1、第7讲 机械能守恒定律 功能关系 1.机械能守恒定律:(1)守恒条件:只有_做功。虽受其他力,但其他力_。重力或系统内弹簧弹力 不做功或做的总功为零(2)三种表达式:守恒的观点:_。转化的观点:_。转移的观点:_。Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 Ep=-Ek EA增=EB减 2.几种常见的功能转化关系:(1)合力的功影响_,关系式为_。(2)重力的功影响_,关系式为_。(3)弹簧弹力的功影响_,关系式为_。(4)分子力的功影响_,关系式为_。(5)电场力的功影响_,关系式为_。(6)滑动摩擦力的功影响_,关系式为_。(7)除重力和弹力之外的其他力的功影响_,关系式 为_。(8)克服安培力的功影
2、响_,关系式为_。动能 W合=Ek 重力势能 WG=-Ep 弹性势能 WH=-Ep 分子势能 W分=-Ep 电势能 W电=-Ep 内能 Ffl相对=E内 机械能 W其=E机 电能 W克安=E电 1.(多选)(2011新课标全国卷)一蹦极运动员身系弹性蹦极 绳从水面上方的高台下落,到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略,运动员可视为质点,下列说法正确的 是()A.运动员到达最低点前重力势能始终减小 B.蹦极绳张紧后的下落过程中,弹性力做负功,弹性势能增加 C.蹦极过程中,运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守 恒 D.蹦极过程中,重力势能的改变与重力势能零点的选取有关【解析】选A、B
3、、C。运动员在下落过程中,重力做正功,重力势能减小,故A正确。蹦极绳张紧后的下落过程中,弹性力向上,位移向下,弹性力做负功,弹性势能增加,故B正确。选取运动员、地球和蹦极绳为一系统,在蹦极过程中,只有重力和系统内弹力做功,这个系统的机械能守恒,故C正确。重力势能改变的表达式为Ep=mgh,由于h是绝对的,与选取的重力势能参考零点无关,故D错。2.(2012安徽高考)如图所示,在竖直平面内有一 半径为R的圆弧轨道,半径OA水平、OB竖直,一个质 量为m的小球自A的正上方P点由静止开始自由下落,小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP=2R,重力加速度为g,则小球从P到B的运动过程中(
4、)A.重力做功2mgR B.机械能减少mgR C.合外力做功mgR D.克服摩擦力做功 mgR 12【解析】选D。重力做功与路径无关,所以WG=mgR,选项A错;小 球在B点时所受重力等于向心力,即:mg=m ,所以v=,从 P点到B点,由动能定理知:W合=mv2=mgR,故选项C错;根据 能量的转化与守恒知:机械能的减少量为|E|=|Ep|-|Ek|=mgR,故选项B错;克服摩擦力做的功等于机械能的减 少量,故选项D对。2vRgR1212123.(多选)(2013山东高考)如图所示,楔形木块abc固定在水平面上,粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同,顶角b处安装一定滑轮。质量分别为M
5、、m(Mm)的滑块,通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接,轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后,沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦,在两滑块沿斜面运动的过程中()A.两滑块组成系统的机械能守恒 B.重力对M做的功等于M动能的增加 C.轻绳对m做的功等于m机械能的增加 D.两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功【解析】选C、D。对于M和m组成的系统,除了重力、轻绳弹力 做功外,摩擦力对M做了功,系统机械能不守恒,选项A错误;对于 M,合外力做的功等于其重力、轻绳拉力及摩擦力做功的代数和,根据动能定理可知,M动能的增加等于合外力做的功,选项B错误;对于m,只有其重力和轻绳拉力做了功,根
