1、2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A1BC2D32一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A a2B2a2C a2D a23已知ABC中，a=4，b=4，A=30，则B等于（）A30B30或150C60D60或1204函数是（）A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数5在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A2BC
2、D16已知数列an 满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为（）A21BCD7数列an的通项公式an=，它的前n项和为Sn=9则n=（）A9B10C99D1008已知x，yR+且x+y=4，则使不等式m恒成立的实数m的取值范围为（）A（2，+）B（，C（3，+）D（，9已知甲、乙两地距丙的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20处，乙地在丙地的南偏东40处，则甲乙两地的距离为（）A100kmB200kmC100kmD100km10等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A3B5C7D911在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且a、
3、b、c成等比数列，a+c=3，tanB=，则ABC的面积为（）ABCD12设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为（）A1BC2D二填空题（每小题4分，每小题4分，共20分）13如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图 中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是 14已知数列an中，a1=60，an+1=an+3，那么|a1|+|a2|+|a30|的值为 15关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn其中真命题的序号是 16若数列an，b
4、n的通项公式分别是an=（1）2017a，bn=2+对任意nN*恒成立，则常数a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知O为坐标原点， =（2cos2x，1），=（1， sin2x+a）（xR，aR，a是常数），若y=（）求y关于x的函数解析式f（x）；（）若x0，时，f（x）的最大值为2，求a的值并指出f（x）的单调区间18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求ABC的面积S19如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点正三棱柱的正（主）视图如图（
5、2）（）求正三棱柱ABCA1B1C1的体积；（）证明：A1B面ADC1；（）（文科做）图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）（）（理科做）求二面角A1DC1A的正弦值20建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的猪圈，底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/m2，侧面的造价为80元/m2，屋顶造价为1120元如果墙高3m，且不计猪圈背面的费用，问怎样设计能使猪圈的总造价最低，最低总造价是多少元？21在等差数列an中，a1=1，前n项和Sn满足条件，（）求数列an的通项公式；（）记bn=anpan（p0），求数列bn的前n项和Tn22已知函数f
6、（x）=a（x0）（1）若函数f（x）是（0，+）上的增函数，求实数b的取值范围；（2）当b=2时，若不等式f（x）x在区间（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）对于函数g（x）若存在区间m，n（mn），使xm，n时，函数g（x）的值域也是m，n，则称g（x）是m，n上的闭函数若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件2016-2017学年湖北省宜昌市金东方高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1等差数列an的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A1BC2D3【考点】8F：等差数列的性质【分
7、析】由题意可得 S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，解方程求得公差d的值【解答】解：S3=6=（a1+a3），且 a3=a1+2d，a1=4，d=2，故选C2一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A a2B2a2C a2D a2【考点】LB：平面图形的直观图【分析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S之间的关系是S=S，先求出直观图即正方形的面积，根据比值求出原平行四边形的面积即可【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的
