1、章末复习提升课第3章 空间向量与立体几何栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何1空间向量运算的坐标表示设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3.(2)重要结论ababa1b1，a2b2，a3b3(R)；abab0a1b1a2b2a3b30.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体
2、几何2模、夹角和距离公式(1)设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|aa a21a22a23；cosa，b ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a21a22a23 b21b22b23.(2)设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|AB|（a2a1）2（b2b1）2（c2c1）2.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何3空间向量的运算与线面位置关系的判定(1)设直线 l 的方向向量是 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量 v(a2，b2，c2)，则 luvuv0a1a2b1b2c1c20，luvukv
3、(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)a1ka2，b1kb2，c1kc2(kR)栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何(2)设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面，的法向量分别为 u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何1关注零向量(1)由于零向量与任意向量平行，所以由 ab，bc 无法推出ac.(2)0a0，而 0a0.2弄清立体几何中的“空间角”与向量“夹角”的联系与区别(1
4、)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去 90为所求的线面角(3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构
5、建第3章 空间向量与立体几何 空间向量与空间位置关系用向量方法证明平行与垂直问题的一般步骤是：(1)建立立体图形与空间向量的关系，利用空间向量表示问题中所涉及到的点、线、面，把立体几何问题转化为空间向量问题(2)通过向量的运算研究平行或垂直关系，有时可借助于方向向量或法向量(3)根据运算结果解释相关的问题栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何 已知，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC90，AB4，CD1，点 M在 PB 上，且 PB4PM，PB 与平面 ABC 成 30角求证：(1)CM平面 PA
6、D；(2)平面 PAB平面 PAD.【证明】如图所示，建立空间直角坐标系(1)因为 PC平面 ABCD，所以PBC 为 PB 与平面 ABC 所成的角，所以PBC30.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何因为|PC|2，所以|BC|2 3，|PB|4，得 D(0，1，0)，B(2 3，0，0)，A(2 3，4，0)，P(0，0，2)又|PB|4|PM|，所以|PM|1，M(32，0，32)，所以CM(32，0，32)，DP(0，1，2)，DA(2 3，3，0)设 N 为 PA 上一点，则存在 x、y 使 DN xDP yDA(其中 x、yR)，
7、则 DN x(0，1，2)y(2 3，3，0)(2 3y，3yx，2x)栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何令 2 3y 32 2x32，得 3yx0，又AN AP，且AN(2 3y2 3，3，2x)，AP(2 3，4，2)，所以(2 3y2 3)(2 3)2x2，由解得 x34，y14.所以当 x34，y14时，CM、DN 共线，所以CM、DP、DA 共面，因为 CM平面 PAD，所以 CM平面 PAD.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何(2)作 BEPA 于 E，|PB|AB|4.所以 E
8、 为 PA 的中点，所以 E(3，2，1)，所以BE(3，2，1)，因为BE DA(3，2，1)(2 3，3，0)0，BE DP(3，2，1)(0，1，2)0，所以 BEDA，BEDP，所以 BE平面 PAD，则平面 PAB平面 PAD.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何【点评】在用向量方法证明平行和垂直时，同样需要立体几何最基本的定理，比如本题中，要证明直线与平面平行，我们现在还没有更好的计算手段，必须依靠直线与平面平行的判定定理来证明直线的方向向量与平面内的某个向量共线，从而得到直线和平面平行栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知
9、识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何 空间向量与空间角(1)求异面直线所成的角设两异面直线的方向向量分别为 n1、n2，那么这两条异面直线所成的角为 n1，n2或 n1，n2，所以 cos|cosn1，n2|.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何(2)求斜线与平面所成的角如图，设平面 的法向量为 n1，斜线 OA 的方向向量为 n2，斜线 OA 与平面所成的角为，则 sin|cosn1，n2|.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何(3)求二面角的大小如图，设平面、的法向量分别为 n1、n2.
