1、湖南师大附中20202021学年度高一第二学期期中考试数学时量：120分钟 满分：150分得分：_一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设，则（ ）A6 B5 C4 D32下列说法正确的是（ ）A任意三点确定一个平面B两个不重合的平面和有不同在一条直线上的三个交点C梯形一定是平面图形D一条直线和一个点确定一个平面3在边长为3的等边三角形中，则（ ）A B C D4一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如下图所示），则原平面图形的周长为（ ）A8 B C4 D5已知，若且，则
2、（ ）A5 B4 C2 D16某正方体的平面展开图如下图所示，则在这个正方体中（ ）A与相交 B与平行 C与平行 D与异面7如图所示，是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼，高为，与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是和，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为，假设、和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（ ）A B C D8九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，且下列说法错误的是（ ）
3、A四棱锥为“阳马”B四面体为“鳖臑”C四棱锥体积最大为D过A点分别作于点E，于点F，则二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9对任意平面向量，下列命题中真命题是（ ）A若，则 B若，则C D10，已知a，b表示直线，表示平面，则下列推理不正确的是（ ）A B，且C D11在中，内角A，B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为S，下列与有关的结论，正确的是（ ）A若为锐角三角形，则B若，则C若，则一定是等腰三角形D若为非直角三角形，则12如图，直角三角形中，P是斜边上一点，且满足，点M、N在
4、过点P的直线上，若，则下列结论正确的是（ ）A为常数 B的最小值为3C的最小值为 Dm、n的值可以为：三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是_14如图，正方体中，与异面且与所成角为的面对角共有_条15在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，已知，且，则的值等于_16如图，在中，分别取三边的中点D、E，F，将、分别沿三条中位线折起，使得A、B、C重合于点P，则当三棱锥的外接球的体积最小时，其外接球的半径为_，三棱锥的体积为_（第一空3分，第二空2分）四、解答题：本题共6个小题，共70分解答应写出文
5、字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）已知复数是实数（1）求复数z；（2）若复数是关于x的方程的根，求实数b和c的值18（本小题满分12分）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，且，其中O为坐标原点（1）若，设点D为线段上的动点，求的最小值；（2）若，向量，求的最小值及对应的值19（本小题满分12分）在，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题已知锐角中，a、b、c分别为内角A，B、C的对边，_（1）求角C；（2）求的取值范围（注意：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）20（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，平面，设M、N分别为、的中点（1）求证：平
6、面平面；（2）求三棱锥的侧面积21（本小题满分12分）党的十九大报告指出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略如图，A村、B村分别位于某河流的南、北两岸，公里，现需将A村的农产品运往B村加工乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为元/公里（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸上选择一个中转站D，
7、先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由22（本小题满分12分）已知的外心为O，内心为（1）如图1，若试用表示；求的值（2）如图2，若存在实数，使，试求的值湖南师大附中20202021学年度高一第二学期期中考试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112答案BCCACBDCBDABCABDABD1B 【解析】因为，所以，解得，所以，故选B2C 【解析】A选项，不共线的三点确定一个平面，A错；B选项，两个平面有公共点，则有一条