6、据功能关系可知,除了 重力之外的其他力对物体做的正功等于物体机械能的增加量,选项C正确;对于M和m组成的系统,系统内轻绳上弹力做功的代 数和等于零,只有两滑块的重力和M受到的摩擦力对系统做了功,根据功能关系得,M的摩擦力对系统做的功等于系统机械能的损 失量,选项D正确。热点考向1 机械能守恒定律的应用 【典例1】(2013芜湖一模)如图所示,质量分别 为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻 质定滑轮相连,开始两物体处于同一高度,绳处于 绷紧状态,轻绳足够长,不计一切摩擦。现将两物体由静止释放,在A落地之前的运动中,下列说法中正确的是()A.A物体的机械能增大 B.A、B组成系统的重力势
7、能增大 C.下落时间t过程中,A的机械能减少了 mg2t2 D.下落时间t时,B所受拉力的瞬时功率为 mg2t 29 13【解题探究】(1)分别以A、B为研究对象,由静止释放后:轻绳对A物体做_,A物体机械能_(选填“增加”或“减少”);轻绳对B物体做_,B物体机械能_(选填“增加”或“减少”)。(2)对于A、B组成的系统,由静止释放后:系统机械能_(选填“守恒”或“不守恒”);整体加速度大小为_,绳子的拉力为_;时间t内下落的高度为_,此时A、B速度的大小为_。负功 减少 正功 增加 守恒 1g34 mg321 gt61 gt3【解析】选C。在A下降的过程中,拉力对A做负功,对B做正功,A的
8、机械能减小,B的机械能增大,A、B系统的机械能守恒,所以 A、B错误。释放后,A、B物体都做初速度为零的匀加速直线运 动。由牛顿第二定律得2mg-mg=3ma,故加速度a=g,t时间内 A物体下降高度为 gt2,绳子拉力大小为 mg。拉力对A物体 所做负功为 mg2t2,A物体机械能减少 mg2t2,C对。下落时间 t时,B物体的运动速度为 gt,拉力功率大小为 mg2t,D错。13164329291349【总结提升】应用机械能守恒定律解题时的三点注意(1)注意研究对象的选取:研究对象的选取是解题的首要环节,有的问题选单个物体(实为一个物体与地球组成的系统)为研究 对象机械能不守恒,但选此物体
9、与其他几个物体组成的系统为 研究对象,机械能却是守恒的。如该例题中,A或B机械能不守恒,但A、B组成的系统机械能守恒。(2)注意研究过程的选取:有些问题研究对象的运动过程分几个 阶段,有的阶段机械能守恒,而有的阶段机械能不守恒。因此,在应用机械能守恒定律解题时要注意过程的选取。(3)注意机械能守恒表达式的选取:守恒观点的表达式适用于单个或多个物体机械能守恒的问题,解题时必须选取参考平面。而后两种表达式都是从“转化”和“转移”的角度来反映机械能守恒的,不必选取参考平面。【变式训练】(多选)(2013长春二模)如图所示,物体A的质量为M,圆环B的质量为m,通过轻绳连接 在一起,跨过光滑的定滑轮,圆
10、环套在光滑的竖直 杆上,设杆足够长。开始时连接圆环的绳处于水平,长度为l,现从静止释放圆环。不计定滑轮和空气的阻力,以下说法正确的是()A.当M=2m时,l越大,则圆环m下降的最大高度h越大 B.当M=2m时,l越大,则圆环m下降的最大高度h越小 C.当M=m时,且l确定,则圆环m下降过程中速度先增大后减小到零 D.当M=m时,且l确定,则圆环m下降过程中速度一直增大【解析】选A、D。由系统机械能守恒可得mgh=Mg(),当M=2m时,h=l,所以A选项正确;当M=m时,对圆环受力分析如图,可知T=Mg,故圆环在下降过程中系统的重力势能一直在减少,则系统的动能一直在增加,所以D选项正确。22h
11、 ll43mgcos【变式备选】如图所示,一玩滚轴溜冰的小孩(可视作质点)质量为m=30kg,他在左侧平台上滑行一段距离后做平抛运动,恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道,并沿轨道下滑,A、B为圆弧两端点,其连线水平。已知圆弧半径为R=1.0m,对应圆心角为=106,平台与AB连线的高度差为h=0.8m(计算中取g=10m/s2,sin53=0.8,cos53=0.6)求:(1)小孩做平抛运动的初速度;(2)小孩运动到圆弧轨道最低点O时对轨道的压力。【解析】(1)由于小孩无碰撞进入圆弧轨道,即小孩落到A点 时速度方向沿A点切线方向,则 tan=tan53,又由h=gt2得t=0.4
