1、第二章 空间向量与立体几何 A组基础巩固1已知空间中两点A(1,1,1)，B(1,0,4)，则向量的坐标为()A(2,0，3)B(2，1,3)C(0,1,5) D(2，1,5)解析：(1,0,4)(1,1,1)(2，1,3)答案：B2已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则x()A4 B4C. D6解析：ab(2,1,3x)且(ab)c，2x62x0，x4.答案：B3与向量a(1,3，2)平行的一个向量的坐标是()A. B.C. D(，3，2)解析：对于B，(1,3，2)a，故选B.答案：B4已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直
2、，则k的值是()A1 B.C. D.解析：kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，若(kab)(2ab)，则3(k1)2k40，解得k.答案：D5若a(1，1)，b(2，1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则|a|()A. B.C. D.解析：因为ab12(1)(1)2，又因为ab|a|b|cosa，b，所以 .解得2，所以|a| .答案：C6已知向量a(1,0,1)，b(1,2,3)，kR，若kab与b垂直，则k_.解析：因为(kab)b，所以(kab)b0，所以kab|b|20，所以k(110213)()20，解得k7.答案：77若ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0，)，B，C(1
3、,0，)，则角A的大小为_解析：，(1,0,0)，则cos Acos，故角A的大小为30。答案：308.如图，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且ACBC2，当VDC60时，异面直线AC与VD所成角的余弦值为_解析：由题意，知A(2,0, 0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(1,1,0)，当VDC60时，在RtVCD中，CD，VC，VD2，V(0,0，)，(2,0,0)，(1,1，)，cos，异面直线AC与VD所成角的余弦值为.答案：9已知a(2,0，5)，b(3,2，1)，求下列各式的值：(1)aa；(2)|
4、b|；(3)(3a2b)(ab)解析：(1)aaa2(2)202(5)229.(2)|b|.(3)解法一3a2b3(2,0，5)2(3,2，1)(0,4，17)，ab(2,0，5)(3,2，1)(5，2，4)，所以(3a2b)(ab)(0,4，17)(5，2，4)0(5)4(2)(17)(4)60.解法二因为ab(2,0，5)(3,2，1)(2)302(5)(1)1，所以(3a2b)(ab)3a2ab2b2329(1)21460.10已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)(1)求分别以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；(2)若向量a与向量，均垂直，且|a|，求向量
5、a的坐标解析：(1)(2，1,3)，(1，3,2)，|，|，cosBAC，BAC60，S|sin 607.(2)设a(x，y，z)，|a|x2y2z23，解得xyz1或xyz1，a(1,1,1)或(1，1，1)B组能力提升1已知向量a(1t,2t1,3)，b(2，t，t)，则|ab|的最小值为()A2 B.C. D2解析：由题知ab(1t，t1,3t)，则|ab|.易知当t1时，|ab|有最小值，为2，故选D.答案：D2.如图，在空间直角坐标系中有四棱锥PABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA2，E为PD的中点，则|()A2 B.C. D2解析：由题意可知B(2,0
6、,0)，E(0,1,1)，则(2,1,1)，|.答案：C3已知点A，B，C的坐标分别为(0,1,0)，(1,0，1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若，则点P的坐标为_解析：由已知，得(x,1，z)，(1，1，1)，(2,0,1)又，所以x1z0，2x0z0，即，解得，所以点P的坐标为(1,0，2)答案：(1,0,2)4已知空间中三个向量a(1，2，z)，b(x,2，4)，c(1，y,3)，若ab，bc，则x_，y_，z_.解析：ab，ab(R)，.b(1,2，4)bc，bc0，(1,2，4)(1，y,3)12y120，y.答案：145.如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABC
7、D为正方形，其边长为a，侧棱SD底面ABCD，且SDb，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点(1)求|；(2)求cos，解析：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz.则A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E(a，0)，F(0，)，G(0，0，)，(a,0，)，(a，0，)，(a,0,0)(1)| .(2)cos，.6.在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有的棱长均为2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得与所成的夹角为.解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，由已知，棱长都等于2，所以A(0,0,0)、B(，1,0)、C(0，2,0)、B1(，1,2)、M(，0)，假设存在点N在棱CC1上，可以设N(0,2，m)(0m2)，则有(，1,2)，(，m)，|2，|，(，1,2)(，m)2m1，cos，cos，解得：m.这与0m2矛盾，所以在棱CC1上不存在点N，使得与所成的夹角为.