1、2021年高考湖南四大名校名师团队猜题卷（A）数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1已知集合，则（ ）ABCD2若则（ ）ABCD3一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、
2、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，24层为八角鼓腹锥顶状，56层呈葫芦状，712层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，108则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为（ ）A第5行，呈葫芦状B第6行，呈葫芦状C第7行，呈宝瓶状D第8行，呈宝瓶状一百零八塔全景4一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有（ ）种A36B48C72D1205将函
3、数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A是奇函数B的图象关于直线对称C的周期是D在区间上单调递减6镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）A甲同学和乙同学B丙同学和乙同学C乙同学和甲同学D丙同学和甲同学7有两条互相垂直的直线和，有一条定长的线段，它的两个端点分别被限制于这两条直线上点是上的一个确定点，即点到点和点的距离的比值是一个定值那么，随着线段的运动，点的运动轨
4、迹及焦距长为（ ）A椭圆，焦距长为B椭圆，焦距长为C双曲线，焦距长为D，双曲线，焦距长为8设函数满足，且对，都有令集合，则集合中的元素个数为（ ）A2020B2021C4040D4042二多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为360、240、120，为检验产品的质量，现需从以上所有产品中抽取一个容量为60的样本进行检验，则下列说法正确的是（ ）A如果采用系统抽样的方法抽取，不需要先剔除个体B如果采用分层抽样的方法抽取，需要先剔除个体C如果采用系统抽样
5、的方法抽取，抽取过程不需要运用简单随机抽样的方法D如果采用分层抽样的方法抽取时，所有产品被抽中的概率相等10设实数、满足，则下列不等式成立的是（ ）ABCD11设正方体的棱长为1，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）A若点为线段的中点时，B若点与点重合时，异面直线与所成角的大小为C若时，二面角的正切值为D若与点重合时，三棱锥外接球的表面积为12已知函数，若关于的方程的解，则实数的可能取值为（ ）ABC0D1三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知平面向量，设，_14已知的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个的值_15已知等比数列中，则满足成立的最大正整数的值
6、为_16双曲线的渐近线为正方形的边、所在的直线，点为该双曲线的右焦点，若过点的直线与直线、的分别相交于、两点，则内切圆半径的最大值为_四解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设（且），求数列的前项和的最值18（本小题满分12分）某市一湿地公园建设项目中，拟在如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在、四个位置建四座观景台，在凸四边形中，千米千米（1）用表示；（2）现要在、两处连接一根水下直管道，已知，问最少应准备多少千米管道（结果可用根式表示）19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是边
7、长为2的等边三角形，平面平面，为中点（1）设平面平面，证明：（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值20（本小题满分12分）核酸检测是诊断新冠病毒（nCoV）的重要标准之一，通过被检者核酸检测可以尽早发现感染者，感染者新冠病毒核酸检测呈阳性2020年抗疫期间，某社区拟对其中850户4口之家以家庭为单位进行核酸检测，假定每个人核酸检测呈阳性还是阴性相互独立，且每个人核酸检测呈阳性的概率都是在进行核酸检测时，可以逐个检测，也可以将几个样本混合在一起检测检测方式有三种选择：方式一：逐个检测；方式二：将每个4口之家检测样本平均分成两组后，分组混合检测；方式三：将每个4口之家4个检测样本混合在一起检测；其
8、中，若混合样本1次检测结果呈阴性，则认为该组样本核酸检测全部呈阴性，不再检测，若混合样本1次检测结果呈阳性，则对该组样本中的各个样本再逐个检测（1）假设某4口之家中有2个样本呈阳性，逐个检测，求恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来的概率；（2）若，分别求该社区选择上述三种检测方式，对其中850户4口之家进行核酸检测次数的数学期望，你建议选择哪种检测方式较好，请简述其实际意义（不要求证明）（附：，）21（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，该点到原点的距离与到的准线的距离相等（1）求抛物线的方程；（2）过焦点的直线与抛物线交于，两点，且与以焦点为圆心2为半径的圆交于，
