1、第二章 空间向量与立体几何A组基础巩固1若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，则能使l的是()Aa(1,0,0)，n(2,0,0)Ba(1,3,5)，n(1,0,1)Ca(0,2,1)，n(1,0，1)Da(1，1,3)，n(0,3,1)解析：la n 0，经检验只有D适合答案：D2已知(3,1,2)，平面的一个法向量为n(2，2,4)，点A不在平面内，则直线AB与平面的位置关系为()AABBABCAB与相交但不垂直DAB解析：因为n2(3)(2)1420，所以n.又点A不在平面内，n为平面的一个法向量，所以AB，故选D.答案：D3已知三条直线l1，l2，l3的一个方向向量分别为a(4，1
2、,0)，b(1,4,5)，c(3,12，9)，则()Al1l2，但l1与l3不垂直Bl1l3，但l1与l2不垂直Cl2l3，但l2与l1不垂直Dl1，l2，l3两两互相垂直解析：ab(4，1,0)(1,4,5)4400，ac(4，1,0)(3,12，9)12120240，bc(1,4,5)(3,12，9)348450，ab，a与c不垂直，bc，l1l2，l2l3，但l1不垂直于l3.答案：A4已知平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，若，则的值是()AB6C6 D.解析：，的法向量与的法向量也互相平行，6.答案：B5.如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的
3、中点，F是AD上一点，当BFPE时，AFFD等于()A12 B11C31 D21解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PAa.则B(1,0,0)，E，P(0,0，a)设点F的坐标为(0，y,0)，则(1，y,0)，.BFPE，0，解得y，则F点坐标为，F为AD中点，AFFD11.答案：B6设两条不重合的直线a，b的方向向量分别是e1，e2，平面的法向量是n，有下面命题：b；ab；b； b.其中，正确命题的序号是_解析：对于，有b，不正确，正确，易判断正确答案：7已知平面，的一个法向量分别是u(1,3,0)，v(3，9,0)，则平面、的关系是_解析：因为v3u，所以vu，所以或与
4、重合答案：平行或重合8若平面1的一个法向量为n1(3，y,2)，平面2的一个法向量为n2(6，2，z)，且12，则yz_.解析：12，n1n2.y1，z4.yz3.答案：39如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC2，E是PC的中点，求证：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明：(1)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(1，0)，D，P(0,0,2)，E，所以，所以1010，所以CDAE.(2)由(1)，得，(2,0,0)，设向量n(x，y，z)是平
5、面ABE的法向量，则由，得，取y2，则n(0,2，)，所以n，所以n，所以PD平面ABE.10.如图，在空间直角坐标系中，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点，M是AF的中点，求证：(1)直线EE1平面FCC1；(2)平面ADD1A1平面FCC1.证明：因为D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(，1,0)，F(，1,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(，0)，E1(，1,1)，所以(，1,0)，(0,0,2)，(，1)，(，1,0)，(0,0,2)(1)设平面FCC1的法向
6、量为n(x，y，z)，则，即，令x1，可得n(1，0)，则n00，所以n，又直线EE1平面FCC1，所以直线EE1平面FCC1.(2)设平面ADD1A1的法向量为m(x，y，z)，则，即，令x1，可得m(1，0)，由(1)知mn，即mn，所以平面ADD1A1平面FCC1.B组能力提升1.(1,5，2)，(3,1，z)，(x1，y，3)，若ABBC，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析：因为ABBC，所以0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，所以，又(3,1,4)，所以解得答案：B2已知直线l过点P(1,0，1)且平行于向量a(2,1,
7、1)，平面过直线l与点M(1,2,3)，则平面的法向量不可能是()A(1，4,2) B.C. D(0，1,1)解析：经验证D中(0，1,1)不可能为平面的法向量答案：D3已知a(1,2,3)，b(1,0,1)，ca2b，dmab，若cd，则m_.解析：ca2b，c(1,2,3)2(1,0,1)(1,2,1)，dmab，dm(1,2,3)(1,0,1)(m1,2m,3m1)又cd，cd0，即(1,2,1)(m1,2m,3m1)0，即1m4m3m10，m0.答案：04在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x1,2cos 2x2,0)和点Q(cos x，1,3)，其中x0，若直线OP与直线OQ
8、垂直，则x的值为_解析：由OPOQ，得0，即(2cos x1)cos x(2cos 2x2)(1)0.cos x0或cos x.x0，x或x.答案：或5.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为H，求证：ME平面BCC1B1.证明：(1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)，E(3,0,1)，F(0,3,2)，D1(3,3,3)则(3,0,1)，(0,
9、3,2)，(3,3,3)，故，共面又它们有公共点B，E，B，F，D1四点共面(2)设M(0,0，z)，则，而(0,3,2)，由题设得3z20，得z1.M(0,0,1)，E(3,0,1)，(3,0,0)，又(0,0,3)，(0,3,0)0，0，从而MEBB1，MEBC.又BB1BCB，BB1，BC平面BCC1B1，故ME平面BCC1B1.6.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为2的菱形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD，若点E，F分别是BC，PC上的动点，记1，2，当平面DEF平面ABCD时，试确定1与2的关系解析：过点P作PGAD于G，连接BG，则PG平面ABCD，PGBG，BGAD，以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为ADAB2，所以AG1，PGBG，所以B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，D(0,1,0)，A(0，1,0)，E(，0)，F(，)，(，0)，(，)，设平面DEF的一个法向量n(x，y，z)，则所以(假设11)所以n(x，x，x)(11)，当x1时，n(1，)，平面ABCD的一个法向量为(0,0，)，因为平面DEF平面ABCD，所以n0，所以()0(11)，所以当11时，1221；当11时，有21，也满足1221，综上可得1与2的关系为1221.