1、课时分层作业 四空间图形基本关系的认识空间图形的公理(公理1、2、3)一、选择题(每小题5分，共30分)1.已知点A，直线a，平面：Aa，aAAa，aAAa，aAAa，aA以上命题表述正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.中若a与相交，且交点为A，则不正确；中“a”符号不对，故不正确；中A可以在内，也可以在外，故不正确；符号“A”错，故不正确.2.在空间中，可以确定一个平面的条件是()A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中一条直线与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线，它们两两相交，但不交于同一点【解析】选D.A中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同
2、一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除A；B中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除B；对于C来说，三个点的位置可能不在同一条直线上，也可能在同一条直线上，只有前者才能确定一个平面，故排除C；只有选项D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一条直线上，由公理1知其可以确定一个平面.3.以下四个命题中：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.
3、其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.显然是正确的；中若A、B、C三点共线，则A、B、C、D、E五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b、c异面；空间四边形中四条线段不共面，故只有正确.4.平面=l，点A，点B，且Cl，C，又ABl=R，如图所示，过A，B，C三点确定的平面为，则是()A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.直线AR【解析】选C.由已知条件可知，C，ABl=R，AB，所以R.又因为C，R，故CR=.5.下列命题正确的个数为()梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个
4、平面有三个公共点，则这两个平面重合.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确.6.在如图所示的几何体中，AABBCC，则由A、B、C、A、B、C六点可确定的平面个数为()A.5B.8C.11D.12【解析】选C.六个点确定的面中，侧面、底面有5个，从一个底面上选取两个顶点，另一个底面上选取一个点，可确定6个面，共11个平面.二、填空题(每小题5分，共10分)7.空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有_个.【解析】四点共面时，为一个平面；四点不共面时，可作4个平面.答案：1或48.给出以下四种说法
5、：(设、表示平面，l表示直线，A、B、C表示点)若Al，A，Bl，B，则l；A，A，B，B，则=AB；若l，Al，则A；若A、B、C，A、B、C，且A、B、C不共线，则与重合.则上述说法中正确的个数是_.【解析】正确；如图所示，可知错误.答案：3【补偿训练】已知=m，a，b，ab=A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为_.【解析】因为ab=A，所以Aa，Ab，又a，b，所以A，A，且=m，由公理3得Am.答案：Am三、解答题9.(10分)如图所示，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.【证明】因为AB
6、CD，所以AB，CD确定一个平面.又因为AB=E，AB，所以E，E，即E为平面与平面的一个公共点.同理可证，F，G，H为平面与平面的公共点.因为两个不重合的平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线.【补偿训练】如图，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1，M，A三点共线.【证明】因为A1C1B1D1=O1，B1D1平面B1D1A，A1C1平面AA1C1C，所以O1平面B1D1A且O1平面AA1C1C.同理可知，M平面B1D1A且M平面AA1C1C；A平面B1D1A且A平面AA
7、1C1C.所以，O1，M，A三点在平面B1D1A和AA1C1C的交线上，故O1，M，A三点共线.一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知、为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.Aa，A，Ba，BaB.M，M，N，N=MNC.A，A=AD.A，B，M，A，B，M，且A，B，M不共线、 重合【解析】选C.因为A，A.所以A，由公理3知，为经过A的一条直线而不是A.故=A错误.2.下图中正确表示两个相交平面的是()【解析】选D.A中无交线；B中不可见线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画，也不正确； D的画法正确.【误区警示】画两平面相交时，一定要画出交线，还要注意画图
8、规则，不可见线一般应画成虚线，有时也可以不画.3.如图，=l，A，B，C，且Cl，直线ABl=M，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB，MAB，所以M.又=l，Ml，所以M.根据公理3可知，M在与的交线上，同理可知，点C也在与的交线上.4.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5【解析】选B.特殊值法.当n=3时，正三角形的三个顶点之间两两距离相等，故n=3符合；当n=4时，联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等，故n=4符合.由此可以排除选项A，C
9、，D.故选B.5.(2018丽江高一检测)正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，则过P，Q，R的截面是()A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【解析】选D.如图可知，其截面为一正六边形，作图依据：公理2及公理1.二、填空题(每小题5分，共20分)6.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.【解析】EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个.答案：47.(2018青州高一检测)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成_部分.【解析】如图所
10、示，三个平面，两两相交，交线是a，b，c且abc.观察图形，可得，把空间分成7部分.答案：78.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条.【解析】方法一：如图所示.在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.方法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线.由点
11、P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交.答案：无数9.用一个平面去截一个正方体，截面可能是_.三角形；四边形；五边形；六边形.【解析】如图所示，(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形)答案：三、解答题(每小题10分，共30分)10.已知ABC在平面外，AB=P，AC=R，BC=Q，如图，求证：P，Q，R三点共线.【证明】因为AB=P，所以PAB，P平面.又AB平面ABC，所以P平面ABC.由公理3知点P在平面ABC与平面的交线上.同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上.所以P，Q，R三点共线.【一题多解】因为APAR=A，所以直线AP与直线AR确定平面APR.又
12、因为AB=P，AC=R，所以平面APR平面=PR.因为B平面APR，C平面APR，所以BC平面APR.因为QBC，所以Q平面APR.又Q，所以QPR，所以P，Q，R三点共线.11.已知：平面，两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2，l3不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.【证明】如图，=l1，=l2，=l3.因为l1，l2，且l1，l2不平行，所以l1与l2必相交.设l1l2=P，则Pl1，Pl2，所以P=l3，所以l1，l2，l3相交于一点P.12.如图，E，F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线.【解题指南】两平面已有一个公共点B，由于直线D1F与DA在同一平面内且不平行，因此，它们的延长线必相交于一点，推出该点也为两平面的公共点即可.【解析】如图，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.因为MFD1，MDA，FD1平面BED1F，DA平面ABCD，所以M平面BED1F平面ABCD，又B平面BED1F平面ABCD，连接MB，则MB=平面BED1F平面ABCD.故直线MB为所求两平面的交线.