是EF的中点，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论【详解】解：（1）设AB=a，则AD=2a，PD=a，PA=a，四边形ABCD是矩形，PAB=90，由勾股定理得：，DEBP，PED=PAB=90，又DPE=APB，PDEPBA，DE：AB=PD：PB，即，解得：，；证明：PDEPAB，PDE=ABF，AFAE，EAF=90，DAE+PAF=BAF+PAF=90，DAE=BAF，ABFADE，DE：BF=A

3、D：AB=2，DE=2BF；（2）证明：连接AE，过点A作AFAE交BE于点F，如图所示：GDE=ADB，DEG=DAB=90，DEGDAB，DE：GE=AD：AB=2，DE=2GE，由（1）得：DE=2BF，BF=GE，点M是BG的中点，MG=MB，ME=MF，点M是EF的中点，AM=EF=（BE-GE）【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理以及证明三角形相似是解题的关键2如图，与均为等边三角形，点E，F分别在边上，且，连接相交于点G，连接并延长交于点H（

4、1）求的度数；（2）求证：；（3）若H为的中点，求的值【答案】（1）60；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据SAS证明得，再由三角形的外角性质可得结论；（2）延长至点M，使，得为等边三角形，进一步得出，根据SAS可证明，得到，从而进一步得到结论；（3）证明得，证明得，故可得，由H为的中点可得结论【详解】（1）证明：是等边三角形，在和中，；， （2）证明：延长至点M，使由（1）知，为等边三角形，为等边三角形，即在和中；，又，（3）解：由（2）得， ，即，即， 又H为的中点，【点睛】本题属于三角形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等

5、知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题3如图1，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，延长BE交CD的延长线于点F，点P是线段EF上的一点，延长PD交BC的延长线于点Q（1）如图1，若P是线段EF的中点，求证：DECQ；如图2，若AB4，BC8，PFCQ，求CQ的长；（2）如图3，连接AP、AQ，求证：AD平分PAQ【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证ABEDFE，由全等三角形的性质得BEEF，根据P是线段EF的中点可得出BP3PE，由矩形的性质得ADBC2DE，ADBC，根据平行线分线段成比例定理可得，即BQ3DE，即可求证；设PFCQx，则BQ8+x

6、，由题意得AEDE4，根据勾股定理得出，由ABEDFE可得，则，根据平行线分线段成比例定理可得，得出关于x的方程，解方程即可；（2）过点P作PHAD于H，设ABm，BCn，PEx，表示出AB，BQ，PH，AH，根据tanAQBtanPAH得出AQBPAH，再根据平行线的性质得出DAQAQB，即可得出结论【详解】证明：（1）四边形ABCD是矩形， ADBC，ADBC，AEDF90，点E是边AD的中点，AEDE，ADBC2DE，在ABE和DFE中， ABEDFE（ASA），BEFE，P是线段EF的中点，BEEF2PE，PB3PE，ADBC，BQ3DE，BC2DE，DECQ；设PFCQx，则BQ8+

7、x，AB4，BC8，E是边AD的中点，四边形ABCD是矩形，ADBC8，AEDE4，A90，由知ABEDFE， ，ADBC，即，解得：，；（2）过点P作PHAD于H，如图所示:设ABm，BCn，PEx，ADBC， ， ， ， PHAD，PHAB， ， ， ，tanAQBtanPAH，AQBPAH，ADBC，DAQAQB，DAQPAH，AD平分PAQ【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会熟练掌握矩形的性质，利用锐角三角函数解决问题4如图，和中，（1）则的长为_（直接写出结果）；（2）如图，将绕点A顺时针旋转至，使

8、恰好在线段的延长线上求的长；若点E是线段的中点，求证：【答案】（1）；（2）；证明见解析【分析】（1）设BD交AC于点O证明四边形ABCD是平行四边形，推出OD=OB，求出OD，可得结论（2）如图中，过点A作AHBC于H利用勾股定理求出HD，可得结论如图中，过点C作CTCA交CA的延长线于T通过计算证明CD=CC，再利用等腰三角形的三线合一的性质，即可解决问题【详解】解：如答题图中，设BD交AC于点O DCA=CAB=90，CDAB，CD=AB，四边形ABCD是平行四边形，OA=OC=1，OD=OB，AD=BC，BD=2OD=故答案为：（2）解：如答题图中，过点A作AHBC于H AB=AC=2