8、面积S之间的关系是S=S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于=2a2故选B3已知ABC中，a=4，b=4，A=30，则B等于（）A30B30或150C60D60或120【考点】HP：正弦定理【分析】解法一：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B不可能为钝角或直角，得到B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；解法二：由a=b，利用等边对等角，得到A=B，由A的度数求出B的度数即可【解答】解：法一：a=4，b=4，A=30，根据正弦定理=得：sinB=，又B为锐角，则B=30；法二：a=b=4，A=30，A=B=30故选A4函数是
9、（）A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】利用三角恒等变换化简f（x），再根据函数奇偶性的定义判断【解答】解：f（x）= 1+cos（2x）+ 1cos（2x+）1= cos（2x）cos（2x+）=（2sin2xsin）= sin2x，f（x）=sin（2x）=sin（2x）=f（x），f（x）是奇函数故选A5在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A2BCD1【考点】HP：正弦定理【分析】利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化
10、简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系【解答】解：bcosC+ccosB=2b，sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，=2，由正弦定理知=，=2，故选：A6已知数列an 满足a1=33，an+1an=2n，则的最小值为（）A21BCD【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和【分析】由迭代法可得an，进而可得，结合函数的单调性可得【解答】解：由题意可得an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2（n1）+2（n2）+2+33=+33=n2n+33，故=1由于函数y=在（0，）单调递减，在（，+）单调递增，
11、故当=1在n=5，或n=6时取最小值，当n=5时1=，当n=6时，1=故的最小值为故选C7数列an的通项公式an=，它的前n项和为Sn=9则n=（）A9B10C99D100【考点】8E：数列的求和【分析】由题意知an=，通过Sn=9，求解即可【解答】解：数列an的通项公式an=an=，Sn=（1）+（）+（）=1=9解得n=99故答案为：C8已知x，yR+且x+y=4，则使不等式m恒成立的实数m的取值范围为（）A（2，+）B（，C（3，+）D（，【考点】7F：基本不等式【分析】由题意将x+y=4代入（+）进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围【解答】
12、解：由题意知两个正数x，y满足x+y=4，则=（x+y）（+）=（1+4+）（5+2）=，当且仅当x=，y=时取等号，m，故选：D9已知甲、乙两地距丙的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20处，乙地在丙地的南偏东40处，则甲乙两地的距离为（）A100kmB200kmC100kmD100km【考点】HU：解三角形的实际应用【分析】根据甲、乙两地距丙的距离均为100km，且甲地在丙地的北偏东20处，乙地在丙地的南偏东40处，利用余弦定理即可求出甲乙两地的距离【解答】解：由题意，如图所示OA=OB=100km，AOB=120，甲乙两地的距离为AB=100km，故选：D10等差数列an共有2n+
13、1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A3B5C7D9【考点】85：等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可【解答】解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇=（n+1）an+1=4，偶数项共n项，其和为S偶=nan+1=3，得，解得n=3故选A11在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且a、b、c成等比数列，a+c=3，tanB=，则ABC的面积为（）ABCD【考点】HS：余弦定理的应用；HT：三角形中的几何计算【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sinB 和 cosB 的值，根据a，b，c成等比数列，可得
14、 b2=ac，再由余弦定理求出ac的值，由ABC的面积为 acsinB，运算求得结果【解答】解：在ABC中，tanB=，可得，又sin2B+cos2B=1，B为锐角，且sinB=，cosB=a，b，c成等比数列，b2=ac，再由余弦定理可得 b2=a2+c22accosB，即 ac=（a+c）22ac=9，ac=2则ABC的面积为 acsinB=，故选：D12设正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，则当取得最小值时，x+2yz的最大值为（）A1BC2D【考点】7F：基本不等式【分析】正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，可得z=x23xy+4y2， =+3，再利用基本不等式的性
