1、阶段性评估(二)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1在空间中，下列命题中正确的是(C)A若两直线a，b与直线l所成的角相等，那么abB若两直线a，b与平面所成的角相等，那么abC如果直线l与两平面，所成的角都是直角，那么D若平面与两平面，所成的二面角都是直二面角，那么解析：A错，两直线可平行或相交或异面；B错，若两直线与平面所成角相等，两直线可平行，也可相交(如圆锥的每一条母线与圆锥的底面所成角均相等)；C正确，据已知直线l，l，故必有；D错误，据题意得，则，可平行也可相交(如墙角或长方体从一顶点引出的三个
2、平面，注意长方体是空间想象的一个重要模型，考生应很好地利用它)2如图为一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，线段AB，CD的位置关系是(D)A平行B垂直但不相交C异面但不垂直D相交解析：将表面展开图还原易得直线AB与CD为相交直线，故选D.3在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的面的个数是(B)A1B2C3D6解析：仅有平面ABCD和平面A1B1C1D1与直线AA1垂直4若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(B)A若m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线B若m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线C已知，互相平行，m，n互相平行，若
3、m，则nD若m，n在平面内的射影互相平行，则m，n互相平行解析：A中，m，n可以是相交直线；B正确；C中，n可以平行，也可以在内；D中，m，n也可能异面5已知PA矩形ABCD，下列结论中不正确的是(C)APBBCBPDCDCPDBD DPABD解析：如图所示，由PA矩形ABCD可得BC平面PAB，DA平面PAB，DC平面PAD，AB平面PAD，则有PBBC，PDCD，PABD均正确，而PDBD不正确，故应选C.6下列命题中不正确命题的个数是(C)过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行
4、；过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直A1B2C3D4解析：考查正方体中互相垂直的线和平面对于：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直，如图中平面A1D和平面A1B与平面AC都垂直，故错；对于：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直，这是错误的，如图中平面A1D和平面A1B都与平面AC垂直，故错；对于：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行，如图中过C1的与A1B1和AD都平行的平面就不存在，故错；对于：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的故选C.7已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点H是棱B1C1的中点，则四边形BDD1H是
5、(C)A平行四边形B矩形C空间四边形D菱形解析：D1H与DB是异面直线，四边形BDD1H是空间四边形，故应选C.8如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是线段C1D1，A1D1，BD1，BC的中点，给出下面四个命题：MN平面APC；B1Q平面DMN；A，P，M三点共线；平面MNQ平面APC.正确的序号为(A)ABCD解析：逐一判断因为MNAC，MN平面APC，AC平面APC，所以MN平面APC，故正确；又因为B1QND，B1Q平面DMN，ND平面DMN，所以B1Q平面DMN，故正确；因为A，P，C1三点共线，所以错误；平面MNQ与平面APC相交，故错误9如图，在三棱柱ABC
6、ABC中，点E，F，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心从K，H，G，B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为(C)AKBHCGDB解析：当点P与K重合时，平面PEF即为平面KEF，因为KF与三棱柱三条侧棱都平行，不满足题设条件当P点与H重合时，平面PEF即为平面HEF，当平面HEF与三棱柱两底平面均平行时，有六条棱平行于平面HEF不合题意当P点与B点重合时，平面PEF即为平面BEF，此时三棱柱棱中只有一条棱AB与它平行不合题意当P点与G点重合时，平面PEF即为平面GEF，此时恰有三棱柱的两条棱AB，AB与平面平行满足题意故应选C.10如图，已知六棱
7、锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是(D)APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45解析：PA平面ABC，ADP是直线PD与平面ABC所成的角六边形ABCDEF是正六边形，AD2AB，tanADP1，直线PD与平面ABC所成的角为45.11如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A不与A，F重合)，则下列命题中真命题为(C)动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；BC平面ADE；三棱锥AFED的体积有最大值ABCD解析：折叠前DEAF，
8、折叠后其位置关系没有改变中由已知可得平面AFG平面ABC，点A在平面ABC上的射影在线段AF上BCDE，BC平面ADE，DE平面ADE，BC平面ADE.当平面ADE平面ABC时，三棱锥AFED的体积达到最大12如图，矩形ABCD中，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQDQ，则a的取值情况是(A)A有且仅有一个B至少有一个C至多有一个D有无数个解析：因为PA平面ABCD，所以PADQ，又PQDQ，所以DQ平面PAQ，所以DQAQ.因为BC边上只有一个点Q满足PQDQ，所以在矩形ABCD中，只有一个点Q满足AQQD.所以以AD为直径的圆与BC相切，所以BCAD2AB2，