12、s,而vy=gt=4m/s,解得v0=3m/s。yx0vgtvv122hg(2)设小孩到最低点的速度为v3,由机械能守恒得 =mgh+R(1-cos53),在最低点,根据牛顿第二定律,有N-mg=m ,代入数据解得N=1 290N,由牛顿第三定律可知,小孩对轨道的压力为1 290N。答案:(1)3m/s(2)1 290 N 223011mvmv2223vR热点考向2 功能关系的综合应用 【典例2】(12分)(2013南昌一模)某人通过定滑轮将一物体提升。第一次,此人竖直向下拉绳,如图甲所示,使物体匀速上升高度h,该过程人对物体做功为W1。第二次,此人以速度v匀速向左拉着绳运动,如图乙所示,使物
13、体上升相同的高度,此时绳子与水平面夹角为,已知重力加速度为g。求第二次人对物体做的功。【解题探究】(1)第一次拉升物体,动能_,重力势能_,故拉力做的 功等于_。不变 增加 物体重力势能的增加量(2)第二次拉升物体,当人的速度为v时,物体的速度大小也是v吗?为什么?提示:物体的速度大小不是v。对人拉绳的末 端速度分解如图所示,此时物体的速度为v,故v=vcos。【解析】设物体的质量为m,第一次人做的功为W1=mgh(3分)第二次物体升高h时的速度为v=vcos (3分)第二次人对物体做的功为W2=mgh+mv2 (3分)解得W2=W1+cos2 (3分)答案:W1+cos2 1221W v2g
14、h21W v2gh【总结提升】解决功能关系问题应该注意的三个方面(1)分清是什么力做功,并且分析该力做正功还是做负功;根据功能之间的对应关系,判定能的转化形式,确定能量之间的转化情况。(2)也可以根据能量之间的转化情况,确定是什么力做功,尤其可以方便计算变力做功的多少。(3)功能关系反映了做功和能量转化之间的对应关系,功是能量转化的量度和原因,在不同问题中的具体表现不同。【变式训练】(2013攀枝花二模)滑雪是一项 危险性高而技巧性强的运动,某次滑雪过程可 近似模拟为两个圆形轨道的对接,如图所示。质量为m的运动员在轨道最低点A的速度为v,且刚好到达最高点B,两圆形轨道的半径相等,均为R,滑雪板
15、与雪面间的摩擦不可忽略,下列说法正确的是()A.运动员在最高点B时,对轨道的压力为零 B.由A到B过程中增加的重力势能为2mgR-mv2 C.由A到B过程中阻力做功为2mgR-mv2 D.由A到B过程中损失的机械能为 mv2 121212【解析】选C。刚好到达最高点B,即运动员到达B点的速度为 零,所以在B点对轨道的压力大小等于自身的重力,选项A错误;由A到B过程中重力所做的功WG=-2mgR,则Ep=-WG=2mgR,选项 B错误;对运动员在由A到B的过程由动能定理得:-mg2R+Wf=0-mv2,即Wf=2mgR-mv2,选项C正确;由功能关系知,机械能 的变化量等于除重力外其他力所做的功
16、,即损失的机械能为 mv2-2mgR,选项D错误。121212热点考向3 机械能守恒定律与力学规律的综合应用 【典例3】(14分)(2013南京一模)光滑水平面上有质量为M、高度为h的光滑斜面体A,斜面顶部有质量为m的小物体B,开始时都处于静止状态。从某时刻开始释放物体B,在B沿斜面下滑的同时斜面体A沿水平方向向左做匀加速运动。经过时间t,斜面体水平移动x,小物体B刚好滑到底端。(1)求运动过程中斜面体A所受的合力FA;(2)分析小物体B做何种运动,并说明理由;(3)求小物体B到达斜面体A底端时的速度vB的大小。【解题探究】(1)斜面体A所受合力FA的求解:研究对象:_;物理学方程:a.x=_
17、,b.F合=_。(2)物体B运动性质的判断:物体B的运动性质:_;光滑斜面体A 21 at2Ma 匀加速直线运动 判断依据是什么?提示:物体A做匀加速直线运动,故B对A的作用力恒定,由牛顿第三定律知,A对B的作用力是恒力,又由于B受到的重力也是恒力,故B受到的合力是恒力,又由于B的初速度为零,故B做匀加速直线运动。(3)在求解小物体B到达斜面体A底端时的速度vB时如何选取 研究对象?请写出该过程机械能守恒的表达式。提示:选A、B组成的系统为研究对象,机械能守恒方程为mgh=22AB11Mvmv22。【解析】(1)对A,在匀加速运动过程中x=at2 (2分)由牛顿第二定律得 FA=Ma (2分)
