1、第三章3.2基础练习1若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为u(2,0，4)，则()Al平面Bl平面Cl平面Dl与平面斜交【答案】B【解析】u2a，au.l.2已知平面内有一个点A(2，1,2)，它的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1,1)BCD【答案】B【解析】对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0.故选B3若平面与的法向量分别是a(4,0，2)，b(1,0,2)，则平面与的位置关系是()A平行B垂直C相交不垂直D无法判断【答案】B【解析】ab4100220，ab.平面平面.
2、4.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论，其中正确的是()A.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)B.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)D.平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)【答案】AC【解析】(0,1,0)，ABAD，AA1AD，ABAA1A，AD平面ABB1A1，A正确；(1,0,0)，而(1,1,1)10，(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，B错误；(0,1，1)，(1,0,1)，(1,1,1)0，(1,1,1)0，B1CCD1C，(1,1,1)是平面B1
3、CD1的一个法向量，C正确；(0,1,1)，而(0,1,1)20，(0,1,1)不是平面ABC1D1的法向量，D错误.故选AC.5若平面，的法向量分别为u(2，3,5)，(3,1，4)，则平面，的位置关系是_【答案】相交但不垂直【解析】u与v不平行且uv63200，与相交但不垂直6已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)【答案】【解析】12(1)2(4)(1)0，4(1)220(1)0，正确7在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和B
4、C的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M平面EFB1.解：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，F.，.设M(1,1，m)，则 (1,1，m1)D1M平面EFB1， .即解得m.故取BB1的中点M，就能满足D1M平面EFB1.8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN平面A1BD证明：(方法一)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求
5、得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1，1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)，则n0且n0，得取x1，得y1，z1.n(1，1，1)又n (1，1，1)0，n.又MN平面A1BD，MN平面A1BD(方法二)()，.又MN平面A1BD，MN平面A1BD能力提升9已知点A(0,1,0)，B(1,0,1)，C(2,1,1)，点P在xOz平面内且PA平面ABC，则点P的坐标为()AB(1,0，2)CD(2,0,1)【答案】A【解析】PA平面ABC，PAAB，PAAC0，0.设P(x,0，z)，则(x,1，z)，(1，1,1)，(2,0,1)，
6、x1z0，2xz0，解得x，z.点P的坐标为.故选A10正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，E，F分别为DB和D1C上的点，DED1Fa，则EF与平面BB1C1C的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定【答案】B【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则E，F，.又(0，a,0)为平面BB1C1C的一个法向量，而0，.又E不在平面BB1C1C内，EF平面BB1C1C故选B11以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，有下列结论：0；BAC60；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC的法向量和平
7、面ABC的法向量互相垂直其中正确的是_(填序号)【答案】【解析】将等腰RtABC折叠且平面ABD平面ACD，则DA，DB，DC两两垂直，ABD，ADC，BCD是等腰直角三角形可知0.又ABC为等边三角形，BAC60.三棱锥DABC是正三棱锥. 平面ADC和平面ABC不垂直故正确12.四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由.(1)证明：连接BD，设BD交AC于O，则ACBD.连接SO.由题意知SO平面ABCD，以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图.设底面边长为a，则高SOa，于是S，D，B，C，则0，故OCSD，从而ACSD.(2)棱SC上存在一点E使BE平面PAC，理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t ，则t，而0t.即当SEEC21时，.而 BE不在平面PAC内，故BE平面PAC.