1、函数与导数(11)1设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围22020山东青岛检测已知函数f(x)ax(ln x1)(其中e2.718为自然对数的底数，aR)(1)若ae，证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)若函数f(x)有两个不同的极值点，求a的取值范围32020新高考卷已知函数f(x)aex1ln xln a.(1)当ae时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)1，求a的取值范围42020山东青岛二中检测已知函数f
2、(x)ln xx1a(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x1，使f(x)x0时，若曲线C1：yf(x)x1与曲线C2：yg(x)存在唯一的公切线，求实数a的值；(3)当a1，x0时，不等式f(x)kxln(x1)恒成立，求实数k的取值范围函数与导数(11)1解析：(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此时f(1)3e0.所以a的值为1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小
3、值若a，则当x(0,2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.2解析：(1)证明：当ae时，f(x)xeln x，令h(x)xeln x，则h(x)1(x0)当x(0，e)时，h(x)0.所以f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增所以f(x)f(e)0，所以f(x)在(0，)上单调递增，又f(e)0，所以f(x)有且只有一个零点e.(2)由题意知f(x)xaln x，令H(x)xaln x，则H(x)1(x0)当a0时，H(x)0，H(x)f(x)在(0，)上单调递增，f(x)不可能有两个零点，不合题意当a0时，x(0，a)时，H(x)0
4、，所以H(x)f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，因此H(x)f(x)f(a)，所以f(a)aaln ae.当ae时，因为f(1)10，所以f(x)在(1，a)上有一个零点令g(a)(ae)，则g(a)e)，所以g(a)在(e，)上单调递减，所以g(a)a2，所以f(ea)eaaln eaeaa20，所以f(x)在(a，ea)上也有一个零点综上知，f(x)有两个不同的极值点时，a的取值范围为(e，)3解析：f(x)的定义域为(0，)，f(x)aex1.(1)当ae时，f(x)exlnx1，f(1)e1，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，
5、即y(e1)x2.直线y(e1)x2在x轴，y轴上的截距分别为，2.因此所求三角形的面积为.(2)当0a1时，f(1)aln a1.当a1时，f(x)ex1ln x，f(x)ex1.当x(0,1)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)1，从而f(x)1.当a1时，f(x)aex1ln xln aex1ln x1.综上，a的取值范围是1，)4解析：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，方程x2xa0，则14a，()当14a0时，即a时，当x(0，)时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递减；()当14a0，即a时，当0a时，方程x2xa0的两根为，且00
6、，函数f(x)在上单调递增，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递增，当x时，f(x)0，函数f(x)在上单调递减，综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(，)；当0axln x2x1，即存在x1，使a成立令g(x)，x1，则g(x)，令h(x)xln x2，则h(x)10，h(x)在(1，)上单调递增又h(3)3ln 321ln 30，根据零点存在性定理，可知h(x)在(1，)上有唯一零点，设该零点为x0，则x0(3,4)，且h(x0)x0ln x020，即x02ln x0，当x(1，x0)时，g(x)0，g(x)在(x0，)
7、上单调递增，g(x)minx01，由题意可知ax01，又x0(3,4)，aZ，a的最小值为5.5解析：(1)当a1时，f(x)exx2x，f(x)ex2x1.故当x(，0)时，f(x)0.所以f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增(2)f(x)x31等价于ex1.设函数g(x)ex(x0)，则g(x)exxx2(2a3)x4a2exx(x2a1)(x2)ex.若2a10，即a，则当x(0,2)时，g(x)0.所以g(x)在(0,2)单调递增，而g(0)1，故当x(0,2)时，g(x)1，不合题意若02a12，即a，则当x(0,2a1)(2，)时，g(x)0.所以g(x)在(0,2a1)
8、，(2，)单调递减，在(2a1,2)单调递增由于g(0)1，所以g(x)1当且仅当g(2)(74a)e21，即a.所以当a时，g(x)1.若2a12，即a，则g(x)ex.由于0，故由可得ex1.故当a时，g(x)1.综上，a的取值范围是.6解析：(1)f(x)aex1，当a0时，f(x)0时，由f(x)0，解得xln a，由于a0时，导函数f(x)aex1单调递增，故x(，ln a)，f(x)0，f(x)单调递增综上，当a0时，f(x)在(，)上单调递减；当a0时，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)曲线C1：y1aex与曲线C2：y2x2存在唯一的公切线，设
9、该公切线与C1，C2分别切于点(x1，aex1)，(x2，x)，显然x1x2，由于y1aex，y22x，所以aex12x2，由于a0，故x20，且x22x120，因此x11，此时a(x11)， 设F(x)(x1)，问题等价于直线ya与曲线yF(x)在x1时有且只有一个公共点，又F(x)，令F(x)0，解得x2，则F(x)在(1,2)上单调递增，(2，)上单调递减，而F(2)，F(1)0，当x时，F(x)0，所以F(x)的值域为，故a.(3)当a1时，f(x)exx1，问题等价于不等式exx1kxln(x1)，当x0时恒成立设h(x)exx1kxln(x1)(x0)，h(0)0，又设m(x)h(
10、x)ex1k(x0)，则m(x)exk，而m(0)12k()当12k0时，即k时，由于x0，ex1，k1，此时m(x)0，m(x)在0，)上单调递增，所以m(x)m(0)0，即h(x)0，所以h(x)在0，)上单调递增所以h(x)h(0)0.即exx1kxln(x1)0.故k适合题意()当k时，m(0)0，则m(ln 2k)2kk2k2k0，故在(0，ln 2k)上存在唯一x0，使m(x0)0，因此当x(0，x0)时，m(x)0，m(x)单调递减所以m(x)m(0)0，即h(x)0，h(x)在(0，x0)上单调递减，故h(x)h(0)0，亦即exx1kxln(x1)时不适合题意综上，所求k的取值范围为.