18、由得FA=(1分)(2)物体B做匀加速直线运动。因为A做匀加速运动,B对A的作 用力一定,由牛顿第三定律知,A对B的作用力也一定,B受到的 重力也是恒力,所以B受到的合力是恒力,又由于B的初速度为 零,故B做匀加速运动。(4分)1222Mxt(3)对A、B组成的系统,由机械能守恒定律得 mgh=(2分)vA=at=(2分)由得vB=(1分)答案:(1)(2)见解析(3)22AB11Mvmv22。2xt224Mx2ghmt22Mxt224Mx2ghmt【拓展延伸】典例中:(1)若斜面体A斜面的倾角为,则B对A作用力FBA的大小是多少?提示:由第(1)问求得A所受的合力FA=对A进行受力分析如图
19、FBAsin=FA 由得FBA=22Mxt22Mxt sin(2)B的机械能减少了多少?提示:B的动能增加,重力势能减少,故B的机械能减少了EB减=mgh-222BA2112MxmvMv22t。【总结提升】解决机械能守恒综合题目的一般方法(1)对物体进行运动过程的分析,分析每一运动过程的运动规律。(2)对物体进行每一过程中的受力分析,确定有哪些力做功,有哪些力不做功,哪一过程中满足机械能守恒定律的条件。(3)分析物体的运动状态,根据机械能守恒定律及有关的力学规律列方程求解。【变式训练】(2013南充二模)如图所示,在光滑四分之一圆弧轨道的顶端a点,质量 为m的物块(可视为质点)由静止开始下滑,
20、经圆弧轨道最低点b滑上粗糙水平面,圆弧轨道在b点与水平轨道平滑相接,物块最终滑至c点停止,若圆弧轨道半径为R,物块与水平面间的动摩擦因数为,下列说法正确的是()A.物块滑到b点时的速度为 B.物块滑到b点时对b点的压力是mg C.c点与b点的距离为 D.整个过程中物块机械能损失了2mgR gRR【解析】选C。物块从a到b,由机械能守恒定律得:mgR=所以vb=,故A错。在b点,由FN-mg=m 得FN=3mg,由牛 顿第三定律知FN=FN=3mg,故B错。从b到c由动能定理得:-mgs=,得s=,故C对。对整个过程由能量守恒知 机械能损失了mgR,故D错。2b1 mv2，2gR2bvR2b1
21、mv2R1.(2013沈阳一模)如果一个物体在运动的过程中克服重力做了80J的功,则()A.物体的重力势能一定增加80J B.物体的机械能一定增加80J C.物体的动能一定减少80J D.物体的机械能一定减少80J【解析】选A。物体重力势能的改变量由重力做功决定,克服重力做了80J的功,即重力做了80J的负功,重力势能增加80J,A正确。机械能的变化量由除重力之外的力做功决定,动能的变化量由合外力做功决定,由于本题除重力之外的力未知,故B、C、D均错。2.如图所示,一轻弹簧左端固定在长木板M的 左端,右端与木块m连接,且m与M及M与地面间 光滑。开始时,m与M均静止,现同时对m、M施加等大反向
22、的水平恒力F1和F2。在两物体开始运动以后的整个运动过程中,对m、M和弹簧组成的系统(整个过程弹簧形变不超过其弹性限度)。下列说法正确的是()A.由于F1、F2等大反向,故系统机械能守恒 B.由于F1、F2分别对m、M做正功,故系统的动能不断增加 C.由于F1、F2分别对m、M做正功,故系统的机械能不断增加 D.当弹簧弹力大小与F1、F2大小相等时,m、M的动能最大【解析】选D。开始时拉力大于弹力,F1、F2分别对木块和木板做正功,所以机械能增加;当拉力等于弹力时,木块和木板速度最大,故动能最大;当拉力小于弹力时,木块和木板做减速运动,速度减小到零以后,木块和木板反向运动,拉力F1、F2均做负
23、功,故机械能减少。故本题正确选项为D。3.(多选)(2013盐城一模)如图所示,离水平地面一定高处水平固定一内壁光滑的圆筒,筒内固定一轻质弹簧,弹簧处于自然长度。现将一小球从地面以某一初速度斜向上抛出,刚好能水平进入圆筒中,不计空气阻力。下列说法中正确的是()A.弹簧获得的最大弹性势能小于小球抛出时的动能 B.小球从抛出到将弹簧压缩到最短的过程中小球的机械能守 恒 C.小球抛出的初速度大小仅与圆筒离地面的高度有关 D.小球从抛出点运动到圆筒口的时间与小球抛出时的角度无 关【解析】选A、D。小球从抛出到弹簧压缩到最短的过程中,只有重力和弹力做功,小球和弹簧组成的系统机械能守恒,即 Ek0=mgh
