1、高考大题规范解答系列(五)解析几何考点一范围问题例1 (2018浙江高考)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x0)上的动点，求PAB面积的取值范围【分析】设出A，B的坐标及点P的坐标，利用PA，PB的中点在抛物线上建立方程，利用根与系数的关系求得点A，B，P的纵坐标之间的关系，由此证明结论成立先根据根与系数的关系，求得|PM|，再表示出PAB的面积，最后结合点P在椭圆上，并利用二次函数在给定区间的值域，求得三角形面积的取值范围【标准答案】规范答题步步
2、得分(1)设P(x0，y0)，A(y，y1)，B(y，y2).1分因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程()24，即y22y0y8x0y0的两个不同的实根.3分所以y1y22y0，4分因此，PM垂直于y轴.5分(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，7分|y1y2|2.9分因此，PAB的面积SPAB|PM|y1y2|(y4x0)，10分因为x1(x0b0)的离心率为，F是其右焦点，直线ykx与椭圆交于A，B两点，|AF|BF|8.(1)求椭圆的标准方程；(2)设Q(3,0)，若AQB为锐角，求实数k的取值范围解析(1)设F1为椭圆的左焦点，连接F1B，由椭圆的对称性可
3、知，|AF|F1B|，所以|AF|BF|BF1|BF|2a8，所以a4，又e，a2b2c2，解得c2，b2，椭圆的标准方程为1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x13，y1)，(x23，y2)，联立，得(4k21)x2160，所以x1x20，x1x2，因为AQB为锐角，所以0，所以(x13)(x23)y1y293(x1x2)x1x2y1y293(x1x2)(1k2)x1x290，解得k或kb0)，右顶点是A(2,0)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l与椭圆交于两点M，N(M，N不同于点A)，若0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标解析(1)右顶点是A(2,0)，
4、离心率为，所以a2，c1，则b，椭圆的标准方程为1.(2)当直线MN斜率不存在时，设lMN：xm，与椭圆方程1联立得：|y|，|MN|2，设直线MN与x轴交于点B，|MB|AB|，即2m，m或m2(舍)，直线m过定点(，0)；当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则直线MN：ykxb(k0)，与椭圆方程1联立，得(4k23)x28kbx4b2120，x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，(8kb)24(4k23)(4b212)0，kR，0，则(x12，y1)(x22，y2)0，即x1x22(x1x2)4y1
5、y20，7b24k216kb0，bk或b2k，直线lMN：yk(x)或yk(x2)，直线过定点(，0)或(2,0)舍去；综上知直线过定点(，0)考点三最值问题例3 (2019吉林模拟)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中0为坐标原点)；当最小时，求点T的坐标【分析】【标准答案】规范答题步步得分(1)由已知可得解得a26，b22.2分所以椭圆C的标准方程是1.3分(2)由(1)可得点F的坐标是(2,0)，设点T的
6、坐标为(3，m)，则直线TF的斜率是kTFm.当m0时，直线PQ的斜率kPQ，直线PQ的方程是xmy2.当m0时，直线PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式.5分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m23)y24my20.其判别式16m28(m23)0，所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中点M的坐标为(，).7分所以直线OM的斜率是kOM.又直线OT的斜率kOT，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.8分由可得|TF|，9分|PQ|.10分所以.当且仅当m21，即m1时取等号，此时取得最小值，11分所以当最小时
7、，点T的坐标是(3,1)或(3，1).12分【评分细则】列方程组求出a2与b2给2分写出椭圆的标准方程给1分根据题意恰当设出直线方程，给2分，不讨论m0的情况，扣1分方程联立消元，结合韦达定理求出点M的坐标，给2分证明OT平分线段PQ，给1分写出|TF|的表达式，给1分写出|PQ|的表达式，给1分写出的表达式，利用均值不等式确定最小值，给1分正确写出点T的坐标，给1分【名师点评】1核心素养：本题主要考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等知识，是一道综合能力较强的题，意在考查考生的分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力2解题技巧：(1)注意通性通法的应用在解题过程中，注意答题要求，严格按照题目
8、及相关知识的要求答题，不仅注意解决问题的巧解，更要注意此类问题的通性通法如在解决本例(2)时，注意本题的实质是直线与圆锥曲线的相交问题，因此设出直线方程，然后联立椭圆方程构造方程组，利用根与系数关系求出y1y2，y1y2的值即为通法(2)关键步骤要全面阅卷时，主要看关键步骤、关键点，有关键步骤、关键点则得分，没有要相应扣分，所以解题时要写全关键步骤，踩点得分，对于纯计算过程等非得分点的步骤可简写或不写，如本例(2)中，消元化简时，可直接写出结果，利用弦长公式求|PQ|时，也可省略计算过程3解决最值问题的答题模板变式训练3(2020广东梅州质检)已知直线l：xy10与焦点为F的抛物线C：y22p
9、x(p0)相切(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值解析(1)直线l：xy10与抛物线C相切，由消去x得，y22py2p0，从而4p28p0，解得p2.抛物线C的方程为y24x.(2)由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为tyx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去x得，y24ty40，y1y24t，从而x1x24t22，线段AB的中点M的坐标为(2t21,2t)设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dAdB2d22|t2t1|2|(t)2|.当t时，可使A、B两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为.
