1、第二章单元质量评估(二)一、选择题(每小题5分，共60分)1数列3,5,9,17,33，的通项公式an等于(B)A2n B2n1 C2n1 D2n1解析：由于321,5221,9231，所以通项公式是an2n1，故选B.2已知数列an的前n项和Snn22n2，则数列an的通项公式为(C)Aan2n3 Ban2n3 Can Dan解析：当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn12n3.又当n1时，a1的值不适合n2时的通项公式，故选C.3已知数列an是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2的值为(A)A3 B3 C2 D2解析：a1，a2，a5成等比数列，aa1a5，a(a
2、22)(a26)，解得a23.4已知数列an是首项为1，公差为d(dN*)的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差d不可能是(B)A2 B3 C4 D5解析：由题意知，an1(n1)d,81是该数列中的一项，即811(n1)d，所以n1，因为d，nN*，所以d是80的因数，所以d不可能是3，故选B.5已知数列an满足：aan1an1(n2)，若a23，a2a4a621，则a4a6a8(C)A84 B63 C42 D21解析：aan1an1(n2)，数列an是等比数列，设其公比为q，a23，a2a4a633q23q421，即q4q260，解得q22或q23(舍去)，a4a6a8a2q2a4q2
3、a6q22(a2a4a6)42，故选C.6已知等比数列an的前n项和为Sn，a13，且3S1,2S2，S3成等差数列，则数列an的通项公式为(C)Aan3n11 Ban3n1 Can3n Dan3n1解析：3S1,2S2，S3成等差数列，4S23S1S3，4(a1a2)3a1(a1a2a3)，即3a2a3，公比q3，ana1qn13n.7数列an的通项公式ann2n，则数列的前10项和为(B)A. B. C. D.解析：，所以S10.故选B.8已知点(n，an)(nN*)都在直线3xy240上，那么在数列an中有(C)Aa7a90 Ba7a90 Ca7a90 Da7a90解析：由题意知，an3
4、n24，所以an为a121，d3的等差数列所以a821370.所以a7a92a80.故选C.9已知数列an中，a22，若对任意的m，nN*，都有amnaman，那么的值为(D)A. B. C. D.解析：amnamana2a1a1a11，an1ana1an1an1，所以数列an是首项为1，公差为1的等差数列，所以，故选D.10数列an的通项ann，其前n项和为Sn，则S40为(C)A10 B15 C20 D25解析：由题意得，annncos，当n1时，a1cos0；当n2时，a22cos2；当n3时，a33cos0；当n4时，a44cos24；当n4k3(kN*)时，anan1an2an32，
5、S40(a1a2a3a4)(a37a38a39a40)21020，故选C.11在等差数列an中，已知a100，且a11|a10|，Sn为数列an的前n项和，则使Sn0的n的最小值为(B)A21 B20 C10 D11解析：由已知得|a10|a10，a11a10，a10a110,2a119d0,2a119d.又由Sm0，可得a1an0，即2a1(n1)d0.而2a1(n1)d19d(n1)d(n20)d，因此只需(n20)d0即可，又d0，所以n20.12已知数列an满足anan1an2(n为大于2的正整数)，且a2 0151，a2 0171，设数列an的前n项和为Sn，则S2 020S2 01
6、6(B)A17 B15 C6 D0解析：因为anan1an2(n2)，且a2 0151，a2 0171，所以a2 017a2 016a2 015，所以a2 0162，同理，a2 018213，a2 019134，a2 020347，所以S2 020S2 016a2 017a2 018a2 019a2 020134715，故选B.二、填空题(每小题5分，共20分)13已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1a53a3，a1014，则S1284.解析：由a1a53a3，得2a33a3，所以a30.又a1014，所以S1261484.14在正项等比数列an中，a1和a19为方程x210x160的两根
7、，则a8a10a12等于64.解析：因为a1和a19为方程x210x160的两根，所以a1a1916，由等比数列的性质得，a1a19a16，又a100，所以a104，a8a10a12a64.15我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为2.6日(结果保留一位小数，参考数据：lg20.30，lg30.48)解析：设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列an，其中a
8、13，公比为，其前n项和为An，莞(植物名)的长度组成等比数列bn，其中b11，公比为2，其前n项和为Bn.则An，Bn，令AnBn，化为2n7，解得2n6或2n1(舍去)，即n12.6.故所需的时间约为2.6日16在各项都为整数的数列an中，a12，且对任意的nN*，满足an1an32n1，则a2 01722_017.解析：由an1an2n，得an2an12n1，两式相加，得an2an32n1，anZ，所以an2an32n，从而a2 017(a2 017a2 015)(a2 015a2 013)(a3a1)a13(22 01522 0132321)222 017.三、解答题(写出必要的计算步
9、骤，只写最后结果不得分，共70分)17(本小题10分)设数列an满足：a11，an13an，nN*.(1)求an的通项公式及前n项和Sn；(2)已知bn是等差数列，Tn为其前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求T20.解：(1)由题设知an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，Sn(3n1)(2)b1a23，b3a1a2a313913，b3b110，所以数列bn的公差d5，故T2020351 010.18(本小题12分)已知数列an满足a11，a22，an2，nN*.(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式解：(1)证明：当n1时，b1a2a11，当n
10、2时，bnan1an(an1an)an(anan1)bn1，所以bn是以1为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知，bnan1ann1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112n21n1，当n1时，a11满足这个公式所以ann1，nN*.19(本小题12分)已知数列an为等差数列，且a12，a1a2a312.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn3an，求证：数列bn为等比数列；(3)令cn，求数列cn的前n项和Sn.解：(1)因为a1a2a312，所以a24，所以公差d2，所以an2n.(2)证明：因为bn3an，所以9，所以bn为首项b19，公比q9的等比数列(3)
11、因为cn，所以Snc1c2cn.20(本小题12分)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an13.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足a1b1a2b2anbn3，求bn的前n项和Tn.解：(1)设数列an的公差为d，则有解得a11，d2，ana1(n1)d2n1.(2)当n1时，a1b1，所以b1；当n2时，a1b1a2b2an1bn13，又a1b1a2b2anbn3，得，anbn，所以bn，易知n1也成立，所以数列bn是以为首项，为公比的等比数列，故其前n项和Tnb1b2bn1n.21(本小题12分)已知数列an满足a13，an12ann1，数列bn满足b12，
12、bn1bnann.(1)证明：ann为等比数列；(2)数列cn满足cn，求数列cn的前n项和Tn，求证：Tn.解：(1)证明：an12ann1，an1(n1)2(ann)，又a112，ann是以2为首项，2为公比的等比数列(2)证明：ann22n12n，bn1bnann2n，b2b121，b3b222，bnbn12n1，各式相加，得bnb121222n12n2，又b12，bn2n，cn，Tn1，且a1a320，a28.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Sn是数列bn的前n项和，对任意正整数n，不等式Sn(1)na恒成立，求实数a的取值范围解：(1)设数列an的公比为q，则2q25q20，q1，数列an的通项公式为an2n1.(2)bn，Sn，Sn，得，Sn，Sn1.(1)na1对任意正整数n恒成立，设f(n)1，易知f(n)单调递增当n为奇数时，f(n)的最小值为，a，当n为偶数时，f(n)的最小值为，a，综上，a，即实数a的取值范围是.