1、3.1.1 方程的根与函数的零点基础巩固一、选择题1下列图象表示的函数中没有零点的是 ()答案A解析没有零点就是函数图象与x轴没有交点，故选A.2函数f(x)2x23x1的零点是 ()A，1 B.，1C.，1D，1答案B解析方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.3方程log3xx3的解所在的区间为 ()A(0,2)B(1,2)C(2,3)D(3,4)答案C解析令f(x)log3xx3，则f(2)log3223log30，f(3)log333310，所以方程log3xx3的解所在的区间为(2,3)，故选C.4函数f(x)lnx的零点的个数是 ()A
2、0B1C2D3答案C解析如答图所示，易知ylnx与y的图象有两个交点5已知曲线y()x与yx的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是 ()A(0，)B(，2)C(，1)D(1,2)答案A解析设f(x)()xx，则f(0)10，f()()0，f(1)10，f(2)()220，显然只有f(0)f()0，选A.6下列函数中，在1,2上有零点的是 ()Af(x)3x24x5Bf(x)x35x5Cf(x)lnx3x6Df(x)ex3x6答案D解析A：3x24x50的判别式0，此方程无实数根，f(x)3x24x5在1,2上无零点B：由f(x)x35x50得x35x5.在同一坐标系中画出yx3，x1,2与y
3、5x5，x1,2的图象，如图1，两个图象没有交点f(x)0在1,2上无零点C：由f(x)0得lnx3x6，在同一坐标系中画出ylnx与y3x6的图象，如图2所示，由图象知两个函数图象在1,2内没有交点，因而方程f(x)0在1,2内没有零点D：f(1)e316e30，f(1)f(2)0.f(x)在1,2内有零点二、填空题7函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为_.答案0解析yf(x)为偶数，f(x)f(x)，四个根之和为0.8函数f(x)的零点的个数为_.答案2解析当x0时，令2x2x10，解得x(x1舍去)；当x0时，令3x40，解得xlog34，所以函数f(x
4、)有2个零点三、解答题9判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出.(1)f(x)8x27x1；(2)f(x)x2x2；(3)f(x)；(4)f(x)3x17；(5)f(x)log5(2x3)解析(1)因为f(x)8x27x1(8x1)(x1)，令f(x)0，解得x或x1，所以函数的零点为和1.(2)令x2x20，因为1241270，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为 ()A至多有一个B有一个或两个C有且仅有一个D一个也没有答案C解析若a0，则f(x)bxc是一次函数，由f(1)f(2)0，与已知矛盾2已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x12345
5、67f(x)123.521.57.8211.5753.7126.7129.6那么函数f(x)在区间1,6上的零点至少有 ()A2个B3个C4个D5个答案B3已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，)内的零点有1003个，则f(x)的零点的个数为 ()A1003B1004C2006D2007答案D解析由于奇函数图象关于原点对称且它在(0，)内的零点有1003个，所以它在(，0)内的零点也有1003个，又f(x)的定义域为R，所以f(0)0.即0也是它的零点，故f(x)的零点共有2007个4若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间 ()A(
6、b，c)和(c，)内B(，a)和(a，b)内C(a，b)和(b，c)内D(，a)和(c，)内答案C解析由于abc，所以f(a)(ab)(ac)0，f(b)(ba)(bc)0，f(c)(cb)(ca)0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选C.二、填空题5m的取值范围为_时，方程x2(m13)xm2m0的一根大于1，一根小于1.答案2m2解析用数形结合的方法解题设f(x)x2(m13)xm2m，则它的开口向上，由图象可得，方程x2(m13)xm2m0的一根大于1，一根小于1的充要条件为f(1)1(m13)m2mm2120.解得2m2.6对于实数a和b
7、，定义运算“*”：a*b设函数f(x)(x22)*(x1)，xR，若方程f(x)c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是_.答案(2，1(1,2解析由题意知f(x)画出f(x)的图象，数形结合可得实数c的取值范围是(2，1(1,2三、解答题7已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)求函数f(x)的零点解析(1)要使函数有意义，则有解得3x1，所以函数的定义域为(3,1)(2)函数可化为f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3)，由f(x)0，得x22x31，即x22x20，x1.1(3,1)，f(x)的零点是1.8已知函数f(x)x22x3，x1,4.(1)画出函数yf(x)的图象，并写出其值域；(2)当m为何值时，函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点？解析(1)依题意：f(x)(x1)24，x1,4，其图象如图所示(2)函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点，方程f(x)m在x1,4上有两个相异的实数根，即函数yf(x)与ym的图象有两个交点由(1)所作图象可知，4m0，0m4.当0m4时，函数yf(x)与ym的图象有两个交点，故当0m4时，函数g(x)f(x)m在1,4上有两个零点