1、第2章 圆锥曲线与方程25 曲线与方程第2章 圆锥曲线与方程 1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想 2掌握求曲线方程的步骤与一般方法 3.体会解析几何的本质，用坐标法研究几何图形的知识 4了解圆锥曲线的统一定义并能利用定义解决一些简单应用问题栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个_的实数解建立了如下的关系：点在曲线上点的坐标满足方程即：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的_；(2)
2、以这个方程的解为坐标的点_曲线上的点此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线二元方程f(x，y)0解都是栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2求曲线的方程的步骤(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 PM|p(M)；(3)用坐标 x，y 表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0；(4)化方程 f(x，y)0 为最简形式；(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程3.圆锥曲线的统一定义任意
3、给定常数 e(e0)，点 F 和直线 l(Fl)，设动点 P 到 F 的距离和到 l 的距离之比等于 e，则 P 的轨迹是_F 是这条圆锥曲线的焦点，l 称为它的准线当 0eC1 时是_椭圆x2a2y2b21 有两条准线 x_，双曲线x2a2y2b21 有两条准线 x_圆锥曲线椭圆抛物线双曲线a2ca2c栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x2y21(x0)表示的曲线是单位圆()(2)若点 M(x，y)的坐标是方程 f(x，y)0 的解，则点 M 在曲线f(x，y)0 上()(3)方程 yx 与方程 yx2x 表
4、示同一曲线()栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2设方程 f(x，y)0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程 f(x，y)0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，则下列命题正确的是()A坐标满足方程 f(x，y)0 的点都不在曲线 C 上B曲线 C 上的点的坐标都不满足方程 f(x，y)0C坐标满足方程 f(x，y)0 的点有些在曲线 C 上，有些不在曲线 C 上D一定有不在曲线 C 上的点，其坐标满足 f(x，y)0答案：D栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程3如果曲线 C 的方程是 f(x，y)0，那么点 P(
5、x0，y0)在曲线 C上的充要条件是什么？解：若点 P 在曲线 C 上，则 f(x0，y0)0；若 f(x0，y0)0，则点 P 在曲线 C 上，所以点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)0.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 曲线与方程的概念(1)命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程 f(x，y)0 表示的曲线是 CB方程 f(x，y)0 表示的曲线不一定是 CCf(x，y)0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上栏目导引探究
6、案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程(2)已知方程 x2(y1)210.判断点 P(1，2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；若点 Mm2，m 在此方程表示的曲线上，求出 m 的值【解】(1)选 B.“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”但“以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上，故 A，C，D 都不正确故选 B.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程(2)因为 12(21)210，(2)2(31)210，所以点 P(1，2)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，而点Q(2，3)
7、不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上 若点 Mm2，m 在方程 x2(y1)210 所表示的曲线上，则m22(m1)210，解之得 m2 或 m185.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程判定曲线和方程对应关系的两个关注点(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性 注意 只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 判断下列命题是否正确：(1)
8、设点 A(2，0)，B(0，2)，则线段 AB 的方程是 xy20；(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 x2y20.解：(1)方程 xy20 表示一条直线，坐标满足该方程的点如(1，3)等不在线段 AB 上，故命题错误(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 yx，满足 x2y20，反过来坐标满足方程 x2y20 的点到两坐标轴的距离相等，故命题正确栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 由方程判断曲线(1)方程(xy2)x2y290 表示的曲线是()A一个圆和一条直线B半个圆和一条直线C一个圆和两条射线D一个圆和一条线段(2)如图所示，方程 y|x
9、|x2表示的曲线是()栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程【解析】(1)(xy2)x2y290 变形为 x2y290 或xy20，x2y290.表示以原点为圆心，3 为半径的圆和直线 xy20 在圆 x2y290 外面的两条射线故选 C.(2)因为 y|x|x21x，x0，1x，x1，即 x1，且当 x1 时 y0，故选 D.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程 求曲线的方程 设圆 C：(x1)2y21，过原点 O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程【解】法一：(直接法)设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，
10、y)为其中点，则 CPOQ.因为 OC 的中点为 M12，0，连接 MP，故|MP|12|OC|12，得方程x122y214，由圆的范围知 0 x1.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程法二：(定义法)因为OPC90，所以动点 P 在以点 M12，0 为圆心，OC 为直径的圆上 由圆的方程得x122y214(0 x1)法三：(代入法)设所作弦 OQ 的中点 P(x，y)，Q(x1，y1)，则xx12，yy12x12x，y12y.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程又因为点 Q(x1，y1)在圆 C 上，所以(x11