15、质与二次函数的单调性即可得出【解答】解：正实数x，y，z满足x23xy+4y2z=0，z=x23xy+4y2，=+323=1，当且仅当x=2y0，z=2y20时取等号x+2yz=4y2y2=2（y1）2+22，y=1，x=2，z=2时取等号x+2yz的最大值为2故选：C二填空题（每小题4分，每小题4分，共20分）13如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图 中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是+24【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，即可求出该器皿的表面积【解答】解：
16、该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积s1和半球的表面积s2，故s=s1+s2=+24故答案为：+2414已知数列an中，a1=60，an+1=an+3，那么|a1|+|a2|+|a30|的值为765【考点】85：等差数列的前n项和【分析】根据已知条件得到此数列是首项为60，公差d为3的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到n的范围为n大于等于21，即可得到前30项中，前20项的值都为负数，21项以后的项都为正数，根据负数的绝对值等于其相反数，正数的绝对值等于其本身把所求的式子进行化简，然后前20项提取1，得到关于前3
17、0项的和与前20项和的式子，分别利用等差数列的前n项和的公式求出前20项的和和前30项的和，代入化简得到的式子中即可求出值【解答】解：an是等差数列，an=60+3（n1）=3n63，an0，解得n21|a1|+|a2|+|a3|+|a30|=（a1+a2+a20）+（a21+a30）=S302S20=（60+6063）20=765故答案为：76515关于直线m，n与平面，有以下四个命题：若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn；若m，n且，则mn其中真命题的序号是【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关
18、系【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可列举反例从而说明不正确即可【解答】解：m，n也可能异面，故不正确；若m，n且，则mn，故正确；若m，n且，则mn，故正确；若m，n且，则mn，相交，异面，故不正确故选16若数列an，bn的通项公式分别是an=（1）2017a，bn=2+对任意nN*恒成立，则常数a的取值范围是2，1）【考点】8K：数列与不等式的综合【分析】讨论n取奇数和偶数时，利用不等式恒成立，即可确定a的取值范围【解答】解：an=（1）2017a，bn=2+对任意nN*恒成立，（1）n+2017a2+，若n为偶数，则不等式等价为a2+，即a2，即a2若n为奇数，则不等式等
19、价为a2，即a1，综上：2a1，即常数a的取值范围是2，1），故答案为：2，1），三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知O为坐标原点， =（2cos2x，1），=（1， sin2x+a）（xR，aR，a是常数），若y=（）求y关于x的函数解析式f（x）；（）若x0，时，f（x）的最大值为2，求a的值并指出f（x）的单调区间【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；9R：平面向量数量积的运算；GT：二倍角的余弦；H5：正弦函数的单调性【分析】（）通过向量的数量积，把，的坐标，代入函数解析式，利用向量积的运算求得函数解析式（）通过x0，求出相位的范围，然后求
20、出函数的最大值，利用最大值为2，直接求得a然后求出函数的单调区间【解答】解：（）=（2cos2x，1），=（1， sin2x+a），y=2cos2x+sin2x+a，=1+cos2x+sin2x+a，=cos2x+sin2x+a+1，=2（cos2x+sin2x）+a+1，=2（sincos2x+cossin2x）+a+1，=2sin（2x+）+a+1（）因为x0，），所以2x+，），当2x+=时，sin（2x+）=1，ymax=2+a+1=3+a，又ymax=2，3+a=2，a=1，y2sin（2x+），又2k，kZ，解得：x，kZ，是函数的单调增区间，函数的单调减区间是，kZ18在ABC中
21、，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=（1）求的值（2）若cosB=，b=2，求ABC的面积S【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC=2sinA，即可得解=2（2）由正弦定理可求c=2a，由余弦定理解得a=1，从而c=2利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理，则=，所以=，即（cosA2cosC）sinB=（2sinCsinA）cosB，化简可得sin（A+B）=2sin（B+C）因为A+B+C=，所以sinC=2s
22、inA因此=2（2）由=2，得c=2a，由余弦定理b2=a2+c22accosB，及cosB=，b=2，得4=a2+4a24a2解得a=1，从而c=2因为cosB=，且sinB=，因此S=acsinB=12=19如图（1）是一个水平放置的正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中点正三棱柱的正（主）视图如图（2）（）求正三棱柱ABCA1B1C1的体积；（）证明：A1B面ADC1；（）（文科做）图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面有哪几个？（直接写出符合要求的平面即可，不必说明或证明）（）（理科做）求二面角A1DC1A的正弦值【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定；LY