9、两点，点，在轴右侧证明：当直线与轴不平行时，过点，分别作抛物线的切线，与相交于点，求与的面积之积的取值范围22（本小题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且2021年普通高校招生统一考试湖南四大名校名师团队猜题卷（A）数学参考答案1C2D【解析】3C【解析】因为，故编号为26的佛塔在第7行，呈室瓶状4B【解析】先排高一年级学生，有种排法，若高一年级学生中间有高三学生，有种排法；若高一学生中间无高三学生，有种排法，所以共有种排法5A【解析】函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，为奇函数，故选A6C【解析】，又，有又因为镜片折射率越高，镜片
10、越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄7B【解析】此题为椭圆规画椭圆的原理在两条互相垂直的直线和上建立平面直角坐标系，当点在第一象限时，设与轴的夹角为，则的坐标为（，），从而可知，点在椭圆上，点的轨迹是四分之一个椭圆，当点在其它几个象限或坐标轴上时，点的坐标满足方程，所以点的轨迹是一个椭圆，焦距长为8D【解析】令，则有，又，从而集合中，可化为即，必定为一奇一偶若为偶数时，的取值可以为，共有2021个若为偶数时，同理也有2021个集合中的元素个数共有（个）9AD【解析】由题中数据可知，无论是运用系统抽样还是分层抽样，都不需要先剔除个体，A正确，B错误系统抽样确定起始号时需要用到简单随
11、机抽样，C错误分层抽样时，所有个体被抽到的机会均等，D正确10BD【解析】，得，即又，而，从而选BD11ACD【解析】正方体中，易证，又，所以有面，当为中点时，面，A正确；对于B，面，面，若与重合时，异面直线与所成角为，B错误；对于C，当时，过作，垂足为，则，易证面，从而由，可得二面角的平面角为，C正确对于D，点与重合时，三棱锥的外接球即正方体的外接球，其直径其表面积，D正确12AB【解析】易证，恒成立，所以C错误令若，则时，此时恒成立显然D错误，对于A、B，当时，在（0，1）上恒为正，故在（0，1）上单调递增又因为，在（0，1）上存在唯一零点，；，在上单调递减，在上单调递增，而，故在上存在唯
12、一零点，A、B正确13【解析】，14取6，8，9，10，11中任意一个值均可【解析】的展开式的通项为，若系数为有理数，则，且当时，；时；时；时，6；时无解；时，8；时，6；时，10；时，8，时，6，12所以可取6，8，9，10，11中的任意一个值153【解析】已知为等比数列，设其公比为，由得，解得，又易得数列也是等比数列，其首项为，公比为，从而有故16【解析】由题意得，过、向轴作垂线，垂足分别为，设，则，所以有又，有（当且仅当时等号成立）的内切圆半径令，则在上单调递减当时，有最大值为17【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为，由得，所以（2）数列是首项为，公差为的等差数列方法一：当时，数列是
13、首项为正的递减等差数列由，得，没有最小值当时，数列是首项为负的递增等差数列由，得，所以，没有最大值方法二：利用等差数列求和公式得当时，此时，没有最大值当时，此时，没有最小值18【解析】（1）连结在中，在中，故有，从而（2）因为，所以由（1）可得，所以，而，故此时从而，所以为等腰三角形，所以从而千米19【解析】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，所以平面又平面从而平面平面已知为等边三角形，为中点，所以，故平面平面，故平面由已知平面，所以（2）方法一：设中点为，则，因为平面平面，所以平面，如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间坐标系，由已知有，设平面的法向量，因为，所以，令，则设平面的法向量
14、，令，则，因为，所以所以平面和平面所成二面角的余弦值为方法二：设与相交于点，即平面与平面的交线过设，垂足为连结由（1）知平面，所以，从而平面所以，故是平面与平面所成锐二面角的平面角由已知易得，且，由（1）知为直角三角形，为直角，从而，所以，故，所以20【解析】（1）记恰好经过3次检测能把这个家庭阳性样本全部检测出来为事件，则（2）当时，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99若选择方式一，该社区对其中850户4口之家需进行次核酸检测若选择方式二，记每个4口之家检测次数为，则可能取值为2，4，6，其分布列为246故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望次若选择方式三进行核酸检测，记每个
15、4口之家检测次数为，则可能取值为1，5其分布列为12故选择方式三每个4口之家检测次数的期望为故该社区对其中1000户4口之家进行核酸检测总次数期望为次显然由上可知，当每个人核酸检测呈阳性概率很小时，采取每个家庭检测样本混合在一起检测时，检测总次数期望相较其他方式少，对人数众多的群体采用方式三进行核酸检测显著提高了检测效率，大大节约了检测成本21【解析】（1）由题意可得，解得，所以抛物线的方程为（2）由（1）知，圆方程为：，由已知可设，且，由得，设是抛物线上任一点，则，故抛物线与圆相离证明：当直线与轴不平行时，有，方法一：由抛物线定义知，所以，所以方法二：因为、四点共线，、中点为，若，则必有中点与、中点重合，即，因为，所以由（1）知抛物线方程为所以所以过点的切线，即同理可得，过点的切线为由，方程联立，得，解之，得，又得，所以到的距离，从而22【解析】（1）函数的定义域为当时，所以，易知在上单调递增，且则在上，在上，从而在上单调递减，在上单调递增（2）证明：，所以，且设，则，所以在上单调递增，即在上单调递增，由即，设，则在上单调递增且则当时，都恰有一个，使得，且当时，当时，因此总有唯一的极小值点所以，从而，极小值由，可得当时，即，随增大而增大，易得令，则，设，所以在上单调递减，且，从而即