24、+Ep,所以EpEk0,故A对、B错。运用逆向思维 分析小球的斜上抛过程,即分析小球的平抛运动。设平抛时 的初速度为v1,则由机械能守恒得 故v0 与v1、h有关,C错。在竖直方向h=gt2,t与h有关,D对。201 mv2221011mvmghmv,22124.(2013西安一模)如图所示,用轻弹簧将质量均为m=1kg的 物块A和B连接起来,将它们固定在空中,弹簧处于原长状态,A距地面的高度h1=0.90m。同时释放两物块,A与地面碰撞后速 度立即变为零,由于B压缩弹簧后被反弹,使A刚好能离开地面(但不继续上升)。若将B物块换为质量为2m的物块C(图中未画 出),仍将它与A固定在空中且弹簧处
25、于原长,从A距地面的高度 为h2处同时释放,C压缩弹簧被反弹后,A也刚好能离开地面,已 知弹簧的劲度系数k=100N/m,求h2的大小。【解析】设A物块落地时,B物块的速度为v1,则有:=mgh1 设A刚好离地时,弹簧的形变量为x,对A物块有:mg=kx 从A落地后到A刚好离开地面的过程中,A、B及弹簧组成的系 统机械能守恒,则有:=mgx+Ep 211 mv2211 mv2换成C后,设A落地时,C的速度为v2,则有:=2mgh2 从A落地后到A刚好离开地面的过程中,A、C及弹簧组成的系统 机械能守恒,则有:=2mgx+Ep 联立解得:h2=0.5m。答案:0.5m 221 2mv2221 2
26、mv2七 力学综合问题的规范求解【案例剖析】(18分)(2013牡丹江一模)如 图所示,x轴与水平传送带重合,坐标原点O 在传送带的左端,传送带长L=8m,匀速运动 的速度v0=5m/s。一质量m=1kg的小物块,轻轻放在传送带上xP=2m的P点。小物块随传送带运动到Q点后冲上光滑斜面且 刚好到达N点(小物块到达N点后被收集,不再滑下)。若小物 块经过Q处无机械能损失,小物块与传送带间的动摩擦因数 =0.5,重力加速度g=10m/s2。求:(1)N点的纵坐标;(2)小物块在传送带上运动产生的热量;(3)若将小物块轻轻放在传送带上的某些位置,最终均能沿光 滑斜面越过纵坐标yM=0.5m的M点,求
27、这些位置的横坐标范围。【审题】抓住信息,准确推断 关键信息 信息挖掘 题 干 轻轻放在传送带上 小物块初速度为零 冲上光滑斜面且刚好到达N点 斜面上没有摩擦力,vN=0 小物块与传送带间的动摩擦因数=0.5 考虑小物块在传送带上的摩擦力 问 题 在传送带上运动产生的热量 该热量为摩擦生热 横坐标范围 可求刚好能越过M点的小物块的横坐标【破题】精准分析,无破不立(1)N点纵坐标yN的求解:小物块在传送带上是否一直加速,并说出判断依据:小物块 先做_,然后与传送带一起做_;依据:小 物块加速到v0=5m/s时运动的位移x=_=2.5m(L-xP)=6m;小物块在Q点的速度为v0=_;匀加速运动 匀
28、速运动 20v2 g5m/s 小物块冲上光滑斜面的过程中满足何种规律,请写出物理学 方程。提示:小物块冲上光滑斜面的过程中满足机械能守恒,物理学 方程为 =mgyN。201 mv2(2)摩擦生热的计算公式为Q=_。(3)使小物块能越过M点应具备什么条件?提示:应使小物块到达Q点时获得足够的动能,该动能由传送带做功提供。mgx相对【解题】规范步骤,水到渠成(1)小物块在传送带上做匀加速运动的加速度 a=g=5m/s2。(1分)小物块与传送带共速时,所用时间t=1s (2分)运动的位移x=at2=2.5m(L-xP)=6m (2分)故小物块与传送带共速后以v0=5m/s的速度匀速运动到Q,然后冲上
29、光滑斜面到达N点,由机械能守恒定律得 =mgyN (2分)解得yN=1.25m (1分)0va12201 mv2(2)小物块在传送带上相对传送带滑动的位移 x相对=v0t-x=2.5m (2分)产生的热量Q=mgx相对=12.5J (2分)(3)设在坐标为x1处轻轻将小物块放在传送带上,最终刚好能到达M点,由能量守恒得mg(L-x1)=mgyM (2分)代入数据解得x1=7m (2分)故小物块在传送带上的位置横坐标范围0 x7m (2分)答案:(1)1.25m(2)12.5J(3)0 x7m【点题】突破瓶颈,稳拿满分(1)常见的思维障碍:在求小物块冲上斜面的初速度时,误认为小物块一直加速至 Q处,错误求出v0=m/s。在求摩擦生热时,误认为相对滑行的距离为L-xP=6m,这样求 忽视了相对静止的一段距离。P2a Lx2 15(2)因解答不规范导致的失分:将Q=mgx相对写成Q=mg(L-xP),书写不规范而失分。坐标范围写成x7m或0 x7,不够准确而失分。