23、：平面与平面垂直的判定【分析】（I）直接求出正三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC的面积，求出高AA1，即可求出体积；（II）连接A1C，证明A1B平行平面ADC1内的直线DE，即可证明A1B平面ADC1（）（文科做）通过直线与平面垂直，说明平面与平面垂直，直接列举出图（1）中垂直于平面BCC1B1的平面即可；（）（理科做）利用二面角A1DC1A的余弦值为，即可求得二面角A1DC1A的正弦值【解答】（I）解：依题意，在正三棱柱中，AD=，AA1=3，从而AB=2，AA1平面ABC，所以正三棱柱的体积V=Sh=ABADAA1=23=3（II）证明：连接A1C，设A1CAC1=E，连接DE，因为A
24、A1C1C是正三棱柱的侧面，所以AA1C1C是矩形，E是A1C的中点，所以DE是A1BC的中位线，DEA1B，因为DE平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1；（）（文科做）解：AD垂直平面BCC1B1，AD平面ABC、平面ABC平面A1B1C1、AD平面AC1D所以垂直于平面BCC1B1的平面有：平面ABC、平面A1B1C1、平面AC1D；（）（理科做）解：ADC1中，AD=，DC1=，AC1=，=A1DC1中，DC1=，A1C1=2，A1D=2，cosA1DC1=sinA1DC1=二面角A1DC1A的余弦值为=二面角A1DC1A的正弦值为20建造一间地面面积为12m2的背面
25、靠墙的猪圈，底面为长方形的猪圈正面的造价为120元/m2，侧面的造价为80元/m2，屋顶造价为1120元如果墙高3m，且不计猪圈背面的费用，问怎样设计能使猪圈的总造价最低，最低总造价是多少元？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】设猪圈底面正面的边长为xm，利用x表示出猪圈的总造价，再根据函数的特点利用基本不等式进行求最值即可【解答】解：设猪圈底面正面的边长为xm，则其侧面边长为那么猪圈的总造价y=3x120+3802+1120=360x+1120，因为，当且仅当，即x=4时取“=”，所以当猪圈正面底边为4米侧面底边为3米时，总造价最低为4000元21在等差数列an中，a1=1，前
26、n项和Sn满足条件，（）求数列an的通项公式；（）记bn=anpan（p0），求数列bn的前n项和Tn【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和；8F：等差数列的性质；8H：数列递推式【分析】（1）将n=1代入已知递推式，易得a2，从而求出d，故an可求；（2）求出bn，分p=1和p1两种情况讨论，然后利用错位相减法求和【解答】解：（）设等差数列an的公差为d，由得： =3，所以a2=2，即d=a2a1=1，所以an=n（）由bn=anpan，得bn=npn所以Tn=p+2p2+3p3+（n1）pn1+npn，当p=1时，Tn=；当p1时，pTn=p2+2p3+3p4+（n1）pn+n
27、pn+1，得（1p）Tn=p+p2+p3+pn1+pnnpn+1=，即Tn=22已知函数f（x）=a（x0）（1）若函数f（x）是（0，+）上的增函数，求实数b的取值范围；（2）当b=2时，若不等式f（x）x在区间（1，+）上恒成立，求实数a的取值范围；（3）对于函数g（x）若存在区间m，n（mn），使xm，n时，函数g（x）的值域也是m，n，则称g（x）是m，n上的闭函数若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先去绝对值，然后设x1，x2（0，+）且x1x2，根据函数f（x）是（0，+）
28、上的增函数，则f（x1）f（x2），建立关系式，化简整理可求出b的取值范围；（2）若不等式f（x）x在区间（1，+）上恒成立，可转化成ax+在（1，+）上恒成立，求出不等式右边的最小值即，使得a小于此最小值即可；（3）设f（x）是区间m，n上的闭函数，则mn0且b0，讨论m与n同正与同负两种情形，以及讨论b的正负，根据函数的单调性建立关系式，即可求出a与b满足的条件【解答】解：（1）当x（0，+）时，f（x）=a，设x1，x2（0，+）且x1x2，由f（x）是（0，+）上的增函数，则f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）=0，由x1x2，x1，x2（0，+）知x1x20，x1x20，所以b0
29、，即b（0，+）；（2）当b=2时，f（x）=ax在x（1，+）上恒成立，即ax+，因为x+2，当x=即x=时取等号，（1，+），所以x+在x（1，+）上的最小值为2，则a2；（3）因为f（x）=a的定义域是（，0）（0，+），设f（x）是区间m，n上的闭函数，则mn0且b0若0mn，当b0时，f（x）=a是（0，+）上的增函数，则，所以方程a=x在（0，+）上有两不等实根，即x2ax+b=0在（0，+）上有两不等实根，所以，即a0，b0且a24b0，当b0时，f（x）=a=a+在（0，+）上递减，则，即 ，所以a=0，b0，若mn0当b0时，f（x）=a=a+是（，0）上的减函数，所以，即 ，所以a=0，b0，当b0，f（x）=a=a+是（，0）上的增函数，所以，所以方程a+=x在（，0）上有两不等实根，即x2+axb=0在（，0）上有两不等实根，所以，即a0，b0且a2+4b0，综上知：a=0，b0或a0，b0且a2+4b0或a0，b0且a24b0即：a=0，b0或ab0且a24|b|02017年6月17日