1、第十二讲 反比例函数 考点一 反比例函数的图象和性质【主干必备】一、反比例函数解析式的三种形式 1.y=_(k0,k为常数).2.y=k_(k0,k为常数).3.xy=_(k0,k为常数).kxx-1 k 二、反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y=(k为常数,k0)的图象是_ _,且关于_对称.2.反比例函数y=(k为常数,k0)的图象和性质 kxkx双 曲线 原点 函数图象所在象限性质y=(k为 常数,k0)k0 _象限(x,y同号)在每个象限内,y随x增大而_k0 _ 象限(x,y异号)在每个象限内,y随x增大而_kx 一、三 减小 二、四 增大【微点警示】双曲线不是连续曲线,而是两支
2、在不同象限的曲线,所以比较函数值大小时,要注意所判断的点是否在同一象限,再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较.【核心突破】例1(1)(2019贺州中考)已知ab0,一次函数y=ax-b 与反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象可能 是()axA(2)(2019天津中考)若点A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关 系是()A.y2y1y3 B.y3y1y2 C.y1y2y3 D.y3y2y1 12xB【明技法】解决含有字母系数的不同函数在 同一直角坐标系内的图象的两种方法(1)根据图象确定所含字母的取值范围,看字母系数的
3、取值在不同函数中是否一致.(2)先假设字母系数的取值,确定不同函数的图象的位置,再看在同一直角坐标系内不同函数的图象与之是否对应.【题组过关】1.(2019海南中考)如果反比例函数y=(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是()A.a0 C.a2 a2xD 2.(2019天津南开区期末)若点(x1,y1),(x2,y2)都是 反比例函数y=-图象上的点,并且y10 x2 B.x12 考点二 求反比例函数的解析式【核心突破】例2(2019广东中考)如图,一次函数y=kx+b的图象与 反比例函数y=的图象相交于A,B两点,其中点A的坐 标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).2kx(
4、1)根据图象,直接写出满足kx+b 的x 的取值范围.(2)求这两个函数的表达式.(3)点P在线段AB上,且SAOPSBOP=12,求点P的坐标.2kx【思路点拨】(1)根据一次函数图象在反比例图象的上方,可求x的取值范围.(2)将点A,点B坐标代入两个表达式可求k2,n,k,b的值,从而求得表达式.(3)根据三角形面积的比例,可得答案.【自主解答】(1)点A的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n).由图象可得:kx+b 的x的取值范围是x-1或 0 x0)的图象交于点B(m,2).世纪金榜导学号(1)求反比例函数的表达式.(2)求AOB的面积.kx【解析】(1)点B(m,2)在直线y=x
5、+1上,2=m+1,得m=1,点B的坐标为(1,2),点B(1,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,2=,得k=2,即反比例函数的表达式为y=.kxk12x(2)将x=0代入y=x+1,得y=1,则点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(1,2),AOB的面积是 1 11.22 考点三 一次函数与反比例函数的综合【核心突破】例3如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A(m,4),B(2,n)两点,与坐标 轴分别交于M,N两点.4x(1)求一次函数的解析式.(2)根据图象直接写出kx+b-0中x的取值范围.(3)求AOB的面积.4x【自主解答】略【明技法】根据一次函数和反比例函数的
6、图象写不等式的解集的步骤(1)数形结合:根据题意画出图象.(2)找交点:根据函数图象,找到两函数的交点坐标.(3)画三线:根据两条函数的交点画出三条垂直于x轴的直线.(4)分四域:以三线为界可将直角平面划分为四个区域.(5)定大小:根据“上大下小”原则.如果一次函数图象与反比例函数图象有交点时,就可以利用上面的步骤去解决问题;若没有交点时,可以借助y轴分两个区域,再直接用“上大下小”原则去解决问题.【题组过关】1.(2019衡阳中考)如图,一次函数y1=kx+b(k0)的 图象与反比例函数y2=(m为常数且m0)的图象都经 过A(-1,2),B(2,-1),结合图象,则不等式kx+b 的解 集
7、是()mxmxC A.x-1 B.-1x0 C.x-1或0 x2 D.-1x2 2.(2019长沙中考)如图,函数y=(k为常数,k0)的 图象与过原点O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限 内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x 轴,y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴,y轴于点E,F.连接 OM.现有以下四个结论:ODM与OCA的面积相等;若BMAM于点M,则MBA=30;若M点的横坐标为 kx1,OAM为等边三角形,则k=2+;若MF=MB,则 MD=2MA.其中正确的结论的序号是_.世纪金榜导学号 325 3.(2019聊城中考)如图,点A ,B(3,m)是直线AB
