1、12任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数考试标准课标要点学考要求高考要求三角函数定义bb三角函数值符号bb诱导公式(一)bb三角函数线aa知识导图学法指导1.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义2根据任意角的三角函数定义中横、纵坐标的取值范围确定函数的定义域3熟练掌握定义是解决概念类问题的关键，明确有向线段OM、MP、AT为角的余弦线、正弦线、正切线4体会“数与形”的结合，将三角函数值转化为有向线段第1课时任意角的三角函数(一)1.任意角的三角函数的定义前提如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做的正弦，记作sin ，即sin y余弦x叫做的
2、余弦，记作cos ，即cos x正切叫做的正切，记作tan ，即tan (x0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合2正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sin Rcos Rtan R|k，kZ3.三角函数值在各象限的符号对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的从原点到角
3、的终边上任意一点的距离r总是正值根据三角函数定义知：(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负4诱导公式一(1)语言表示：终边相同的角的同名三角函数的值相等(2)式子表示其中kZ.诱导公式一(1)实质：是说终边相同的角的三角函数值相等. 即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次(2)结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为k2，右边的角为.(3)作用：把求任意角的三角函数值转化为求0 2(或0 360 )角的三角函数值体现了“大化小”“负化正”的数学思想小试身手1判断下列命题
4、是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)如图所示，sin y.()(2)第三象限角的正弦、余弦、正切都是负值()(3)终边相同的角不一定相等，其三角函数值一定相等()答案：(1)(2)(3)2有下列命题，其中正确的个数是()终边相同的角的三角函数值相同；同名三角函数值相同，角不一定相同；终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同；不相等的角，同名三角函数值也不相同A0个B1个C2个 D3个解析：终边相同的角的同名三角函数值相同；同名三角函数值相同，角不一定相同；终边不相同，它们的同名三角函数值也可能相同；不相等的角，同名三角函数值可能相同故只有正确答案：B3若角的终边上有一点(0，1)
5、，则tan 的值是()A1 B0C1 D不存在解析：因为角的终边上有一点(0，1)，所以角的终边落在y轴的非正半轴上，其正切值不存在答案：D4sin 750_.解析：sin 750sin(236030)sin 30.答案：类型一三角函数的定义及应用例1(1)若角的终边经过点P(5，12)，则sin _，cos _，tan _；(2)已知角的终边落在直线xy0上，求sin ，cos ，tan 的值【解析】(1)x5，y12，r13，则sin ，cos ，tan .(2)直线xy0，即yx，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan ；在第四象限取直线
6、上的点 (1，)，则r2，所以sin ，cos ，tan .【答案】(1)(2)见解析(1)若已知角终边上一点P(x，y)(x0)不是单位圆上的点，则先求r(r表示点P到原点的距离)，sin，cos，tan.(2)在的终边上任取一点，再利用三角函数的定义求解方法归纳已知终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值(2)在的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)则sin ，cos . 已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便(3)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参
7、数进行分类讨论跟踪训练1(1)已知角的终边经过点(4,3)，则cos ()A. B.C D(2)已知角的终边过点P(12，a)且tan ，求sin cos 的值解析：(1)r5，cos ，故选D.(2)根据三角函数的定义，tan ，a5，P(12,5)此时r13，sin ，cos ，从而sin cos .答案：(1)D(2)先求r.再利用三角函数定义求解类型二三角函数在各象限的符号例2若sin tan 0，且0，则角是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【解析】由sin tan 0可知sin ，tan 异号，从而是第二或第三象限角由0可知cos ，tan 异号，从而是第三或
8、第四象限角综上可知，是第三象限角【答案】C分别由sintan0和0，则的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上.跟踪训练2判断下列各式的符号：(1)sin 145cos(210)；(2)sin 3cos 4tan 5.解析：(1)145角是第二象限角，sin 1450.210360150，210角是第二象限角，cos(210)0，sin 145cos(210)0.(2)3450，cos 40，tan 50.类型三诱导公式一的应用例3计算下列各式的值：(1)sin(1 395)cos 1 110cos(1 020)sin 750；(2)sincostan 4.【解析】
9、(1)原式sin(436045)cos(336030)cos(336060)sin(236030)sin 45cos 30cos 60sin 30.(2)原式sincostan(40)sincos0.(1)含有三角函数值的代数式的化简，要先利用诱导公式一把角的范围转化到0 2范围内，求出相应的三角函数值(2)准确记忆特殊角的三角函数值是三角函数化简求值的基础，此类问题易出现的错误就是对特殊角的三角函数值记忆不准确导致计算错误.方法归纳利用诱导公式一求值应注意：利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为02内的角的三角函数，也可把大于2的角的三角函数转化为02内的角的三角函数，即实现了“负化正，大化
10、小”，要注意记忆特殊角的三角函数值跟踪训练3求下列各式的值：(1)sintan；(2)sin 810cos 360tan 1 125.解析：(1)sintansintansintan1.(2)sin 810cos 360tan 1 125sin(236090)cos(3600)tan(336045)sin 90cos 0tan 451111.应用诱导公式一时，先将角转化到0 2范围内的角，再求值. 对于特殊角的三角函数值一定要熟记1.2.1.1基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则tan 的值为()A BC D
11、解析：由正切函数的定义可得，tan .答案：A2sin(140)cos 740的值()A大于0 B小于0C等于0 D不确定解析：因为140为第三象限角，故sin(140)0，所以sin(140)cos 7400.故选B.答案：B3若cos ，且角的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是()A2 B2C2 D2解析：r，由题意得，x2.故选D.答案：D4若sin cos 0)，则sin cos 0，即xy0，所以角终边上点的横、纵坐标异号，故角是第二或第四象限角答案：D5设a0，角的终边经过点P(3a,4a)，则sin 2cos ()A. BC. D解析：a0，cos 0.2.答案：28已知
12、角的终边经过点P(3,4t)，且sin(2k)(kZ)，则t_.解析：sin(2k)sin 0，则的终边在第三或第四象限又点P的横坐标是正数，所以是第四象限角，所以t0，cos 2300.于是sin 105cos 2300.(2)因为3，所以3是第二象限角，所以cos 30，所以cos 3tan0.能力提升(20分钟，40分)11若是第一象限角，则是()A第一象限角B第四象限角C第二或第三象限角D第二或第四象限角解析：方法一由题意知k360k36090，kZ，则k180k18045，所以k18045k180，kZ.当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角方法二由几何法易知为第一象限角或第三象限角，根据与的终边关于x轴对称，知为第四象限角或第二象限角答案：D12若角的终边与直线y3x重合且sin 0，又P(m，n)是终边上一点，且|OP|，则mn_.解析：y3x，sin 0，点P(m，n)位于y3x在第三象限的图象上，且m0，n0时，sin ，cos ，tan 2；当a0时sin ，cos ，tan 2.