1、第十八讲 等腰三角形、直角三角形 考点一 等腰(等边)三角形的性质与判定【主干必备】1.等腰三角形 定义 有_相等的三角形 两边 性质 轴对 称性 等腰三角形是轴对称图形,_ _ _是它的对称轴 定理(1)等腰三角形的两个底角_(简称:_)(2)等腰三角形顶角_、底边上的中线和底边上的_ 相互重合(简称“三线合一”)底边 上的中线(或底边上的高或顶角平分 线)所在的直线 相等 等边对等角 平分线 高 判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也_(简写为“_”)相等 等角对等边 2.等边三角形 定义 _相等的三角形 性质(1)等边三角形的三个内角都_,并且每一个角都等于_ (2)
2、等边三角形是轴对称图形,并且有 _条对称轴 (3)等边三角形每边上的中线,该边上的高 线,该边所对角的角平分线互相重合 三边 相等 60 三 判定(1)三个角都_的三角形 (2)有一个角是60的_三角形 相等 等腰【微点警示】(1)注意等腰三角形边的分类讨论:已知等腰三角形的两条边时,此两边可能是一底边一腰,也可能是两个腰,但要符合三角形的三边关系.(2)注意等腰三角形角的分类讨论:已知等腰三角形的一个角时,若此角90,则它是顶角;若此角90,则它可能是顶角,也可能是底角.【核心突破】例1(2019重庆中考A卷)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分ABC交AC于
3、点E,过点E作EFBC交AB于点F.(1)若C=36,求BAD的度数.(2)求证:FB=FE.【思路点拨】(1)利用等腰三角形的性质求出ABC,再利用等腰三角形的三线合一的性质证明ADB=90,即可解决问题.(2)先证明FBE=FEB,再利用“等角对等边”解决问题.【自主解答】略【明技法】等腰三角形中的分类讨论 1.已知等腰三角形的两边(a,b),求周长(c)时,分两种情况:(1)若a为腰,b为底时,则周长c=2a+b.(2)若b为腰,a为底时,则周长c=2b+a.2.已知等腰三角形的周长(c)和一边(a),求另一边时,分两种情况:(1)若已知边(a)为腰:则第三边为c-2a;(2)若已知边(
4、a)为底:则另两边为 (c-a).12【题组过关】1.(2019驻马店正阳模拟)如图,在ABC中,AB=AC,若 以点B为圆心,BC长为半径作弧,交AC于点E,则下列结论 一定正确的是()A.AE=BE B.BE是ABC的平分线 C.BAC=EBC D.AE=BC C 2.(2019襄阳模拟)如图,ABC是等边三角形,DEBC,若AB=5,BD=3,则ADE的周长为()A.2 B.6 C.9 D.15 B 3.(易错警示题)(2019兰州中考)在ABC中,AB=AC,A=40,则B=_.世纪金榜导学号 70 4.(2019武汉江汉区期末)如图,在ABC中,BO平分 ABC,CO平分ACB,MN
5、经过点O,与AB,AC相交于点M,N,且MNBC.若AB=7,AC=6,那么AMN的周长是_.13 5.(2019温州鹿城区模拟)如图,在ABC中,AB=AC,CD是ACB的平分线,DEBC,交AC于点E.世纪金榜导学号(1)求证:DE=CE.(2)若CDE=35,求A的度数.略 考点二 线段的垂直平分线的性质与判定【主干必备】1.定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫 做这条线段的垂直平分线.2.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的 距离_.相等 3.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线 段的_上.垂直平分线【微点警示】(1)用定义判定线段垂直平分线的两个条件:一
6、是垂直,二是平分.(2)用判定方法判定线段垂直平分线的必备:证明有两点在线段的垂直平分线上,才能“根据两点确定一条直线”得到线段的垂直平分线.【核心突破】例2(2019长沙中考)如图,在RtABC中,C=90,B=30,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半 径作弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN,交BC于点D,连 接AD,则CAD的度数是()A.20 B.30 C.45 D.60 B 12【明技法】线段垂直平分线的应用特征(1)线段垂直平分线中的两组相等线段.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;被垂直平分的线段,被分为两条相等线段.(2)证题时,经常把垂直平分线上的点和线段的
7、端点连接起来,利用垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等来证题.【题组过关】1.(2019南充中考)如图,在ABC中,AB的垂直平分线 交AB于点D,交BC于点E,若BC=6,AC=5,则ACE的周长为 ()A.8 B.11 C.16 D.17 B 2.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于 AB为半 径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得CAB=25,延长AC至点M,则BCM的度数为 _.1250 3.(2019淮安模拟)如图,在ABC中,边AB,AC的垂直平分线ED,GF分别交AB,AC于点E,G,交BC于点D,F,连接AD,AF,若DAF=40,求BAC的度数.世
8、纪金榜导学号 略 考点三 直角三角形的性质与判定【主干必备】性质(1)直角三角形的两个锐角_ (2)在直角三角形中,30角所对的直角边等 于斜边的_ (3)在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边 的_ 互余 一半 一半 判定(1)定义法:有一个角是_的三角形 (2)两个内角_的三角形 直角 互余 【微点警示】(1)一条边等于另一条边的一半且有30角的三角形:直角三角形;一条直角边等于斜边的一半,缺一不可.(2)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形:这个三角形一定是直角三角形.【核心突破】例3(1)(2018淄博中考)如图,在RtABC中,CM平分 ACB交AB于点M,过点M作MNBC交AC于点
9、N,且MN平分 AMC,若AN=1,则BC的长为()A.4 B.6 C.4 D.8 B 3(2)(2018徐州中考)如图,RtABC中,ABC=90,D 为AC的中点,若C=55,则ABD=_.35 【明技法】直角三角形性质的四个应用 1.在一个题目中,若直角三角形较多,可考虑利用等面积的方法求线段的长度.2.可利用直角三角形两锐角互余,根据同(等)角的余角相等证明两个锐角相等.3.在直角三角形中,有30锐角可考虑30角所对直角边等于斜边的一半.4.在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【题组过关】1.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示.其中 AB,CD