9、，BAC=90，AHBC，BC=，CH=HB=，AH=BC=，AD=BC，AD=2AH，ADH=30，DH=AH=，BD=DH-BH=证明：如答题图中，过点C作CTCA交CA的延长线于T，连接CC由可知，ADH=30，ABC=BAD+ADH=45，BAD=15，CAD=45，CAT=180-90-15-45=30，TC=AC=1，AT=，CT=2+，CD=CC，EC=ED，ECCD【点睛】本题属于旋转综合题，考查了平行四边形的判定和性质，含30的直角三角形性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型5如图，等腰满足，点D是中点，延

10、长至E，使得，交于点F（1）求证：（2）若上有点G，满足，求证：在的基础上，若分别交、于M、N，当时，请直接写出的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）过D作，交BE于K，易知：，从而根据中位线定理即可证明；（2）A，G，C三点共圆，利用圆心角与圆周角的关系即可证明；如图所示，以B为原点，以BC为x轴建立直角坐标系，然后求出MN两点的坐标，然后根据距离公式求解即可【详解】（1）证明：过D作，交BE于K点D是BC中点，点K是AB中点（中位线定理）AK=BK，BD=CD又BA=BCAE=BD故又（2）A，G，C以B为圆心，半径为的圆上，即过E作交于H点，点D是BC中点，ED=EC，

11、如图所示，以B为原点，以BC为x轴建立直角坐标系所以B（0，0）、D（1，0）、C（2，0）、E（，）、A（1，）设直线EC的解析式为解得直线EC的解析式为同理直线ED的解析式为，直线AC的解析式为解得（舍去），代入，得G点坐标为（，）同理可以算出BG的解析式为解得M点坐标为（，）同理可以得到N点坐标为（，）【点睛】本题主要考查了中位线定理，圆周角与圆心角之间的关系，三角函数和勾股定理以及一次函数和距离公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识点6如图，在矩形中，的直角顶点在边上，的平分线交于点，交边于点（1）若点为中点，求证：；（2）若，求证：；（3）若，求的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；

12、（3）6【分析】（1）根据矩形的性质证明即可；（2）作，垂足为点，证明，再根据正弦的定义和平行线分线段成比例定理求解即可；（3）连接，证明四边形为菱形，得到，即可求解；【详解】（1）证明：在矩形中，点为中点，在和中，；（2）证明：如图，作，垂足为点，平分，；（3）解：如图，连接，由（2）知，四边形为菱形，；【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合三角函数的定义、相似三角形的判定与性质计算是解题的关键7【问题提出】已知一个三角形的三条边长，怎样求出其内角平分线的长度？【问题转化】（1）已知：如图1，中，是内角平分线求证：；（2）已知：如图2，内接于，延长的内角平分线交于点求证：；【问题解决】（3）

13、已知：如图3，中，是的内角平分线求的长；（4）已知：如图3，中，是的内角平分线请直接写出求的计算公式：_【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）【分析】（1）过点C作CEAB交BA的延长线于点E，得到，进而求解；（2）证明ABDCED，则BDCDADDE，同理可得：ABDAEC，故ABACADAE，即可求解；（3）由（1）知，而BC5，故BD3，CD2，则AD2ABACBDCD24618；（4）由（1）知，则BDAC，则BC，由AD2ABACBDCDbc，即可求解【详解】解：（1）过点C作CEAB交BA的延长线于点E，DACACE，BADEAD是内角平分线，BADDAC，EACE，AEAC，故；（2）连接CE，AECABC，BADECD，ABDCED，即BDCDADDE，同理可得：ABDAEC，故ABACADAE，即ABACAD（AD+DE）AD2+ADEDAD2+BCCD，AD2ABACBDCD；（3）由（1）知，而BC5，故BD3，CD2，则AD2ABACBDCD24618，AD3；（4）由（1）知，BDAC，则BC，AD2ABACBDCDbc，AD，故答案为【点睛】本题为圆的综合题，主要考查了三角形相似、圆的基本知识、角平分线的性质等，图形的平移、面积的计算等，这种探究性的题目，通常按照题设的顺序逐次求解一般比较容易求解