11、)2y211，所以(2x1)2(2y)21，即x122y214(0 x1)法四：(参数法)设动弦 OQ 的方程为 ykx，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程代入圆的方程得(x1)2k2x21，即(1k2)x22x0，所以 xx1x22 11k2，ykxk1k2，消去 k 即可得(2x1)2(2y)21，即x122y214(0b0)的右焦点为 F(c，0)，离心率eca，点 A 在椭圆上，d 为点 A 到定直线 l：xa2c 的距离(1)求证：|AF|d e；(2)试判断以右焦点弦 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系并说明理由栏目导引探究案讲练互动应
12、用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程【解】(1)证明：设 A(x，y)为椭圆x2a2y2b21(ab0)上任意一点，|AF|d m(m0)，则（xc）2y2|xa2c|m，两边平方整理得(1m2)x2y2(2c2a2m2c)x(a4m2c2 c2)，比较椭圆方程b2x2a2 y2b2 的各项系数得，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2c2a2m2c0，所以 m2(ca)2，因为 m0，所以 mca，即|AF|d e.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程(2)设 A，B 两点到直线 l：xa2c 的
13、距离分别为d1，d2，焦点弦 AB 的中点 M 到直线 l：xa2c的距离为 d，由(1)可知|AF|d1|BF|d2 e，所以 dd1d221e|AF|BF|21e|AB|2|AB|2 (因为 0e1)，故以 AB 为直径的圆与定直线 l 相离栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程椭圆、抛物线、双曲线三种圆锥曲线的共同特征表现在以下三个方面：(1)从方程的形式来看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程(包括圆)f(x，y)0 都是二元二次方程，所以统称为二次曲线(2)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与定点和定直线的距离的比是常数 e 的点的集合
14、(或轨迹)，只是当 0e1 时为双曲线 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程(3)从曲线的形状生成过程来看：圆锥曲线可看成不同的平面截圆锥面所得到的截面的周界，因此，椭圆(包括圆)、抛物线、双曲线又统称为圆锥曲线 曲线 M 上的点 Q(x，y)到定点 F(2，0)的距离和它到定直线 l：x8 的距离的比是常数12.(1)求曲线 M 的方程；(2)已知点 P(1，3)，点 Q 在曲线 M 上移动，当|PQ|2|QF|取最小值时，求 Q 点的坐标，并求出最小值栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程解：(1)设 d 是点
15、Q 到直线 l 的距离，则|QF|d 12，即（x2）2y2|8x|12，整理得x216y2121，即曲线 M 的方程为x216y2121.(2)如图，由(1)知，d2|QF|，设 Q 在 l 上的射影为 Q，过 P 作 PPl 于 P，栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程则 d|QQ|2|QF|，所以|PQ|2|QF|PQ|QQ|，所以当 P、Q、Q共线时，即 Q与 P重合时，|PQ|QQ|取最小值，为 8(1)9，此时 Q 点纵坐标为3，代入曲线 M 的方程得 x2，因为 Q 在线段 PP上，所以 x2，所以 Q 运动到(2，3)时，|PQ|2|QF
16、|取最小值为 9.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1理解曲线与方程的定义应注意(1)定义中的第一条“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的解的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性)(2)定义中的第二条“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程(3)定义的实质是平面曲线上的点集和方程 f(x，y)0 的解集(x，y)|f(x，y)0之间的一一对应关系曲线和方程的这一对应关系，既
17、可以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲线的方程2坐标系建立的不同，同一曲线的方程也不相同3一般的，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程4方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程 f(x，y)0 化成 x，y 的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明5“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出轨迹方程，再说明轨
18、迹的形状栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程1椭圆的中心在原点，焦距为 4，一条准线为 x4，则该椭圆的方程为()A.x216y2121 B.x212y281C.x28 y241D.x212y241栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程解析：选 C.由题意知椭圆的焦点在 x 轴上，故可设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)由题意知2c4，a2c 4，所以c2，a28，所以 b2a2c24，故所求椭圆方程为x28 y241.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程2下列各组方程表示
19、相同曲线的是()Ayx 与 y x2Byx2 与 y|x|C(x1)2(y2)20 与(x1)(y2)0Dy x2与 y|x|解析：选 D.A 中 yx 表示直线，y x2|x|表示两条射线；B中 yx2 表示抛物线，y|x|表示两条射线；C 中前者表示一个点，后者表示两条直线 x1 和 y2，故选 D.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程3平面内有两定点 A，B 且|AB|4，动点 P 满足|PAPB|4，则点 P 的轨迹是()A线段B半圆C圆D直线解析：选 C.以 AB 的中点为原点 O，以 AB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A(2，0)
20、，B(2，0)设 P(x，y)，则PAPB2PO 2(x，y)所以 x2y24.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程4已知 A(3，0)，B(3，0)，动点 M 满足MA MB 1，求点 M 的轨迹方程解：设 M(x，y)为所求轨迹上任一点，MA(3x，y)，MB(3x，y)因为MA MB 1，所以(3x，y)(3x，y)1，所以(9x2)y21，所以 x2y28.所以点 M 的轨迹方程为 x2y28.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第2章 圆锥曲线与方程本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
