1、重点题型训练三 二次函数中的存在性问题 题型一 二次函数中几何图形面积问题 1.(2019凉山州中考)如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求抛物线的解析式.(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PAC的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及PAC的周长;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合),使得SPAM=SPAC?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),可设交点式为y=a(x+1)(x-3),把点C(0,3)
2、代入得:-3a=3,a=-1,y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3,抛物线解析式为y=-x2+2x+3.(2)略(3)略 题型二 二次函数与等腰三角形的综合问题 2.(2019眉山中考)如图1,在平面直角坐标系中,抛物 线y=-x2+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0).世纪金 榜导学号(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.49(2)点P是抛物线上A,D之间的一点,过点P作PEx轴于点E,PGy轴,交抛物线于点G.过点G作GFx轴于点F.当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标.(3)如图2,连接AD,BD,点M在线段AB上(不与A,B重合),作DMN=DBA,MN交线段AD
3、于点N,是否存在点M,使得DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请说明理由.【解析】(1)抛物线的解析式为:y=-(x+5)(x-1)=配方得:y=-(x+2)2+4,顶点D的坐标为(-2,4).49241620 xx.99949(2)设点P的坐标为 ,-5a-2,则PE=,PG=2(-2-a)=-4-2a.矩形PEFG的周长为2(PE+PG)=241620(aaa)999，241620aa9992416202(aa42a)9992286832817225aa(a).9999418-0,当a=-时,矩形PEFG的周长最大,此时,点P的横坐标为-.(3)略 89174174题型三
4、二次函数与直角三角形的问题 3.(2019潮州饶平县期末)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx-3交x轴于点A(-3,0),B(1,0),在y轴上有一点E(0,1),连接AE.世纪金榜导学号(1)求二次函数的解析式.(2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点,求ADE面积的最大值.(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)二次函数y=ax2+bx-3经过点A(-3,0),B(1,0),解得:二次函数解析式为y=x2+2x-3.(2)略(3)略 9a3b30ab30，a1,b2,题型四 二次函数
5、与四边形的问题 4.(2019安徽模拟)已知:如图所示,在平面直角坐标 系xOy中,四边形OABC是矩形,OA=4,OC=3,动点P从点C出 发,沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动;同时,动点Q从点O出发,沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度 的速度运动.设点P、点Q的运动时间为t(s).(1)当t=1 s时,求经过点O,P,A三点的抛物线的表达式.(2)当t=2 s时,求tanQPA的值.(3)当线段PQ与线段AB相交于点M,且BM=2AM时,求t的值.(4)连接CQ,当点P,Q在运动过程中,记CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式.【解析】(1)当t=1 s时,
6、则CP=2,OC=3,四边形OABC是矩形,P(2,3),且A(4,0),抛物线过原点O,可设抛物线表达式为y=ax2+bx,解得 过O,P,A三点的抛物线的表达式为y=-x2+3x.(2)略(3)略(4)略 4a2b3,16a4b0,3a,4b3,34题型五 二次函数与相似三角形 5.(2019广东中考)如图1,在平面直角坐标系中,抛物 线y=与x轴交于点A,B(点A在点B右 侧),点D为抛物线的顶点.点C在y轴的正半轴上,CD交x 轴于点F,CAD绕点C顺时针旋转得到CFE,点A恰好旋 转到点F,连接BE.世纪金榜导学号 233 37 3xx848(1)求点A,B,D的坐标.(2)求证:四
7、边形BFCE是平行四边形.(3)如图2,过顶点D作DD1x 轴于点D1,点P是抛物线上一动点,过点P作PM x轴,点M为垂足,使得PAM与DD1A相似(不含全等).求出一个满足以上条件的点P的横坐标,直接回答这样的点P共有几个?【解析】(1)由y=(x+3)2-2 得点D坐标为(-3,-2 ),令y=0得x1=-7,x2=1,点B坐标为(-7,0),点A坐标为(1,0).233 37 3xx8483833(2)过点D作DGy轴交y轴于点G,设点C坐标为(0,n),DGC=FOC=90,DCG=FCO,DGCFOC,由题意得CA=CF,CD=CE,DCA=ECF,OA=1,DG=3,CG=n+2 ,DGCGFOCO，3COFA,FO=OA=1,解得n=,点C坐标为(0,)(或先设直线CD的函数解析式为 y=kx+b,用D,F两点坐标求出y=x+,再求出点C的 坐标),CD=CE=6,3n2 31n，3333223(32 3)tanCFO=,CFO=60,FCA是等边三角形,CFO=ECF,ECBA,BF=BO-FO=6,CE=BF,四边形BFCE是平行四边形.(3)略 CO3FO