1、第1课时集合的含义知识点一集合的含义1元素：一般地，我们把研究对象统称为元素2集合：把一些元素组成的总体叫做集合3元素与集合的符号表示表示1集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物知识点二集合中元素的特征与集合相等1集合中元素的特征特征含义确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现无序性集合中的元素无
2、先后顺序之分2.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的例如，集合1,1与集合1，1是相等的知识点三元素与集合的关系关系语言描述记法示例a属于集合Aa是集合A中的元素aA若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋A，长江Aa不属于集合Aa不是集合A中的元素aA2对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“”“”刻画的是元素与集合之间的关系对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA”这两种结果(2)和具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R0是错误的知识点四常用数集及符号表示常用数集的字母表示常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集(或自然数集)N所有正
3、整数的集合正整数集N*或N全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R3准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素 小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)你班所有的姓氏能组成集合()(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题能组成集合()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素(
4、)答案：(1)(2)(3)2下列各项中，不能组成集合的是()A所有的正数B所有的老人C不等于0的数 D我国古代四大发明解析：“老人”无明确的标准，对于某个人是否“老”无法客观地判断，因此“所有的老人”不能构成集合，故选B.答案：B3已知集合A由x1的数构成，则有()A3AB1AC0AD1A解析：很明显3,1不满足不等式，而0，1满足不等式答案：C4下列三个命题：集合N中最小的数是1；aN，则aN；aN，bN，则ab的最小值是2.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析：根据自然数的特点，显然不正确中若a，则aN且aN，显然不正确答案：A类型一集合的概念例1下列对象能构成集合的是()A
5、高一年级全体较胖的学生 Bsin 30，sin 45，cos 60，1C全体很大的自然数 D平面内到ABC三个顶点距离相等的所有点【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin 30cos 60不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.【答案】D构成集合的元素具有确定性方法归纳,判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素跟踪训练1下列各项中，不可以组成集合的是()A所有的负数 B等于2的数C接近于0的数 D不等于0的偶数解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此
6、C中的对象不能构成集合故选C.答案：CC中元素不确定类型二元素与集合的关系例2(1)下列关系中，正确的有()R；Q；|3|N；|Q.A1个 B2个 C3个 D4个(2)满足“aA且4aA，aN且4aN”，有且只有2个元素的集合A的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】(1)是实数，是无理数，|3|3是非负整数，|是无理数因此，正确，错误(2)aA且4aA，aN且4aN，若a0，则4a4，此时A0,4满足要求；若a1，则4a3，此时A1,3满足要求；若a2，则4a2，此时A2不满足要求故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.【答案】(1)C(2)Ca分类处理：a0，a1，a2；a3，a4还讨
7、论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可此时应首先明确集合是由哪些元素构成的(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件,跟踪训练2下列说法正确的是()A0N B.Q CR D.Z解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.是无理数，Q是有理数集合，Q，故本选项错误；C.是实数，即R，故本选项错误；D.2,2是正整数，则Z，故本选项正确故选D.答案
8、：DN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集类型三集合元素的特性例3已知集合A含有两个元素a3和2a1，若3A，试求实数a的值【解析】因为3A，Aa3,2a1，所以a33或2a13.若a33，则a0，此时集合A3，1，符合题意若2a13，则a1，此时集合A4，3，符合题意综上可知，满足题意的实数a的值为0或1.首先根据3A，求a的所有可能取值，然后根据元素的互异性逐个检验，最后确定实数a的值方法归纳由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练3(1)若集合M中的三个元素是ABC的三边长，则ABC一定不是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形(2)已知集合A含有两个
9、元素a和a2，若1A，则实数a的值为_解析：(1)由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.(2)若1A，则a1或a21，即a1. 当a1时，集合A有重复元素所以a1；当a1时，集合A含有两个元素1，1，符合元素的互异性，所以a1.答案：(1)D(2)1由元素互异性知边不能相等 基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1下列能构成集合的是()A中央电视台著名节目主持人B我市跑得快的汽车C上海市所有的中学生D香港的高楼解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合答案：C2由形如x3k1，kZ的数组成集合A，则下列表示正确的是()A1A B11A
10、C15A D32A解析：113(4)1，故选B.答案：B3已知集合A中元素x满足x，且xN*，则必有()A1A B0AC.A D1A解析：xN*，且x，所以x1,2.所以1A.答案：D4设A是方程x2ax50的解集，且5A，则实数a的值为()A4 B4C1 D1解析：因为5A，所以(5)2a(5)50，所以a4.故选A.答案：A5若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6判断下列说法正确的是_(1)某
11、个单位里的年轻人组成一个集合；(2)1，这些数组成的集合含有五个元素；(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合；(4)方程(x3)(x2)20的解组成的集合有3个元素解析：(1)不正确因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能组成集合(2)不正确根据互异性知，这个集合是由三个元素1，组成的(3)正确集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个集合(4)不正确方程(x3)(x2)20的解是x13，x2x32，因此写成集合时只有3和2两个元素答案：(3)7给出下列关系：(1)R；(2)Q；(3)3Z；(4)N，其中正确的是_解析：是实数，(1)正确；是无理数，(2)
12、错误；3是整数，(3)错误；是无理数，(4)正确答案：(1)(4)8已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2A，则实数x_.解析：因为x2A，所以x21，或x20，或x2x，所以x1，或x0.当x0，或x1时，不满足集合中元素的互异性，所以x1.答案：1三、解答题(每小题10分，共20分)9判断下列说法是否正确？并说明理由(1)大于3的所有自然数组成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，组成的集合含有四个元素；(4)接近于0的数的全体组成一个集合解析：(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故(1)正确；(2)和(4)中的“高科技”、“接近于0”都是标
13、准不确定的，所以不能构成集合，故(2)、(4)错误；由于0.5，所以1,0.5，组成的集合含有3个元素，故(3)错误10数集A满足条件：若aA，则A(a1)若A，求集合中的其他元素解析：因为A，所以2A，所以3A，所以A，所以A.故当A时，集合中的其他元素为2，3，.能力提升(20分钟，40分)11已知集合A含有三个元素2,4,6，且当aA，有6aA，那么a为()A2 B2或4C4 D0解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当aA，有6aA，a2A,6a4A，所以a2，或者a4A,6a2A，所以a4，综上所述，a2或4.故选B.答案：B12设直线y2x3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系
14、为(2,7)_P(填“”或“”)解析：直线y2x3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y2x3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素由于当x2时，y2237，故(2,7)P.答案：13设A是由满足不等式x6的自然数组成的集合，若aA且3aA，求a的值解析：因为aA且3aA，所以解得a2.又aN，所以a0或1.14定义满足“如果aA，bA，那么abA，且abA，且A(b0)”的集合A为“闭集”试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明解析：数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”例如，3N,2N，而1.5N；3Z，2Z，而1.5Z，故N，Z不是闭集由于两个有理数a与b的和，差，积，商，即ab，ab，(b0)仍是有理数，故Q是闭集同理R也是闭集