10、分别表示一楼、二楼地面的水平线,ABC=150,BC的长是8 m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ()D A.4 m B.8 m C.m D.4 m 38332.如图,ABC中,AB=AC=13,BC=10,AD平分BAC交BC于 点D,点E为AC的中点,连接DE,则CDE的周长为()A.16.5 B.18 C.23 D.26 B 3.(2019黄石中考)如图,在ABC中,B=50,CD AB于点D,BCD和BDC的平分线相交于点E,F为边AC的 中点,CD=CF,则ACD+CED=()世纪金榜导学号 A.125 B.145 C.175 D.190 C 考点四 勾股定理及其逆定理【主干必备
11、】1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么_.2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 _,那么这个三角形是直角三角形.a2+b2=c2 a2+b2=c2【微点警示】(1)勾股定理应用的前提:只能在同一个直角三角形中,才能运用该定理求边长.(2)勾股定理的几种变式:在RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别为a,b,c,则 a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a),.222222cab,acb,bca【核心突破】例4【原型题】(2018黄冈中考)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE
12、为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=()A.2 B.3 C.4 D.2 C【变形题】(变换结论)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则 BC=_.4 5例5【原型题】(2018东营中考)如图所示,圆柱的高 AB=3,底面直径BC=3,现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面 爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是()22A.3 1 B 3 23 4C D.3 12C【变形题】(变换条件)没有上盖的圆柱盒高为10 cm,底面周长为32 cm,点A距离下底面3 cm.一只位于圆柱 盒外表面点A处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点B处捕 食,则
13、它爬行的最短距离是_ cm.20 例6(2018杭州中考)折叠矩形纸片ABCD时,发现可以 进行如下操作:把ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上;把纸片展开并铺平;把 CDG翻折,点C落在线段AE上的点H处,折痕为DG,点G在 BC边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=_.32 3【思路点拨】设AD=x,则AB=x+2,利用折叠的性质得DF=AD,EA=EF,DFE=A=90,则可判断四边形AEFD为正方形,所以AE=AD=x,再根据折叠的性质得DH=DC=x+2,则AH=AE-HE=x-1,然后根据勾股定理得到x2+(x-1)2=(x+2)2,再解方程求出x即
14、可.【明技法】勾股定理常见的应用与技巧 1.已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.2.立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾股定理求解.3.折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再根据勾股定理列方程求解.【题组过关】1.(2019洛阳洛龙区期中)由线段a,b,c组成的三角形 不是直角三角形的是()A.a2-b2=c2 D 53B.a,b1,c44C.a2b3c7，D.ABC=345 2.(传统数学文化题)我国汉代数学家赵爽为了证明勾 股定理,创制了一幅弦图,后人称其为“赵爽弦图”,“赵爽弦图”是由四个全等的直角
15、三角形和一个小正 方形构成的大正方形,如图,若其中AE=5,BE=12,则EF 的长是_.世纪金榜导学号 7 23.(2019宿迁中考)如图,MAN=60,若ABC的顶点 B在射线AM上,且AB=2,点C在射线AN上运动,当ABC是 锐角三角形时,BC的取值范围是_.3BC2 34.(2019巴中中考)如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE直线m于点 E,BD直线m于点D.世纪金榜导学号(1)求证:EC=BD.(2)若设AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.【解析】(1)ACB=90,ACE+BCD=90.ACE+CAE=90,CAE=BCD.在A
16、EC与CDB中,CAEBCD(AAS).EC=BD.CEABDC,CAEBCD,ACCB,(2)略 考点五 命题与定理【主干必备】1.真假命题:如果题设成立,结论_的命 题叫真命题;如果题设成立,不能保证结论_ 的命题叫假命题.一定成立 一定成立 2.互逆命题:如果两个命题的_和_ 正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果 把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_ _.题设 结论 逆命 题 3.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就 是这个定理的逆定理,称这两个定理为_定 理.互逆 【微点警示】(1)命题与定理的关系:定理隶属于命题,是真命题中的一种.(2)命题与定理的互逆:
17、所有命题都有逆命题,但并不是所有定理都有逆定理,只有原命题正确并且其逆命题也正确的才是互逆定理.【核心突破】例7(2019衡阳中考)下列命题是假命题的是()A.n边形(n3)的外角和是360 B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 C.相等的角是对顶角 D.矩形的对角线互相平分且相等 C【明技法】判断命题真假的方法 只有对一件事情作出判断的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.【题组过关】1.下列命题是假命题的是()A.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.同角(或等角)的余角相等 C.角平分线上的点到角两边的距离相等 D.正方形的对角线相等,且互相垂直平分 A 2.(易错警示题)有以下几个命题:等边三角形的三个 内角相等;等腰三角形的两个底角相等;若a是有理 数,b是无理数,则a+b是无理数;若a=b,则a2-b2=0.以 上命题中有逆定理的个数是()世纪金榜导学号 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 3.(2019泰州中考)命题“三角形的三个内角中至少 有两个锐角”是_(填“真命题”或“假命 题”).真命题