1、3弧度制填一填1.度量角的两种制度(1)角度制：定义：用_作为单位来度量角的单位制1度的角：周角的_(2)弧度制：定义：以_作为单位来度量角的单位制1弧度的角：长度等于_的弧所对的圆心角2弧度数的计算与互化(1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化3扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，(02)为其圆心角，则(1)弧长公式：l_.(2)扇形面积公式：S_.判一判1.1弧度的角等于1度的角()2弧度的计算公式为.()3直角的弧度数为.()4“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位()5用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关()61的角是周角的，1 rad的角是周角的.()7扇形的半
2、径为1 cm，圆心角为30，则扇形的弧长lr|13030(cm)()8与终边相同的角的集合为()想一想1.两种度量制的区别与联系？提示：区别定义不同单位不同弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅与半径与所含的弧这两者的比值有关“弧度”与“角度”之间可以相互转化2.如何应用弧长公式、扇形的面积公式？提示：运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前提是为弧度制；在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形应用：
3、l|R，|，R.S|R2，|.3弧度制建立的意义？提示：角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(如图)思考感悟：练一练1.将864化为弧度为()A. B. C. D.2时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为()A. B C. D3的角化为角度制为_，135的角化为弧度制为_4在直径为20 cm的圆中，的圆心角所对弧的长为_cm.知识点一弧度与角度的互化1.设1570，2750，用弧度制表示它们，并指出它们各自所在的象限2
4、设1，2，用角度制表示它们，并在7200范围内找出与它们有相同终边的所有角知识点二利用弧度制表示角3.把表示成2k(kZ)的形式，使|最小的值是()A BC. D.4如图所示：(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合知识点三与扇形弧长、面积相关问题5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为()A. B.C. D26一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.综合知识扇形弧长、面积的综合问题7.已知一扇形的圆心角是72，半径为20，求扇形的面积8某市规划拟在如图所示的扇
5、形土地上修建一个圆形广场已知AOB60，的长度为100 m，怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？基础达标一、选择题1下列命题中，正确的是()A1弧度是1度的圆心角所对的弧B1弧度是长度为半径长的弧C1弧度是1度的弧与1度的角之和D1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角22 100化成弧度是()A. B10C. D.3下列转化结果错误的是()A60化成弧度是B化成度是600C150化成弧度是D.化成度是154已知某中学上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、 分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是()A. B.C. D.5与60角的终边相同的角是()A.
6、 B.C. D.6在区间(0,2)内，与终边相同的角是()A. B.C. D.7半径为1，圆心角为的扇形的面积为()A. B.C D.8已知圆的半径为 cm，则120的圆心角所对的弧长是()A. cm B. cmC. cm D. cm二、填空题9时间经过5小时，分针转过的弧度数为_10已知扇形的圆心角为120，弧长为2 cm，则这个扇形的面积等于_cm2.11弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作无穷小分析概论中提出把圆的半径作为弧长的度量单位已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是_12已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是_三、解答题1
7、3已知1 690.(1)把写成2k(kZ，0,2)的形式(2)求，使与终边相同，且(4，4)14已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若75，R12 cm，求扇形的弧长l和面积；(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？能力提升15.用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合16在如图所示的圆中，已知AOB，半径OC与弦AB垂直，垂足为D.若CDa，求的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积3弧度制一测基础过关填一填1(1)度(2)弧度半径长2(1)正数负数0(2)3(1)R(2)lRR2判一判12.3.4.5.6.78.练一练
8、1C2.B3.3004.二测考点落实1解析：1(570)22，所以1在第二象限275022，所以2在第一象限2解析：108，与它终边相同的角可表示为k360108，kZ，由720k3601080，得2k；k0时，|.答案：A4解析：(1)终边在OA上的角的集合为.终边在OB上的角的集合为.(2).5解析：设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以rr，所以.答案：C6.解析：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则解得所以圆心角2.如图，过点O作OHAB于点H，则AOH1 rad.所以AH1sin 1sin 1(cm)，所以AB2sin 1(cm)所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2si
9、n 1 cm.7解析：设扇形弧长为l，因为圆心角72 rad，所以扇形弧长l|r208，于是，扇形的面积Slr82080.8解析：如图所示，AOB60，的长度为100 m，OA300(m)由题意可知，当O1是扇形AOB的内切圆时，广场的占地面积最大，设O1与OA切于点C，连接O1O，O1C.则O1OC30，OO1OAO1C300O1C，又O1CO1O，O1C(300O1C)，解得O1C100 m.故当O1是扇形AOB的内切圆时，广场的占地面积最大，此时O1的面积为100210 000(m2)三测学业达标1解析：根据1弧度的定义可知D正确答案：D2解析：2 1002 100.答案：A3解析：对于
10、A,6060；对于B，180600；对于C，150150；对于D，18015.故C项错误答案：C4解析：8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是4.答案：C5解析：因为602，所以与60角的终边相同的角是，故选D.答案：D6解析：因为8，则与终边相同，选D.答案：D7解析：由扇形面积公式得：Sr2|12，故选A.答案：A8解析：因为120，所以120的圆心角所对的弧长l|r(cm)答案：D9解析：每小时分针顺时针旋转一周，其弧度数为2，因此5小时分针转过的弧度数为10.答案：1010解析：
11、设扇形的半径为R cm，扇形的圆心角为120，即，弧长为2 cm，R2，解得R，扇形的面积S2(cm2)故答案为.答案：11解析：由lr，lr得rr，即1，故扇形的圆心角为1弧度答案：112解析：设扇形的半径为R，弧长为l，根据题意得2RlR，由此得2，即圆心角2.答案：213解析：(1)1 690436025042.(2)因为与终边相同，所以2k(kZ)又因为(4，4)，所以42k4.解得k(kZ)，所以k2，1,0,1.所以的值是，.14解析：(1)75，l125(cm)所以SlR30(cm2)故扇形的弧长为5 cm，面积为30 cm2.(2)由已知得，l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.15解析：(1)225角的终边可以看作是135角的终边，化为弧度，即，60角的终边即的终边，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.(2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.16解析：设圆的半径为r，的长为l，则lr，连接AC，因为OAOB，OC与弦AB垂直，所以AOC，所以AOC为等边三角形因为ADOC，所以ODCD，所以r2CD2a，所以l2a，S扇形OACBlr，SAOBABOD2aaa2，所以S弓形ACBS扇形OACBSAOBa2.