1、第二章 平面向量章末检测(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若向量a与b不相等，则a与b()A不共线B长度不相等C不可能是单位向量 D不可能都是0解析：向量不相等有三种情形：即方向相同，模不相等方向不同，模相等，方向不同，模也不相等因此A，B，C均不正确答案：D2已知O，A，M，B为平面上的四点，且(1)，(0,1)，则()A点M在线段AB上B点B在线段AM上C点A在线段BM上DO，A，M，B四点一定共线解析：(1)，(0,1)，点M在线段AB上答案：A3给出下列命题：(ab)ca(bc)；
2、ab0ab；若a，b是两个单位向量，则|a|b|；若ab0，则a0或b0，其中正确的是()A BC D解析：数量积为数，所以错，ab0a0或b0或ab.答案：A4已知向量(3，2)，(5，1)，则等于()A(8,1) B(8,1)C(4，) D(4，)解析：(5，1)(3，2)(8,1)，(4，)答案：D5若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5C4 D3解析：a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.答案：C6已知|p|2，|q|3，p，q，如图，若5p2q，
3、p3q，D为BC的中点，则|()A. B.C7 D18解析：D为BC的中点，()(5p2qp3q)3pq.|p|2，|q|3，p，q，|29p2q23pq，|.故选A.答案：A7若向量a，b，c满足ab且ac，则c(a2b)()A4 B3C2 D0解析：ac，ac0.又ab，可设ba，则c(a2b)(12)ca0.答案：D8已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|()A. B.C5 D25解析：a(2,1)，|a|.又|ab|5，|ab|2a2b22ab，(5)2()2|b|2210，|b|225，|b|5.答案：C9已知a(，cos )，b(，sin )，ab,02，则角等于()
4、A. B.C.或 D.或解析：ab，sin cos ，tan .又02，或.答案：D10.如图，在直角梯形ABCD中，ABAD，ADDC1，AB3，点P是BC的中点，设(，R)，则等于()A. B.C. D.解析：建立如图所示的坐标系，B(3,0)，D(0,1)，C(1,1)P为BC中点，P(2，)，(2，)(0,1)(3,0)(3，)，32，.答案：D11已知直线xya与圆x2y22交于A，B两点，O是坐标原点，C是圆上一点，若，则a的值为()A1 BC D2解析：因为A，B，C均为圆x2y22上的点，故|，因为，所以()22，即2222，即44cosAOB2，故AOB120，则圆心O到直线
5、AB的距离d|，即|a|1，即a1.答案：A12定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令abmqnp.下面说法错误的是()A若a与b共线，则ab0BabbaC对任意的R，有(a)b(ab)D(ab)2(ab)2|a|2|b|2解析：若a(m，n)与b(p，q)共线，则mqnp0，依运算“”知ab0，故A正确由于abmqnp，又banpmq，因此abba，故B不正确对于C，由于a(m，n)，因此(a)bmqnp，又(ab)(mqnp)mqnp，故C正确对于D，(ab)2(ab)2m2q22mnpqn2p2(mpnq)2m2(p2q2)n2(p2q2)(m2n2)
6、(p2q2)|a|2|b|2，故D正确答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13设向量a(1,2)，b(2,3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.解析：ab(1,2)(2,3)(2,23)，向量ab与向量c共线，解得2.答案：214在ABC中，D、E分别为BC，AC的中点，F为AB上的点，且4.若xy，则实数x_，实数y_.解析：由三角形图形知(图略)，()(24)2，x2，y1.答案：2115已知向量ca()b，则向量a和c的夹角为_解析：设a与b的夹角为.由ca()b，得ca()ba()b.aca2()baa2()|a|b|cos a2|
7、a|20.a与c的夹角为.答案：16已知O为ABC的外心，AB2，AC3，如果xy，其中x，y满足x2y1且xy0，则cosBAC_.解析：如图所示，过点O分别作ODAB，OEAC，垂足分别为D，E.则ADAB，AEAC，()22，()2.xy，x2y4x6ycosBAC2，xy29y6xcosBAC.x2y1且xy0，x，y，cosBAC.答案：三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)及C(3，1)，BC边上的高为AD，求及点D的坐标解析：设D(x，y)，如图又A(2,1)，B(3,2)，C
8、(3，1)，(x2，y1)，(6，3)，(x3，y2)，0，6(x2)3(y1)0，又B，D，C三点共线，6(y2)3(x3)0.解得D(，)，(2，1)(，)18(12分)已知|a|1，|b|2.(1)若ab，求ab；(2)若a、b的夹角为60，求|ab|；(3)若ab与a垂直，求当k为何值时，(k ab)(a2b)解析：(1)ab|a|b|2.(2)ab|a|b|cos 601，|ab|2|a|22ab|b|27，|ab|.(3)若ab与a垂直，则(ab)a0ab|a|21.使得(k ab)(a2b)，只要(k ab)(a2b)0，即k|a|2(2k1)ab2|b|20，k3.19(12分
9、)已知平面内三点A，B，C在一条直线上， (2，m)，(n,1)，(5，1)，若，求实数m，n的值解析：因为A，B，C三点共线，所以与共线设(R)，又(2，m)，(n,1)，(5，1)，所以(7，1m)，(n2,1m)，所以(7，1m)(n2,1m)，故有得mnn5m90.又因为，所以2nm0.联立得或所以m6，n3或m3，n.20(12分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(2,1)，A(1,0)，B(cos ，t)，a.(1)若|，求向量的坐标；(2)求ycos2cos t2的最小值解析：(1)(cos 1，t)，a，2tcos 10，cos 12t.|，(cos 1)2t25.
10、由，得t21，t1.当t1时，cos 3(舍去)，当t1时，cos 1，B(1，1)，(1，1)(2)由(1)可知t，ycos2cos cos2cos (cos2cos )(cos )2，当cos 时，ymin.21(13分)已知一只蚂蚁在地面上的一个三角形区域ABC内爬行，试探究当蚂蚁爬到这个三角形区域的什么位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小？解析：由题意知，原题可转化为在ABC内求一点P，使得AP2BP2CP2最小设a，b，t，则ta，tb222t2(ta)2(tb)23(t)2(a2b2)abt即P为ABC的重心时，AP2BP2CP2最小所以当蚂蚁爬到这个三角形区域的重心
11、位置时，它到这个三角形三个顶点间的距离的平方和最小22(13分)已知向量a(2sin x,1)，b(2，2)，c(sin x3,1)，d(1，k)(xR，kR)(1)若x，且a(bc)，求x的值(2)若函数f(x)ab，求f(x)的最小值(3)是否存在实数k，使得(ad)(bc)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)bc(sin x1，1)，a(bc)，(2sin x)sin x1，即sin x.又x，x.(2)a(2sin x,1)，b(2，2)，f(x)ab2(2sin x)22sin x2.xR，1sin x1，0f(x)4，f(x)的最小值为0.(3)ad(3sin x,1k)，bc(sin x1，1)，若(ad)(bc)，则(ad)(bc)0，即(3sin x)(sin x1)(1k)0，ksin2x2sin x4(sin x1)25，由sin x1,1，得k5，1，存在k5，1，使得(ad)(bc)