1、第2章 圆锥曲线与方程23.2 抛物线的简单几何性质第2章 圆锥曲线与方程 1.通过图形理解抛物线的范围、对称性、顶点等简单性质 2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程 3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程四种标准形式的抛物线几何性质的比较类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图象栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程性 质焦点(p2，0)(p2，0)(0，p2)(0，p2)准线xp2xp2yp2yp2
2、 范围_x0_y0 对称轴_顶点_ 离心率_开口方向 _向左_向下x0y0 x轴y轴(0，0)1向右向上栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()2四种标准方程对应的抛物线有相同的()A顶点 B焦点C准线D对称轴答案：A 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程3顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离等于 3的抛物线的标准方程是()Ax23y
3、By26xCx212yDx26y答案：C4抛物线 y2px2(p0)的对称轴为_答案：y 轴栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 抛物线性质的应用 已知抛物线 y22px(p0)的顶点为 O，点 A、B 在抛物线上，且OA OB 0，|AB|5 13，直线 OA 的方程为 y2x，求抛物线的方程【解】如图所示，由OA OB 0，得 OAOB，直线 OA 的方程为 y2x，则直线 OB 的方程为 y12x，由y2xy22px,栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程消去 x 并整理得 y2py0，解得 y0 或 yp.所
4、以点 A 的坐标为(p2，p)，同理可得点 B 的坐标为(8p，4p)因为|AB|5 13，所以（p4p）2（p28p）25 13.两边平方并整理，得 p24，因为 p0，所以 p2，所以抛物线的方程为 y24x.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程本题首先根据两条直线互相垂直的位置关系，求出了抛物线的内接直角三角形两条直角边所在的直线的方程，然后分别与抛物线的方程联立方程组，进一步求出点 A、B 的坐标，最后由斜边长建立关于参数 p 的方程而求解 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛物线交于 A、B 两点，O
5、 为坐标原点，若OAB的面积等于 4，求此抛物线的标准方程栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程解：由题意，设抛物线方程为 y22mx(m0)，焦点 Fm2，0，直线 l：xm2，所以 A、B 两点坐标为m2，m、m2，m，所以|AB|2|m|.因为OAB 的面积为 4，所以12|m2|2|m|4，所以 m2 2.所以抛物线方程为 y24 2x.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 抛物线的焦点弦问题 已知直线 l 经过抛物线 y26x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点若直线 l 的倾斜角为 60，求|AB
6、|的值【解】因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan60 3.又 F32，0，所以直线 l 的方程为 y 3x32.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程联立y26x，y 3x32，消去 y 得 x25x940.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x25，而|AB|AF|BF|x1p2x2p2 x1x2p，所以|AB|538.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1若本例中“直线 l 的倾斜角为 60”改为“直线 l 垂直于 x轴”，求|AB|的值解：直线 l 的方程为 x32，联立x32，y2
7、6x，解得x32y3或x32，y3.所以|AB|3(3)6.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2若本例中“直线 l 的倾斜角为 60”改为“|AB|9”，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离解：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|AF|BF|x1x2px1x23，所以 x1x26，于是线段 AB 的中点M 的横坐标是 3.又准线方程是 x32，所以点 M 到准线的距离为 33292.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程抛物线焦点弦问题的解法(1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有
8、关的问题要注意结合抛物线的定义求解(2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1x2p，同时由弦长 x1x2p2 x1x2p2p 知，通径是所有弦中最短的弦栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 已知抛物线方程为 y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 A，B 两点，且|AB|52p，求 AB 所在直线的方程解：如图所示，抛物线 y22px(p0)的准线为xp2，设 A(x1，y1)，B(
9、x2，y2)，A，B 到准线的距离分别为 dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|dAx1p2，|BF|dBx2p2，于是|AB|x1x2p52p，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程所以 x1x232p.当 x1x2 时，|AB|2p0，即 k20，且 16(1k2)0，解得 k(1，0)(0，1)所以当 k(1，0)(0，1)时，直线 l 与抛物线 C 有两个交点 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程若直线与抛物线有一个交点，则 k20 或 k20 时，0.解得 k0 或 k1.所以当 k0 或 k1 时，直线
10、l 与抛物线 C 有一个交点 若直线与抛物线无交点，则 k20 且 1 或 k1 或 k0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若 k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若 k20，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 0)过焦点 F 的一条弦，设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0，y0)，相应的准线为 l.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切；(2)|A
11、B|2(x0p2)(焦点弦长与中点关系)；(3)|AB|x1x2p；(4)若直线 AB 的倾斜角为，则|AB|2psin2；如当 90时，AB 叫抛物线的通径，是焦点弦中最短的；(5)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2p24，y1y2p2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1顶点在原点，对称轴为 y 轴，顶点到准线的距离为 4 的抛物线方程是()Ax216y Bx28yCx28yDx216y解析：选 D.顶点在原点，对称轴为 y 轴的抛物线方程有两个：x22py，x22py(p0)由顶点到准线的距离为 4 知 p8，故所求抛物线方
12、程为 x216y，x216y.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2已知直线 ykx2 与抛物线 y28x 交于不同两点 A、B，若线段 AB 中点的纵坐标为 2，则 k 等于()A1B2 或1C2D.12解析：选 C.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y218x1，y228x2，得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)，所以 ky1y2x1x28y1y2842.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程3过点P(0，1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A4 条B3 条C2 条D1 条解析：选 B.当直
13、线垂直于 x 轴时满足条件，当直线不垂直于 x轴时，设直线方程为 ykx1，满足条件的直线有两条，共三条满足题意的直线栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程4过抛物线 y28x 的焦点作直线 l，交抛物线于 A，B 两点，若线段 AB 中点的横坐标为 3，求|AB|的值解：由抛物线 y28x 知，p4.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义知，|AF|x1p2，|BF|x2p2，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程所以|AB|AF|BF|x1p2x2p2x1x2p，所以 x1x2|AB|p.由条件知x1x223，则 x1x26，所以|AB|p6，又因为 p4，所以|AB|10.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放