9、即a2只有一个值选A.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是.解析：如图，因为B1BA1A，所以BB1D就是异面直线AA1与B1D所成的角，连接BD.在RtB1BD中，设棱长为1，则B1D.cosBB1D.所以AA1与B1D所成的角的余弦值为.14过正方体ABCDA1B1C1D1的三个顶点A1，C1，B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是平行解析：因为过A1，C1，B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1，与底面ABCD的交线为l，由于
10、正方体的两底面互相平行，则由面面平行的性质定理知lA1C1.15如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，E是A1C1上一点，且A1B平面B1DE，则的值为.解析：连接BC1交B1D于点F，连接EF.因为平面A1BC1平面B1DEEF，A1B平面B1DE，所以A1BEF，所以.因为BCB1C1，所以BDFC1B1F，所以.因为D是BC的中点，所以，所以.16如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，若正方体ABCDA1B1C1D1的棱长是2，则点F的轨迹被正方形BCC1B1截得的线段长是.解析：如图所示，设平面AD
11、1E与直线BC交于点G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，因为A1MD1E，所以A1M平面D1AE，同理可得MN平面D1AE，所以平面A1MN平面D1AE.因为A1F平面D1AE，所以A1F平面A1MN，所以点F的轨迹被正方形截得的线段是MN，其长度是.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10分)已知：空间四边形ABCD中，如图，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且.求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)三条直线EF，GH，AC交于一点证明：(1)在ABD和
12、CBD中，E，H分别是AB和AD的中点，EH綊BD.又，FG綊BD.EHFG.所以，E，F，G，H四点共面(2)由(1)可知，EHFG，且EHFG，即EF，GH是梯形的两腰，所以它们的延长线必相交于一点，设这个交点为P.E，F平面ABC，EF平面ABC.PEF，P平面ABC，同理P平面ADC，平面ABC平面ADCAC，PAC，所以EF，GH，AC交于一点18(12分)如图，已知矩形ABCD中，PA平面ABCD，M，N，R分别是AB，PC，CD的中点求证：(1)直线AR平面PMC；(2)直线MN直线AB.证明：(1)四边形ABCD为矩形，M，R分别为AB，CD的中点AMCR且AMCR.四边形AM
13、CR是平行四边形，CMAR.又AR平面PCM，CM平面PCM，AR平面PMC.(2)连接MR，NR，如图，在矩形ABCD中，ABAD，PA平面ABCD，PAAB，AB平面PAD.平面PAD平面NMR，AB平面MNR，ABMN.19(12分)如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC平面ABC.(1)若ABBC，CPPB，求证：CPPA；(2)若过点A作直线l平面ABC，求证：直线l平面PBC.证明：(1)因为平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AB平面ABC，ABBC，所以AB平面PBC.因为CP平面PBC，所以CPAB.又CPPB，且PBABB，所以CP平面PAB.又PA平面PAB
14、，所以CPPA.(2)在平面PBC内过点P作PDBC，垂足为D.因为平面PBC平面ABC，且平面PBC平面ABCBC，PD平面PBC，所以PD平面ABC.又l平面ABC，所以lPD.又l平面PBC，PD平面PBC，所以l平面PBC.20(12分)如图1，在等腰梯形CDEF中，CB，DA是梯形的高，AEBF2，AB2.现将梯形沿CB，DA折起，使EFAB，且EF2AB，得一简单组合体ABCDEF，如图2所示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点(1)求证：MN平面BCF；(2)求证：AP平面DAE.证明：(1)在题图2中，连接AC.四边形ABCD是矩形，N为BD的中点，N为AC的中点在AC
15、F中，M为AF的中点，MNCF.CF平面BCF，MN平面BCF，MN平面BCF.(2)依题意，知DAAB，DAAE，且ABAEA，AD平面ABFE.又AP平面ABFE，APAD.P为EF的中点，FPAB2.又ABEF，四边形ABFP是平行四边形，APBF，且APBF2.又AE2，PE2，AP2AE2PE2，EAP90，即APAE.又ADAEA，AP平面ADE.21(12分)四棱锥PABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示(1)写出四棱锥PABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥PABCD中，若E为PA的中点，求证：BE平面PCD.解：(1)如图，在四棱锥PABCD中，PA平
16、面ABCD，AD平面PAB，BC平面PAB，AB平面PAD.(2)证法一：取PD的中点F，连接EF，CF，如图，E，F分别是PA，PD的中点，EFAD，EFAD.在直角梯形ABCD中，BCAD，且BCAD，EFBC，且EFBC.四边形BEFC是平行四边形，BECF.又CF平面PCD，BE平面PCD，BE平面PCD.证法二：取AD的中点N，连接EN，BN，如图，E，N分别是PA，AD的中点，ENPD.又EN平面PCD，EN平面PCD.在直角梯形ABCD中，BCAD，且BCADDN，四边形BCDN是平行四边形，BNCD.又BN平面PCD，BN平面PCD.BNENN，平面BEN平面PCD.又BE平面
17、BEN，BE平面PCD.22(12分)如图，在三棱锥ABCD中，BCD90，BCCD1，AB平面BCD，ADB60，E，F分别是AC，AD上的动点，且(01)(1)求证：不论为何值，恒有平面BEF平面ABC；(2)当为何值时，平面BEF平面ACD?解：(1)证明：AB平面BCD，ABCD.CDBC，且ABBCB，CD平面ABC.又(01)，不论为何值，恒有EFCD，EF平面ABC.又EF平面BEF，平面BEF平面ABC.不论为何值，恒有平面BEF平面ABC.(2)由(1)，知BEEF.若平面BEF平面ACD，又平面BEF平面ACDEF，则BE平面ACD，BEAC.BCCD1，BCD90，ADB60，BD，ABtan60，AC.由AB2AEAC，得AE，故当时，平面BEF平面ACD.