8、与反比例函数y=(x0)图象的两个交点,ACx轴,垂 足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.世纪金榜导 学号 3(4)2，nx(1)求直线AB的表达式.(2)ABC和ABD的面积分别为S1,S2,求S2-S1.【解析】(1)点A ,B(3,m)在反比例函数y=(x0)图象上,4=,n=6,反比例函数的表达式为y=(x0),将点B(3,m)代入y=(x0)得m=2,B(3,2),设直线AB的表达式为y=kx+b(k0),3(4)2，nxn326x6x 直线AB的表达式为y=-x+6.43k,4kb,3223kb,b6,解得43(2)由点A,B坐标得AC=4,点B到AC的距离为 S1=
9、设AB与y轴的交点为E,可得E(0,6),如图:333,221343,22 DE=6-1=5,由点A ,B(3,2)知点A,B到DE的距离分 别为 ,3,S2=SBDE-SADE=S2-S1=3(4)2，32113155 35,2224 1533.44 考点四 反比例函数的实际应用【核心突破】例4(2018河北中考)如图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴交于点B,与滑道y=(x1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获 得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下落 kx路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)
10、的平方成正比,且t=1时h=5,M,A的水平距离是vt米.(1)求k,并用t表示h.(2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离.(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围.【自主解答】(1)由题意,将点A(1,18)代入y=,得:18=,k=18.设h=at2,把t=1,h=5代入,a=5,h=5t2.kxk1(2)v=5,AB=1,x=5t+1,h=5t2,OB=18,y=-5t2+18.由x=5t
11、+1,则t=(x-1),y=-(x-1)2+18=-x2+x+,当y=13时,13=-(x-1)2+18,解得x=6或-4,x1,x=6,1515152589515把x=6代入y=,得y=3.运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10(米).(3)略 18x【明技法】本题是二次函数和反比例函数所构成的分段函数,并进一步利用反比例函数解决实际问题,解决这类问题的关键是审清题目,理清步骤:先根据点的坐标确定解析式,再根据方程或不等式解决实际问题.【题组过关】1.(2019安徽模拟)一个可以改变体积的密闭容器内 装有一定质量的某种气体,当改变容器体积时,气体的 密度也随之改变.密度(单位:kg/m
12、3)与体积V(单位:m3)满足函数关系式=(k为常数,k0),其图象如图 所示,那么当V6 m3时,气体的密度(单位:kg/m3)的 取值范围是()kVB A.1.5 B.01.5 2.(2019杭州中考)方方驾驶小汽车匀速从A地行驶到B地,行驶路程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时.世纪金榜导学号(1)求v关于t的函数表达式.(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶速度v的范围.方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理
13、由.【解析】(1)vt=480,且全程速度限定为不超过120千 米/小时,v关于t的函数表达式为v=(t4).(2)上午8点至12点48分时间长为 小时,8点至14点 时间长为6小时.将t=6代入v=得v=80;将t=代入v=得v=100.小汽车行驶速度v的范围为80v100.480t245480t245480t方方不能在当天11点30分前到达B地.理由如下:上午8点至11点30分时间长为 小时,将t=代入v=得v=120,故方方不能在当天11点30分前到达B地.7272480t96073.(2019兰州永登期末)为了预防疾病,某单位对办公 室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每 立
14、方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比 例,药物燃烧后,y与x成反比例(如图),现测得药物8分 钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克,请 根据题中所提供的信息,解答下列问题:世纪金榜导学 号(1)药物燃烧时,y关于x的函数关系式为_,自变量x的取值范围为_;药物燃烧后,y关于x的函数关系式为_.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室,那么从消毒开始,至少需要经过_分钟后,员工才能回到办公室.(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?【解析】(1)y=x(0 x8),y=(x8).(2)结合实际,令y=中y30,即从消毒开始,至少需要30分钟后员工才能进入办公室.(3)把y=3代入y=x,得:x=4,把y=3代入y=,得:x=16,16-4=1210.所以这次消毒是有效的.3448x48x3448x