8、过该公共点的公共直线，如没有公共点，则两平面平行，B错；D选项，一条直线和直线外的一点可以确定一个平面，D错；C选项，两条平行直线，确定一个平面，梯形中有一组对边平行，C对，故选C3C 【解析】，故选C4A 【解析】直观图中，由此画出直观图对应的原图如下图所示，其中，所以，所以原平面图形的周长为，故选A5C 【解析】由及，故选C6B 【解析】根据题意得其立体图形如图所示：A选项，与是异面直线，故不相交；B选项，与平行，故正确；C选项，与位于两个平行平面内，故不正确；D选项，与是相交的故答案为B7D 【解析】在中，；在中，由正弦定理得，；在中，故选D8C 【解析】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面
9、的三棱柱称为“堑堵”所以在堑堵中，侧棱平面在选项A中所以，又，且，则平面所以四棱锥为“阳马”，故A正确在选项B中由，即，又且，所以平面所以，则为直角三角形又由平面，得为直角三角形由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形所以四面体为“鳖臑”，故B正确在选项C中在底面有，即，当且仅当时取等号，所以C不正确在选项D中由上面有平面，则且，则平面，所以且，则平面，则，所以D正确故选：C二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9BD 【解析】若，则，反例，则与具有任意性，所以A不正确；若，则，向量
10、相等具有传递性，所以B正确；，如果，则不等式不成立，所以C不正确；，所以D正确故选BD10ABC 【解析】A因为，则a，b平行或相交，故错误；B因为，则或或，故错误；C因为，则平行或相交，故错误；D因为，由面面平行的性质定理得，故正确；故选：ABC11ABD 【解析】对于A中，若为锐角三角形，可得且，可得，且，根据正弦函数的单调性，可得，所以，所以A正确；对于B中，在中，由知，根据正弦定理可得，所以B正确；对于C中，由正弦定理知，可得，故或，是等腰三角形或直角三角形，所以C不正确；对于D中，在中，可得，则，所以，即，可得，则，所以D正确故选：ABD12ABD 【解析】由得，若，M、P、N三点共
11、线，当，D选项正确；，当且仅当时等号成立，B选项正确；，当且仅当时等号成立，C选项错误故选ABD三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13 【解析】设圆锥的底面半径为r，则底面周长为，故展开后的扇形弧长为，又扇形的圆心角为，半径为1，故，所以圆锥的侧面积为表面积为，故表面积与侧面积的比是141 【解析】与面对角线异面，所成的角是，由于，又，以，而与正方体其它异面的面对角线都不垂直，所以与异面且与所成角为的面对角线共有1条，故填：115 【解析】，整理可得：，可得A为三角形内角，解得，由余弦定理得，解得16 【解析】由题意得三棱锥的对棱分别相等，设，则，将三棱锥补充成长方体，则对角线
12、长分别为，三棱锥的外接球即为长方体的外接球设长方体的长宽高分别为x、y、z，则，所以，则外接球半径，当时，半径最小，此时三棱锥的外接球的体积最小，此时，解得，所以三棱锥故答案为：四、解答题：本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17【解析】（1）因为，可得，又由是实数，可得，解得，所以 5分（2）因为是方程的根，所以，即，可得，解得 10分18【解析】（1）设由题意，则， 2分所以，所以， 4分所以当时，最小，最小值为 5分（2）由题意得，则 7分， 9分因为，所以， 10分所以当，即时，取得最大值1，此时取得最小值所以的最小值为，此时 12分19【解析】（1）选条件：
13、，由及正弦定理得， 2分即，所以， 4分因为C为锐角，所以 5分（1）选条件：由及正弦定理，得， 2分即， 4分，可得， 5分（1）选条件，由及正弦定理得， 2分即，由余弦定理得， 4分， 5分（2）又是锐角三角形，解得， 6分由正弦定理得， 9分， 11分 12分20【解析】（1）M、N分别为、的中点，又平面平面，平面， 2分在中，又，平面平面，平面 4分又，平面平面 5分（2）平面，平面，平面，由（1）可知， 6分，由（1）可知，在中， 8分， 9分又， 10分在中，边上的高， 11分三棱锥的侧面积 12分21【解析】（1）由于10公里，公里第一种运输方案所需费用为元； 2分第二种运输方案所需费用为元； 4分可得，故第二种方案比第一种方案更优 5分（2）令，则公里，公里，公里， 8分于是，所需总费用为， 10分令，则，所以，又，则，当时，公里，即当中转站选址在南岸位于A东边公里的D处是最佳的 12分22【解析】（1）由已知得O为中点，且A，I，O三点共线，； 2分由于，内切圆半径，故 5分（2）如图3，设的外接圆半径、内切圆半径分别为R，r，记中点为M，于D由知，又则，则，即 9分以下用两种方式变形上式：方法1：上式即，即 12分方法2：利用积化和差有，则 12分