10、因为两平面的法向量所成的角(或其补角)就等于平面、所成的锐二面角，所以 cos|cosn1，n2|.(注：其中的n1，n2表示向量 n1 与 n2 所成的角)在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD 中，ABC90，SA面 ABCD，SAABBC1，AD12，求面 SCD 与面 SBA所成的二面角的正切值栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何【解】建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(12，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，1)，面 SAB 的一个法向量是AD(12，0，0)设 n(x，y，z)是面 SCD 的一个法向量，则 n
11、DC，nDS，即 nDC 0，nDS0.又DC(12，1，0)，DS(12，0，1)，所以12xy0，且12xz0，栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何所以 y12x，且 z12x，所以 n(x，x2，x2)，取 x1，得 n(1，12，12)设AD 与 n 所成角为 1，则 cos 1 AD n|AD|n|121211414 63.设二面角为，即 cos 63，所以 tan 22.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何【点评】此题所求的二面角是一个无棱二面角，对于这种求无棱二面角的问题，用空间向
12、量求解时，无需作出二面角的平面角，从而体现了空间向量的重要作用 利用空间向量求距离求点到平面的距离有三种方法：定义法、等体积法及向量法设点 A 到平面 的距离为 d，点 B 是平面 内的任意一点，AB不是平面 的法向量，则 d|AB n|n|(n 为平面 的法向量)栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何 已知空间中点的坐标为 A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，6)，D(5，4，8)，求点 D 到平面 ABC 的距离【解】因为AB(2，2，1)，AC(4，0，5)，设平面 ABC 的法向量 n(x，y，z)，则AB n0AC n0，所
13、以2x2yz04x5z0，所以 x54z，y34z，所以 n54z，34z，z，令 z4，得 n(5，3，4)栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何又AD(7，7，7)，所以点 D 到平面 ABC 的距离 d|AD n|n|352128|25916，所以 d42 25.【点评】用向量的知识来解决立体几何问题是现在高考出题的一个趋势，要将立体几何的问题转化为与向量有关的知识，因为引入向量之后简化了一些繁琐的作辅助线寻找垂线，平面角等步骤，为了更好地利用向量的特点，一般都要在解决的图形中建立坐标系，经常是利用图形中的垂直直线来建坐标系栏目导引知识要点
14、易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何 转化与化归的数学思想解题即是对命题的转化，解题中要注意将立体几何问题向平面几何问题转化，即立体问题平面化在论证线线、线面、面面关系中的平行与垂直问题时，要注意平行与垂直关系的转化，求角与距离时应将空间中的距离与角转化为向量的投影的长度或向量的夹角栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何 如图，在三棱锥 SABC 中，ABC是边长为 4 的正三角形，平面 SAC平面ABC，SASC2 3，M、N 分别为 AB、SB的中点(1)证明：ACSB；(2)求二面角 NCMB 的余弦值；(
15、3)求点 B 到平面 CMN 的距离栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何【解】(1)证明：取 AC 中点 O，连接 OS、OB.因为 SASC，ABBC，所以 ACSO 且 ACBO.因为平面 SAC平面 ABC，平面 SAC平面 ABCAC，所以 SO平面 ABC，所以 SOBO.如图，建立空间直角坐标系 则 A(2，0，0)，B(0，2 3，0)，C(2，0，0)，S(0，0，2 2)，M(1，3，0)，N(0，3，2)栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何所以AC(4，0，0)，SB(0，2
16、 3，2 2)因为AC SB(4，0，0)(0，2 3，2 2)0，所以 ACSB.(2)由(1)得CM(3，3，0)，MN(1，0，2)设 n(x，y，z)为平面 CMN 的一个法向量，则CM n3x 3y0，MN nx 2z0.取 z1，则 x 2，y 6，所以 n(2，6，1)又OS(0，0，2 2)为平面 ABC 的一个法向量，栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何所以 cosn，OS nOS|n|OS|13.(n，OS为向量 n 与OS所成的角)因为 N 的射影落在平面 BCM 上，故二面角 NCMB 为锐二面角，所以二面角 NCMB
17、的余弦值为13.(3)由(1)(2)得MB(1，3，0)，n(2，6，1)为平面 CMN的一个法向量，所以点 B 到平面 CMN 的距离 d|nMB|n|4 23.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何【点评】本题中(2)的求解是将二面角问题转化为两平面法向量的夹角，而(3)中点到平面的距离的求解是将所求距离转化为向量的投影的长度，这两种转化方法是立体几何问题的常见解法，使用这两种方法时要将点的坐标写准，平面的法向量求正确栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何 利用空间向量解决存在性问题存在性问题即
18、在一定条件下论证会不会出现某个结论这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何如图，在三棱锥 P-ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，PO平面 ABC，垂足 O落在线段 AD 上，已知 BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角 A-MC-B 为直二面角？若
19、存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何【解】(1)证明：如图，以 O 为原点，以射线 OD 为 y 轴的正半轴，射线 OP 为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系 则 O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)AP(0，3，4)，BC(8，0，0)，由此可得APBC 0，所以APBC，即 APBC.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何(2)假设存在满足题意的 M，设PM PA，1，则PM(0，3，4)BM BP
20、PM BPPA(4，2，4)(0，3，4)(4，23，44)，AC(4，5，0)栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何设平面 BMC 的法向量 n1(x1，y1，z1)，平面 APC 的法向量 n2(x2，y2，z2)由BM n10，BC n10，得4x1（23）y1（44）z10，8x10，即x10，z12344y1，可取 n10，1，2344.栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何由APn20，AC n20，即3y24z20，4x25y20，得x254y2，z234y2，可取 n2(5，4，3)由 n1n20，得 4323440，解得 25，故 AM3.综上所述，存在点 M 符合题意，AM3.【点评】本题考查空间点、线、面位置关系、二面角的求法以及空间向量的应用，也涉及空间想象能力和运算求解能力，难度适中栏目导引知识要点易错提醒专题突破 链接高考 知识网络体系构建第3章 空间向量与立体几何本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放